[高中数学试题]2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

满分:150分 时间:120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：(每小题5分，共60分。)

1．已知全集U{1，2，3，4，5，6}，A2,4,6，B{1，2,3，5}，

（CUB）则A等于 （ ）

A．{4,6} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，4,6} D．{2}

2．集合Mx|﹣2x2，Ny|0y2．给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是 （ ）

3. 在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则最佳体现这些数据关系的函数模型是 （ ）

A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．ylog2x

14. 函数f(x)x23x2的零点所在的区间为 ( )

A．(1，2) B．(3，4) C．(2，3) D．(0，1) 5. 下列函数中既是偶函数又在(0,)上是增函数的是 （ ） A. yx1 B. yx3 C. yx21 D. y2x

6. 已知alog20.3,b20.1,c0.21.3，则a,b,c的大小关系是 ( ) A．abc B．acb C．cab D．bca

7. 函数ylogax(a＞0，a1)的图象如右图所示， 则下列函数图象正确的是 ( )

yax

yxa 8. 已知函

2x1,x1数f(x)，则函数f(x)的零点为 ( )

1log2x,x111

A. 2，0 B．－2，0 C. 2 D．0

9. 设f(x)满足下列条件：（1）f(1)0；（2）f(x)奇函数 ；（3）f(x)在0, 上是增函数，则不等式

f(x)f(x)0的解集为 ( )

xA．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)

22x8ax3,x110. 函数f(x) 在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）

logax,x1A. 0, B. ,1 C . , D. ,1 2228811155

11．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上，②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点

对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)

log3x,x0已知函数f(x)2，此函数的“友好点对”有 ( )

x4x,x0A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

12. 已知fxx表示不超过x的最大整数，例如3.54，2.12，给定以下结论：① 函数yfx与yx1的图象无交点；② 函数yfx与ylgx的图象只有一个交点；③ 函数yfx与y2x1的图象有两个交点；④ 函数yfx与yx2的图象有三个交点．其中正确的有 （ ）

A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分。）

13.已知A＝xx1,Bxx2，则AB________

14. 当x0时，函数y(a8)x的值恒大于1，则实数a的取值集合是________．

15. 已知函数yf(x)是y2x的反函数，则函数yf(6xx2)的递增

区间为 .

16.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)1，且当x∈[0，1]时， f(x)＝x，则方程F(x)fx log4x的零点的个数是 ；

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

gx）2xa的值域为集合B. （1）已知集合Ax1x3，函数（若AB, 求a的取值范围．

（2）计算：27

18．（12分）

233125212log23log2

8已知f(x)2m，m常数，mR． x31（1）若函数yf(x)是奇函数，求m的值； （2）当m1时，写出函数f(x)的值域；

19.（12分）

已知函数f(x)=loga(1x)loga(x3)(0a1).

（1）求函数yf(x)的定义域； （2）求函数yf(x)的零点.

20．（12分）

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

年固定 成本 每件产 品成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 B产品

20 40 m 8 10 18 200 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材．．．．．．．．．．．．．．料决定，预计m[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间

的函数关系，并求出其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

21. （12分）

已知函数f(x)log21x. 1x（1）判断并证明f(x)的奇偶性;

（2）若关于x的方程．．fxlog2xk有实根，求实数k的取值范围; （3）问方程．．fxx1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度

1为的区间a,b，使x0a,b；如果没有，请说明理由. 8（注：区间a,b的长度为ba） 22．（12分）

gx）ax2﹣2ax1（ba＞0）已知函数（在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．

设f(x)g(x)． x（1）求a、b的值；

f2x）-k2x0在x[（2）若不等式（﹣，11]上恒成立，求实数k的取值范围；

（3）若（f|2x﹣1|）k2﹣3k0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． x21成都七中实验学校高2016级高一上半期考试数学试题

满分:150分 时间:120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：(每小题5分，共60分。)

1．已知全集U{1，2，3，4，5，6}，A2,4,6，B{1，2,3，5}，

（CUB）则A等于（ A ）

A．{4,6} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，4,6} D．{2}

2．集合Mx|﹣2x2，Ny|0y2．给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是 （ B ）

3. 在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则最佳体现这些数据关系的函数模型是（ ）

A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案： D 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；

根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.

14. 函数f(x)x32x2的零点所在的区间为( A )

A．(1，2) B．(3，4) C．(2，3) D．(0，1) 5. 下列函数中既是偶函数又在(0,)上是增函数的是 （ A ） A. yx1 B. yx3 C. yx21 D. y2x

6. 已知alog20.3,b20.1,c0.21.3，则a,b,c的大小关系是( B ) A．abc B．acb C．cab D．bca 7.函数ylogax(a＞0，a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( B )

【答案】 B 由题图可知y＝logax过点(3，1)， ∴loga3＝1，∴a＝3.

1x

对A，y＝3在R上为减函数，错误；

对B，y＝x3，符合；

对C，y＝－x3在R上为减函数，错误；

对D，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．

2x1,x18. 已知函数f(x)，则函数f(x)的零点为( )

1log2x,x111

A. 2，0 B．－2，0 C. 2 D．0 答案: D 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

1

当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝2.又因为x＞1， 所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.

22x8ax3,x1R9. 函数f(x)在上单调递减，则a的取值范围是（ C ）

logax,x1A. 0, B. ,1 C . , D. ,1

222881115510. 设f(x)满足下列条件：

（1）f(1)0； （2）对定义域的任意的x均有f(x)f(x)； （3）对任意的x1,x20,均有则不等式

f(x1)f(x2)0

x1x2f(x)f(x)0的解集为( )

xA．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 答案： D f(x)为奇函数，

所以不等式化为

f(x)f(x)0

xf（x）

x<0，

即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示． 所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．

11．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)

log3x,x0已知函数f(x)2，此函数的“友好点对”有( )

x4x,x0A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

答案：C 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知， g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的数量为2，故选C.

12. 已知fxx表示不超过x的最大整数，例如3.54，2.12，给定以下结论：① 函数yfx与yx1的图象无交点；② 函数yfx与ylgx的图象只有一个交点；③ 函数yfx与y2x1的图象有两个交点；④ 函数yfx与

yx2的图象有三个交点．其中正确的有 （ C ）

A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分。）

13. 当x0时，函数y(a8)x的值恒大于1，则实数a的取值集合是________． 答案： 由题意知，a－8＞1，解得a＞9. (9，＋∞) 14. 已知函数yf(x)是y2x的反函数，则函数yf(6xx2)的递增

区间为 . 0,3or0,3

15.如图所示，开始时桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1aent（n为常数，，那么桶2中的水就是y2aaent.t为注水时间）如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，经过___15____分钟桶1中的水只有

a。 8那么

16.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)1，

且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，

则方程F(x)fx log3x的零点的个数是 4 ； 答案：画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示， 由图知方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

gx）2xa的值域为集合B. 17.（1）已知集合Ax1x3，函数（若ABB,求a的取值范围．

解： A=[1，3），B=（a，+∞），

因A∪B=B，∴A⊆B，，∴a＜1， 则a的取值范围是（﹣∞，1）．

（2）计算：27 =

=9﹣25﹣3×（﹣3） =﹣7；

233125212log23log2

8

18.已知函数f(x)=loga(1x)loga(x3)(0a1).

（1）求函数yf(x)的定义域； （2）求函数yf(x)的零点.

19．已知f(x)2m，m是实常数， 3x1（1）当m1时，写出函数f(x)的值域；

（2）当m0时，判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；

解：（1）当m=1时，，定义域为R，

，

，

即函数的值域为（1，3）．

（2）f（x）为非奇非偶函数．

当m=0时，

因为f（﹣1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数； 又因为f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函数； 即f（x）为非奇非偶函数．

，

20．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知

投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

年固定 成本 A产品 B产品 每件产 品成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 20 40 m 8 10 18 200 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间

的函数关系，并求出其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

解：（1）y1=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈N

y2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x=0.05x+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N

（2）∵6≤m≤8 ∴10﹣m＞0

∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数

22又0≤x≤200，x∈N

∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元） y2=0.05x+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+460 0≤x≤120，x∈N

∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）

∴（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m

当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0 当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0 当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0

∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润 当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润 m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．

221. 已知函数f(x)log21x. 1x（1）判断并证明f(x)的奇偶性;

（2）若关于x的方程fxlog2xk有实根，求实数k的取值范围; （3）问方程fxx1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度

1为的区间a,b，使x0a,b；如果没有，请说明理由. 8（注：区间a,b的长度为ba） 解：（1）由

1x0得-11x1x1x1x+log2=log2=log21=0，

1x1x1x1x所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数。 (4') （2）方程f(x)=log2(x-k)有实根，也就是方程

所以实数k属于函数

1x1x=x-k即k=x-在(-1,1)内有解，

1x1xy=x-

1x2=x+1-在(-1,1)内的值域。 (6')

1x1x令x+1=t，则t∈(0,2)，因为y=t-

22在(0,2)内单调递增，所以t-∈(-∞,1)。 tt故实数k的取值范围是(-∞,1)。 (8') （3）设g(x)=f(x)-x-1=log2

1x-x-1(-13815553所以log2()43334于是g(-

153)=log2-<0。 ① (9') 43431155又∵g(-)=log2->1->0 ② (10')

8588由①②可知，g(-13)·g(-)<0， 4831所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。

8431即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。 (12')

84131又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是(-,-)。

884(答案不唯一) (14')

思路提示：用“二分法”逐步探求，先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1')，由于g(x)在(-1,1)内单调递减，于是再算区间(-1,0)的中点g(-

111)=log23->0(2')，然后算区间(-,0)的中点 222g(-

1113)<0(3')，最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4') 4248gx）ax2﹣2ax1（ba＞0）22．已知函数（在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．

设f(x)g(x)． x（1）求a、b的值；

f2x）-k2x0在x[（2）若不等式（﹣，11]上恒成立，求实数k的取值范围；

（3）若（f|2x﹣1|）k2﹣3k0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． x21解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数， 故

，即

，解得

．所以f（x）=x+﹣2(4分)

（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，

所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+

2﹣2≥k•2x，

1112可化为 1x2xk， 令t= x，则 kt﹣2t1．

222因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．

2t1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0， 记h（t）= t﹣所以k的取值范围是（﹣∞，0]． （4分）

（3）方程（f|2x﹣1|）k22﹣3k0可化为： x21|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）， ∵方程f（|2k﹣1|）+k•∴由t=|2x﹣1|的图象知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2， 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1． 记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

﹣3k=0有三个不同的实数解，

则，或 ∴k＞0．（12分）