抽象函数定义域的求法例题

1、已知f(x)的定义域，求复合函数f[gx]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为xa,b，求出f[g(x)]中ag(x)b的解x的X围，即为

f[g(x)]的定义域。

2、已知复合函数f[gx]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[gx]的定义域为xa,b，则由axb确定g(x)的X围即为f(x)的定义域。 3、已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[gx]定义域求得fx的定义域，再由fx的定义域求得f[hx]的定义域。 4、已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1、已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域． 解：

410f(x)的定义域为15，，1≤3x5≤5，≤x≤．

33410故函数f(3x5)的定义域为，． 33练习：若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为。

2解：依题意知：

11log2x2 解之，得：2x4 2∴f(log2x)的定义域为x|22x4

例2、已知函数f(x2x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域．

分析：若fg(x)的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的X围即为f(x)的定义域．这种情况下，f(x)的定义域即为复合函数fg(x)的内函数的值域。本题中令ux2x2，

2则f(x2x2)f(u)，

由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值X围即为f(x)的定义域．

22解：由0≤x≤3，得1≤x2x2≤5．令ux2x2，则f(x2x2)f(u)，1≤u≤5．故

22f(x)的定义域为15，．

练习： 已知函数的定义域为，则的定义域为________。 解：由，得所以，故填

例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D.

解：先求的定义域的定义域是， 即的定义域是，再求的定义域 的定义域是，故应选A

练习：已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.

1解 ∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴2≤2x≤2.

1∴函数y=f(log2x)中2≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.

故函数f(log2x)的定义域为［2，4］

例4 若f(x)的定义域为3，5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域． 解：由f(x)的定义域为3，5，则(x)必有所以函数(x)的定义域为4，0． 练习：已知函数的定义域是，求的定义域。 分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有

，即函数的定义域由确函数的定义域是

3≤x≤5，解得4≤x≤0．

3≤2x5≤5，1，2]，求f(x2)的定义域． 2111解：先求f(x)的定义域：由题意知－≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]，

222例5 若函数f(x+1)的定义域为[－

再求f[h(x)] 的定义域： ∴

221＜x2＜3，解得－3＜x＜－或＜x＜3．

22222或＜x＜3}． 22∴f(x2)的定义域是{x|－3＜x＜－

例6、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效X围。实际上的有效X围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的X围。本题中总面积为

S三角形S矩形xy是0x42。

121x8，由于xy0，于是x28，即x42。又x0，∴x的取值X围44x28124=8x(0x4x4

于是, 框架用料长度为l=2x+2y+2(当(

2316x)=(+2)x+≥4642. 22x316+2)x=,即x=8－42时等号成立. 2x 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 变式训练：

13.（2007·理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.

(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值.

解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图）， 则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

x2y21(y≥0), r24r2解得y=2r2x2 (01(2x+2r)·2r2x22

=2(x+r)·r2x2,其定义域为{x|0（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),01rr.因为当00; 22当

r1即梯形面积S的最大值为

巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析） 1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。 （2）函数的定义域为__________。

2、已知函数的定义域为，则的定义域为________。

3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为__5/3≤x≤2. 4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q求y=f(x)f(x)定义域。 分析：做法与例题4相同。

解 ：由条件，y的定义域是f(x)与(x)定义域的交集.

131313131210x1x12333x, 列出不等式组330x111x4333故y=f(x)f(x)的定义域为,.

33331112