2020-2021学年江苏省中考数学一模试卷及答案解析

一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣的相反数是（ ）

A． B．﹣ C．﹣ D．

2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．x•x=x B．（﹣6x）÷（﹣2x）=3x C．2a﹣3a=﹣a D．（x﹣2）=x﹣4

3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x+1）所在的象限是（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2

2

2

2

6

12

6

2

3

4．（3分）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ） A．32000名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体

C．1500名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查

5．（3分）某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间

如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人） 时间（小时）

5 6

8 7

C．9，8

D．8，9

14 8

19 9

4 10

A．14，9 B．9，9

6．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣

8．（3分）如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于F，若AB=1，BC=

，则AF的长度为（ ）

A．2﹣

B． C． D．﹣1

二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）

9．（3分）人体红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示为 ． 10．（3分）分解因式：xy﹣2xy+x= ．

11．（3分）关于x的一元二次方程x+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．

12．（3分）已知数据3，2，4，6，5，则这组数据的方差是 ． 13．（3分）函数y=

中，自变量x的取值范围是 ．

2

2

14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= ．

15．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，已知⊙O的半径为2，∠P=60°，则弦AB的长为 ．

16．（3分） 如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省 元．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．

2

18．（3分）如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足

为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为 ．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：2sin30°+3+（

﹣1

﹣1）﹣

0

；

（2）计算：

2

．

20．（10分）（1）解方程：x+4x﹣1=0； （2）解不等式组：

．

21．（7分）全国民生话题成为社会焦点．徐州市记者为了了解百姓“民生话题”的聚焦点，随机调查了徐州市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．

组别 A B C D

焦点话题 食品安全 教育医疗 就业养老 生态环保

频数（人数）

80 m n 120

E 其他 60

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m= ，n= ．扇形统计图中E组所占的百分比为 %；

（2）徐州市市区人口现有170万人，请你估计其中关注D组话题的市民人数； （3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人关注C组话题的概率是多少？

22．（7分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标； （2）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率．

23．（7分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

24．（7分）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：

（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式． （2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．

25．（8分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

26．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

27．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线；

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG=BF•BO．试证明BG=PG；

2

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．

28．（12分）如图，二次函数y=﹣x+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另

2

一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

参与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣的相反数是（ ）

A． B．﹣ C．﹣ D．

【解答】解：因为+（﹣）=0，

所以﹣的相反数是， 故选D．

2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．x•x=x B．（﹣6x）÷（﹣2x）=3x C．2a﹣3a=﹣a D．（x﹣2）=x﹣4

【解答】解：∵x•x=x≠x．∴选项A错误； ∵（﹣6x）÷（﹣2x）=3x，∴选项B错误； ∵2a﹣3a=﹣a，∴选项C正确；

∵（x﹣2）=x﹣4x+4，∴选项D错误；

2

2

6

2

4

2

6

8

122

2

2

6

12

6

2

3

故选：C．

3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x+1）所在的象限是（ ） A．第一象限

B．第二象限

2

2

C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵x≥0， ∴x+1≥1，

∴点P（﹣2，x+1）在第二象限． 故选B．

4．（3分）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ） A．32000名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体

C．1500名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查 【解答】解：

某市参加中考的32000名学生的体重情况是总体，故A错误； 每名学生的体重情况是总体的一个个体，故B错误； 1500名学生的体重情况是一个样本，故C正确；

2

2

该调查属于抽样调查，故D错误； 故选C．

5．（3分）某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人） 5 8 14 19 4 时间（小时）

6

7

8

9

10

A．14，9 B．9，9

C．9，8

D．8，9

【解答】解：∵时间为9小时的人数最多为19人数， ∴众数为9．

∵将这组数据按照由大到小的顺序排列，第25个和第26个数据的均为8， ∴中位数为8． 故选：C．

6．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（

A． B． C． D．

）

【解答】解：左视图从左到右有三列，左边一列有2个正方体，中间一列三个，右边有一个正方体，故选D．

7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，

∴△DAB是等边三角形， ∵AB=2， ∴△ABD的高为

，

∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，

π﹣

设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H， 在△ABG和△DBH中，

，

∴△ABG≌△DBH（ASA），

∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=故选：A．

﹣×2×

=

﹣

．

8．（3分）如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于F，若AB=1，BC=

，则AF的长度为（ ）

A．2﹣ B． C． D．﹣1

【解答】解法1，：连接BD，如图所示：

在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=1， 在Rt△BCD中，CD=1，BC=∴tan∠CBD=

=

，

，BD=2，

∴∠CBD=30°，∠ABD=60°， 由旋转得，∠CBC1=∠ABA1=30°， ∴点C1在BD上， 连接BF，

由旋转得，AB=A1B，

∵矩形A1BC1D1是矩形ABCD旋转所得， ∴∠BA1F=∠BAF=90°， ∵BF=BF，

∴△A1BF≌△ABF， ∴∠A1BF=∠ABF， ∵∠ABA1=30°，

∴∠ABF=∠ABA1=15°， ∵∠ABD=60°，

∴∠DBF=75°， ∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD=30°， ∴∠BFD=75°， ∴DF=BD=2， ∴AF=DF﹣AD=2﹣

，

方法2，如图，延长BA交A1D1于H，

由旋转得，A1B=AB=1，∠CBC1=∠ABA1=30°，∠BA1D1=∠BAF=90°， 在四边形A1BAF中，根据四边形的内角和得，∠A1FA=150°， ∴∠AFH∠=30°，

在Rt△A1BH中，A1B=1，∠A1BA=30°， ∴BH=

，

∴AH=BH﹣AB=﹣1

在Rt△AFH中，∠AFH=30°， ∴AF=

AH=2﹣

故选：A．

二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）

9．（3分）人体红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示为 7.7×10【解答】解：0.000 007 7=7.7×10． 故答案为：7.7×10m．

10．（3分）分解因式：xy﹣2xy+x= x（y﹣1） ． 【解答】解：xy﹣2xy+x， =x（y﹣2y+1）， =x（y﹣1）．

11．（3分）关于x的一元二次方程x+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．

2

2

2

2

2

2

﹣6

﹣6

﹣6

m ．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴2﹣4m=0，

2

2+

∴m=1， 故答案为：1．

12．（3分）已知数据3，2，4，6，5，则这组数据的方差是 2 ． 【解答】解：平均数为：（3+2+4+6+5）÷5=4，

方差为：S= [（3﹣4）+（2﹣4）+（4﹣4）+（6﹣4）+（5﹣4）]

2

2

2

2

2

2

=×（1+4+0+4+1） =2．

故答案为：2．

13．（3分）函数y=

中，自变量x的取值范围是 x＞1 ．

【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1．

14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= 6 ．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， ∴

=

，即=

解得：BC=6． 故答案为：6．

15．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，已知⊙∠P=60°，则弦AB的长为 2

．

【解答】解：连接AO，并延长交圆于C，连接BC， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴∠PAB=60°； 又∵AC是圆的直径， ∴CA⊥PA，∠ABC=90°， ∴∠CAB=30°， 而AC=4，

O的半径为2，∴在Rt△ABC中，cos30°=，

∴AB=4×=2． ．

故答案为：2

16．（3分） 如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省 4 元．

【解答】解：由线段OB的图象可知，当0＜x＜4时，y=5x， 1个笔记本的价钱为：y=5，

设射线BE的解析式为y=kx+b（x≥4）， 把（4，20），（10，44）代入得

，

解得：，

∴射线BE的解析式为y=4x+4， 当x=8时，y=4×8+4=36， 5×8﹣36=4（元）， 故答案为：4．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．

2

【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x+6x上一点， ∴设D（x，﹣x+6x）， ∵顶点C的坐标为（4，3）， ∴OC=

=5，

2

2

∵四边形OABC是菱形， ∴BC=OC=5，BC∥x轴，

∴S△BCD=×5×（﹣x+6x﹣3）=﹣（x﹣3）+15，

2

2

∵﹣＜0，

∴S△BCD有最大值，最大值为15， 故答案为15．

18．（3分）如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足

为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为 8 ．

【解答】解：设点D坐标为（a，b）， ∵点D为OB的中点， ∴点B的坐标为（2a，2b）， ∴k=4ab，

又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上， ∴A的坐标为（4a，b）， ∴AD=4a﹣a=3a， ∵△AOD的面积为3， ∴×3a×b=3，

∴ab=2， ∴k=4ab=4×2=8． 故答案为：8

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：2sin30°+3+（

﹣1

﹣1）﹣

0

；

（2）计算：．

【解答】解：（1）原式=2×++1﹣2

=

（2）原式=（﹣）×

=﹣

=

20．（10分）（1）解方程：x+4x﹣1=0；

2

（2）解不等式组：

【解答】解：（1）△=16+4=20 ∴x=

=﹣2

．

（2）由①得：x＞1 由②得：x＜2

∴不等式组的解集为：1＜x＜2

21．（7分）全国民生话题成为社会焦点．徐州市记者为了了解百姓“民生话题”的聚焦点，随机调查了徐州市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．

组别 A B C D E

焦点话题 食品安全 教育医疗 就业养老 生态环保 其他

频数（人数）

80 m n 120 60

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m= 40 ，n= 100 ．扇形统计图中E组所占的百分比为 15 %； （2）徐州市市区人口现有170万人，请你估计其中关注D组话题的市民人数；

（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人关注C组话题的概率是多少？

【解答】解：（1）由题意可得，

本次调查的市民有：80÷20%=400（人），

m=400×10%=40，n=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100， 扇形统计图中E组所占的百分比为：60÷400=0.15=15%， 故答案为：40，100，15； （2）由题意可得，

关注D组话题的市民有：170×

=51（万人），

答：关注D组话题的市民有51万人； （3）由题意可得，

在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人关注C组话题的概率是：

，

答：在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人关注C组话题的概率是．

22．（7分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1

和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标； （2）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率． 【解答】解：（1）列表得：

1 （1，﹣1） （1，﹣2） （1，﹣3）

2 （2，﹣1） （2，﹣2） （2，﹣3）

﹣1 ﹣2 ﹣3

则共有6种等可能情况；

（2）∵点Q落在直线y=﹣x﹣1上的有2种， ∴P（点Q在直线y=﹣x﹣1上）==．

23．（7分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， 又∵EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形；

（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形． 理由如下：∵D是AB的中点， ∴BD=AB，

∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE，

又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形．

24．（7分）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：

（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式． （2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．

【解答】解：（1）由图象得： 出租车的起步价是8元；

设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由函数图象，得

，

解得：，

故y与x的函数关系式为：y=2x+2；

（2）∵32元＞8元， ∴当y=32时， 32=2x+2，

x=15

答：这位乘客乘车的里程是15km．

25．（8分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

【解答】解：过点A作AF⊥DE，设DF=x， 在Rt△ADF中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF=∴AF=

x，

=

，

AC的坡度i=1：2， ∴

=，

∵AB=2， ∴BC=4，

∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE，

∴四边形ABEF为矩形， ∴EF=AB=2，BE=AF， ∴DE=DF+EF=x+2， 在Rt△DCE中，tan∠DCE=∵∠DCE=60°， ∴CE=

（x+2），

，

∵EB=BC+CE=4+（x+2），

∴（x+2）+4=

， ．

x，

∴x=1+2∴DE=3+2

26．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

【解答】解：根据勾股定理得：BA=；

（1）分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，

，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8， ∴，解得，t=1， ②当△BPQ∽△BCA时，

，

∴，解得，t=；

∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°， ∴∠NAC=∠PCM， ∵∠ACQ=∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴，解得t=．

27．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线；

2

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG=BF•BO．试证明BG=PG；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．

【解答】（1）证明：连结OP，

∵EP=EG， ∴∠EPG=∠EGP， 又∵∠EGP=∠BGF， ∴∠EPG=∠BGF， ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP， ∵CD⊥AB，

∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°， ∴∠EPG+∠OPB=90°， ∴直线EP为⊙O的切线；

（2）证明：如图，连结OG，OP，

∵BG=BF•BO，

2

∴=，

∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO=∠BFG=90°， 由垂径定理知：BG=PG；

（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，

∵sinB=，

∴=，

∵OB=r=3， ∴OG=

，

由（2）得∠EPG+∠OPB=90°， ∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°， ∴∠B=∠OGF， ∴sin∠OGF=∴OF=1，

∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4， 在Rt△BCA中，

2

CF=BF•FA，

=

∴CF=∴CD=2CF=4

=．

=2．

28．（12分）如图，二次函数y=﹣x+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明

2

理由．

【解答】解：（1）将B（4，0）代入y=﹣x+3x+m， 解得，m=4，

∴二次函数解析式为y=﹣x+3x+4， 令x=0，得y=4， ∴C（0，4）， （2）存在，

理由：∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+4，

当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大， ∴

∴x﹣4x+b=0， ∴△=16﹣4b=0， ∴b=4， ∴

，

2

2

2

，

∴M（2，6）， （3）①如图，

∵点P在抛物线上， ∴设P（m，﹣m+3m+4），

当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上， ∵B（4，0），C（0，4）

∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x， ∴m=﹣m+3m+4， ∴m=1±∴P（1+②如图，

， ，1+

）或P（1﹣

，1﹣

），

2

2

设点P（t，﹣t+3t+4），

过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线， ∵点D在直线BC上， ∴D（t，﹣t+4），

∵PD=﹣t+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t+4t， BE+CF=4，

∴S四边形PBQC=2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=﹣4t+16t， ∵0＜t＜4，

∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16

2

2

2

2