位移法

位移法也是计算超静定结构的基本方法。位移法是以结构的结点位移（结点角位移和结点线位移）作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。

在位移法求解超静定问题中，有七大步骤：

第一步：分析结构体系（是否为几何不变体系，是否有结点位移），结构体系中的结点位移（结点角位移和结点线位移）就是结构的所求的基本未知量。

第二步：选取基本结构，即在原结构中的基本未知量（结点角位移和结点线位移）处加上约束（刚臂和链杆），均假设顺时针转动。

第三步：列位移法方程：r11Z1R1P0（一个结点位移未知量）

r11Z1r12Z2r1nZnR1P0r21Z1r22Z2r2nZnR2P0



rn1Z1rn2Z2rnmZnRnP0

当为n次超静定时，

第四步：画M1、MP图，求rnm、RnP（画M1、MP图，通过查表得出，注意形常数及载常数的查法，记住是以顺时针转动为正。）

第五步：求解未知位移Zn。

第六步：求杆端弯矩：MM1Z1RP（一结点位移未知量）

MM1Z1M2Z2MiZiMnZnRP（n个结点位移未知量）

此步骤的正负号规定容易与力法正负号规定混淆。在位移法中，杆端弯矩以顺时针转动为正，逆时针转动为负。

第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载

作用情况），作M图，Q图（注意：求跨中弯矩时的正负号规定，同力法一样）

讨论：针对位移法中正负号规定判断需要注意的问题。1、什么是杆端弯矩？例如：如图所示超静定梁

假如截AB杆研究，就会暴露出三个内力（弯矩，剪力，轴力），现只研究弯矩，如图所示（夸张放大画出来）：图中所标的即为杆端弯矩，它的作用是相对于杆端而言的。

2、如何判断正负号及运用正负号画弯矩图？

上图中杆端弯矩的方向是假设出来的，由图可知，MAB杆为正的（顺时针），MBA杆为负的（逆时针）。但是两个杆端弯矩都是使杆件下部受拉。

因此，我们首先可以求出来的杆端弯矩的数值及正负，然后由正负号判断出杆端弯矩的转向，再由杆端弯矩的转向判断杆件在杆端弯矩的作用下是在哪边受拉的，最后判断出来受拉边，再把弯矩图画在受拉边即可得出弯矩图。

位移法例题：

1、用位移法求解下面刚架，并作出弯矩图。

解：一、分析：该体系几何不变，只有一个C，无。二、选取基本结构

三、列位移法方程：r11Z1R1P0四、画M1、MP图，求r11、R1P

在MP图中，取C结点研究：

M

C

0

0

R1PM

0

0

R1PM

在M1图中，取C结点研究：

M

r11

C

0

r114i1i23i304E2E12E

0lll18Er11

l五、求Z1Z1

MR1PlM018E18Er11l4ElM02M0l18E92ElM01M0l18E912ElM02M0l18E32ElM01M0l18E92ElM01M0l18E9六、求杆端弯矩

MCBMBCMCEMEC0MCDMDC七、画M图

2、用位移法求解下面刚架，并作出弯矩图。

解：一、分析：该体系几何不变，只有一个E，无二、选取基本结构

。三、列位移法方程：r11Z1R1P0四、画M1、MP图，求r11、R1P

在MP图中，取E结点研究：

ME0R1P20800R1P60kNm在M1图中，取E结点研究：

M

E

0

3EIEI

0827EIr11

8r110

五、求Z1Z1

R1P60480

7EIr117EI83EI480

8054.29kNm87EI

六、求杆端弯矩

MED

MDE0MCEMECEI480017.14kNm47EIEI480034.29kNm27EI七、求跨中弯矩，画M图

M

中AC54.920108252.86kNm

28

3、用位移法求解下面刚架，并作出弯矩图。

第一种做法：

解：一、分析：该体系几何不变，只有一个B，无。二、选取基本结构

三、列位移法方程：r11Z1R1P0四、画M1、MP图，求r11、R1P

在MP图中，取B结点研究：

M

B0

R1P20800R1P60kNm

在M1图中，取B结点研究：

M

r11

B

0

114044r113

7

kNm4

五、求Z1Z1

R1P35

20kNm7r114六、求杆端弯矩3

MBA20520kNm

4MAB0MBD40kNmMDB0kNmMBC120020kNm1

MCB20010kNm

2

七、求跨中弯矩，画M图

M

中202.542AC28

5kNm第二种做法：

解：一、分析：该体系几何不变，只有一个二、选取基本结构

三、列位移法方程：r11Z1R1P0四、画M1、MP图，求r11、R1P

B，无。在MP图中，取B结点研究：

M

B0

R1P40500R1P35kNm

在M1图中，取B结点研究：

M

B0

114044

r113r11

7

kNm4

五、求Z1Z1

R1P35

20kNm7r114六、求杆端弯矩3

MBA20520kNm

4MAB0

MBD10440kNmMDB0kNmMBC120020kNmMCB1

20010kNm2

七、求跨中弯矩，画M图

M

中AC202.5425kNm28

4、用位移法求解下面连续梁，并作出弯矩图。

解：该体系为正对称结构，可取一半作为研究对象。

一、分析：该体系几何不变，只有一个B，无。二、选取基本结构

三、列位移法方程：r11Z1R1P0四、画M1、MP图，求r11、R1P

在MP图中，取B结点研究：

M

B0

R1P60450R1P15kNm

在M1图中，取B结点研究：

r11M

B0

r113

EIEI

40625EIkNm

2

五、求Z1Z1

R1P156

5EIEIr112六、求杆端弯矩

MAB0

MBAEI64548kNm2EIMAB0

MBC2EIMCBEI66048kNmEI66066kNmEI七、求跨中弯矩，画M图

M中ABM

中BC48406

36kNm24

4866206233kNm

285、用位移法求解下面连续梁，并作出弯矩图。

解：一、分析：该体系几何不变，只有一个B，无。二、选取基本结构

三、列位移法方程：

r11Z1r12Z2R1P0r21Z1r22Z2R2P0

四、画M1、M2、MP图，求r11、r22、r12、r21、R2P、R1P在MP图中，取B结点研究：

M

B0

R1P450R1P45kNm

在MP图中，取C结点研究：

M

C0

R2P300R1P30kNm

在M1图中，取B结点研究：

M

B0

114066r113r11

在M1图中，取C结点研究：

7

kNm6M

C0106

r122i0r122r12

在M2图中，取B结点研究：

1

kNm3

M

B0106

r212r11

在M2图中，取C结点研究：

1

kNm3

r21r21M

C0

r214i4i011440

6

kNm3

五、求Z1、Z271

Z1Z24506314

Z1Z230033

解得：Z34.62kNm

2六、求杆端弯矩

MAB0

Z148.48kNm

1

MBA348.4804520.76kNm

6

MAB0

11MBC448.48234.62020.78kNm6611MCB248.48434.6206.92kNm661MCD048.48434.62306.92kNm61

MDC048.48234.623041.54kNm

6

七、求跨中弯矩，画M图

M中ABM

中CD20.706

49.62kNm24

6.9241.54106220.77kNm

28