2022年江西省宜春市中考数学模拟试题及答案解析

2022年江西省宜春市中考数学模拟试卷

1. −2022的绝对值是( ) A. 2022

2

1

B. 2022

𝑏

𝑎

C. −2022

1

D. −2022

2. 计算−2𝑎⋅𝑏的正确结果是( ) A. 2

B. 2𝑏

C. −2𝑏

D. −2𝑎𝑏2

3. 如图，几何体的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

4. 某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法正确的是( )

A. 该班的总人数为41

C. 人数最少的得分段的频数为2

B. 得分在60～70分的人数最多 D. 得分及格(≥60分)的有35人

一次函数𝑦=𝑚𝑥+𝑛与二次函数𝑦=𝑛𝑥2+𝑚的大致图象可以5. 在同一平面直角坐标系中，是( )

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A. B. C.

D.

6. 如图1是由20个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线

剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是20的大正方形，则( )

A. 甲、乙都不可以 B. 甲可以，乙不可以

甲、乙都可以

C. 甲不可以，乙可以 D.

2022年北京冬奥会直接投资大约在3000000000美元左7. 根据国际奥委会的官方数据显示，

右，将3000000000用科学记数法表示为______．

8. 不等式组{3−4𝑥≤7的解集为______．

2𝑥−3<5

9. 已知𝑥=1是一元二次方程𝑥2+𝑎𝑥+3=0的一个根，则方程的另一个根为______． 10. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对

𝐶𝐹=2，𝐵𝐸=3，全等的三角形，如图所示，已知∠𝐴=90°，则正方形𝐴𝐸𝑂𝐹的边长是______．

𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=5，在△𝐴𝐵𝐶中，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶旋转，使点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐷处，11. 如图，

点𝐵落在点𝐸处，如果点𝐸恰好在线段𝐴𝐷的延长线上，那么边𝐴𝐵的长等于______．

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12. 如图，在矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=3，𝐶𝐷=9，折叠纸片，使点𝐷刚好落在线段𝐴𝐵上，

且折痕分别与𝐴𝐵，𝐶𝐷相交，设折叠后点𝐴，𝐷的对应点分别为点𝐺，𝐻，折痕分别与𝐴𝐵，𝐶𝐷相交于点𝐸，𝐹，则线段𝐶𝐹的整数值可以为______．

13. 计算：(√3−1)0+(3)−1−√4．

1

14. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵的中点，连接𝐸𝐷并延长到点

𝐹，使𝐷𝐹=𝐸𝐷，连接𝐶𝐸，𝐶𝐹，𝐴𝐹.求证：四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形．

15. 先化简，再求值：(𝑥+1−𝑥−1)÷𝑥2−1，然后从−1，1，3中选择适当的数代入求值． 16. 宜春山清水秀，人文荟萃，唐代韩愈写下了“莫以宜春远，江山多胜游”的诗句．某校

九年级学生评选出了最喜欢的四种宜春民俗文化，分别是高安采茶戏、万载花灯戏、奉新土纸制作技艺、铜鼓客家山歌．现有四张不透明的卡片𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，它们的背面完全一样，正面分别写有高安采茶戏、万载花灯戏、铜鼓客家山歌、奉新土纸制作技艺，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在水平桌面上．

(1)“抽到写有万载花灯戏卡片”这一事件是______；(请将正确答案的序号填写在横线上) ①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件

(2)从中随机抽取一张卡片(不放回)，接着再随机抽取一张．请通过画树状图法或列表法，求同时抽到写有万载花灯戏和高安采茶戏卡片的概率．

11𝑥−2

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17. 图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称

为格点．△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．

(1)在图1中的线段𝐴𝐵上找一点𝐷，连结𝐶𝐷，使𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶； (2)在图2中的线段𝐴𝐵上找一点𝐸，连结𝐶𝐸，使𝑆△𝐴𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐶．

1412

18. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，以𝐴𝐵所在的直线为𝑥轴，以𝐴𝐷所在的直线为𝑦轴建

立平面直角坐标系，反比例函数𝑦=(𝑘<0)的图象与𝐶𝐷交于𝐸点，与𝐶𝐵交于𝐹点，

𝑥连接𝐴𝐹，𝐴𝐸． (1)求证：𝐷𝐸=𝐵𝐹；

(2)若𝑆△𝐴𝐸𝐹=6时，求反比例函数的解析式．

𝑘

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某旗舰店销19. “冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，

售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍．

(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？

(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．

20. 垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为

增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1400名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”(满分100分).该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析． (1)以下三种抽样调查方案：

【方案一】从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；

【方案二】从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；

【方案三】从全校1400名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本； 其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______．

(2)该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为𝑥分) 样本容量 100 分数段 频数 平均分 82.12 50≤𝑥<60 6 及格率 94% 60≤𝑥<70 8 优秀率 37% 70≤𝑥<80 19 最高分 100 最低分 51 80≤𝑥<90 90≤𝑥≤100 30 37 结合上述信息解答下列问题：

①本数据的中位数所在分数段为______． ②请估计竞赛分数达到“优秀”的学生的人数．

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21. 为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红

外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温(如图1)，其红外线探测点𝑂可以在垂直于地面的支杆𝑂𝑃上下调节(如图2)，已知探测最大角(∠𝑂𝐵𝐶)为58.0°，探测最小角(∠𝑂𝐴𝐶)为26.6°．

(1)若该设备的安装高度𝑂𝐶为1.6米时，求测温区域的宽度𝐴𝐵．

(2)该校要求测温区域的宽度𝐴𝐵为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度𝑂𝐶． (结果精确到0.01米，𝑠𝑖𝑛58.0°≈0.85，𝑐𝑜𝑠58.0°≈0.53，𝑡𝑎𝑛58.0°≈1.60，𝑠𝑖𝑛26.6°≈参考数据：0.45，𝑐𝑜𝑠26.6°≈0.，𝑡𝑎𝑛26.6°≈0.50)

22. 如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，𝐶𝐸与⊙𝑂相切于点𝐷，与𝐵𝐴的延长线交于点𝐸，𝐸𝐹⊥𝐶𝑂交𝐶𝑂

延长线于点𝐹，连接𝑂𝐷，𝐶𝐵，已知𝐶𝐵=3，𝐸𝐵=4，∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐹𝐶𝐵． (1)求证：𝐶𝐵是⊙𝑂的切线； (2)求⊙𝑂的半径； (3)连接𝐵𝐹，求sin∠𝐹𝐵𝐸．

23. (1)【问题发现】

𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，如图1，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐵𝐶的中点，以𝐵𝐷为一边作正方形𝐵𝐷𝐹𝐸，

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点𝐹恰好与点𝐴重合，则线段𝐶𝐹与𝐴𝐸的数量关系为______； (2)【拓展探究】

在(1)的条件下，如果正方形𝐵𝐷𝐹𝐸绕点𝐵顺时针旋转，连接𝐶𝐹，𝐴𝐸，𝐵𝐹，线段𝐶𝐹与𝐴𝐸的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)【问题解决】

当𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，且(2)中的正方形𝐵𝐷𝐹𝐸绕点𝐵顺时针旋转到𝐸，𝐹，𝐶三点共线时，请直接写

出线段𝐴𝐸的长．

全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，24. 2022年是宜春市抓落实活动年，

拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点𝑃(3,3)称为“三拼三促”点，经过𝑃(3,3)的函数，称为“三拼三促”函数． (1)下列函数是“三拼三促”函数的有______；

①𝑦=2𝑥−3；②𝑦=𝑥2−3𝑥；③𝑦=−2𝑥2−3𝑥+30；④𝑦=𝑥；

(2)若关于𝑥的二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑘是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与𝑦轴的正半轴相交，求𝑎的取值范围；

(3)如图，关于𝑥的二次函数𝑦=(𝑥−3)2的图象顶点为𝐴，点𝐵(𝑥1,𝑦1)和点𝐶(𝑥2,𝑦2)是该二次3函数图象上的点且使得∠𝐵𝐴𝐶=90°，试判断直线𝐵𝐶是否为“三拼三促”函数，并说明理由．

1

9

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答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】 【分析】

此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】

解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以−2022的绝对值是：2022． 故选：𝐵．

2.【答案】𝐶

【解析】解：原式=−2𝑏， 故选：𝐶．

根据分式的乘法运算运算法则即可求出答案．

本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．

3.【答案】𝐴

【解析】解：从几何体左面看得到是两矩形的组合体，且上面是矩形，下面是矩形． 故选：𝐴．

找到从几何体左面看得到的平面图形即可．

此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．

4.【答案】𝐶

【解析】解：该班的总人数为4+12+14+8+2=40(人)，故A选项错误； 得分在70～80分的人数最多，故B选项错误； 人数最少的得分段的频数为2，故C选项正确；

得分及格(≥60分)的有12+14+8+2=36(人)，故D选项错误； 故选：𝐶．

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根据频数分布直方图提供的信息，逐项进行判断即可．

本题考查频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义是正确解答的前提．

5.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴、由直线过一、二、三象限可知，𝑚>0，由抛物线可知，图象与𝑦轴交于负半轴，则𝑚<0，矛盾，故此选项错误；

B、由直线过二、三、四象限可知，𝑛<0，由抛物线可知，开口向上，𝑛>0，矛盾，故此选项错误；

C、由直线过一、三、四象限可知，𝑛<0，由抛物线可知，开口向上，𝑛>0，矛盾，故此选项错误；

D、由直线过一、三、四象限可知，𝑚>0，𝑛<0，由抛物线可知，开口向上，𝑛>0，图象与𝑦轴交于正半轴，则𝑚<0，一致，故此选项正确； 故选：𝐷．

本题可先由一次函数𝑦=𝑚𝑥+𝑛图象得到字母系数的正负，再与二次函数𝑦=𝑛𝑥2+𝑚的图象相比较看是否一致．

此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．

6.【答案】𝐷

【解析】解：如图所示： 可得甲、乙都可以拼一个面积是20的大正方形． 故选：𝐷．

直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案． 此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．

7.【答案】3×109

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【解析】解：3000000000=3×109． 故答案为：3×109．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正整数，当原数绝对值<1时，𝑛是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值．

8.【答案】−1≤𝑥<4

【解析】解：{

3−4𝑥≤7①

，

2𝑥−3<5②

由①得：𝑥≥−1， 由②得：𝑥<4，

∴不等式组的解集为−1≤𝑥<4． 故答案为：−1≤𝑥<4．

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

9.【答案】𝑥=3

【解析】解：设方程另一个根为𝑥=𝑚， 根据题意得1⋅𝑚=3， 解得𝑚=3． 故答案为：𝑥=3．

设方程另一个根为𝑥1，根据根与系数的关系得1⋅𝑥1=3，然后解一次方程即可．

本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与系数的关系：若方程两个为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑎．

𝑏

𝑐

10.【答案】1

【解析】解：设正方形𝐴𝐸𝑂𝐹的边长为𝑥， 由题意得：𝐵𝐸=𝐵𝐷=3，𝐶𝐷=𝐶𝐹=2，

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∴𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=5，

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2+𝐴𝐵2=𝐵𝐶2， 即(3+𝑥)2+(𝑥+2)2=52， 整理得，𝑥2+5𝑥−6=0， 解得：𝑥=1，或𝑥=−6(舍去)， ∴𝑥=1，

即正方形𝐴𝐸𝑂𝐹的边长是1． 故答案为：1．

设正方形𝐴𝐷𝑂𝐹的边长为𝑥，在直角三角形𝐴𝐶𝐵中，利用勾股定理可建立关于𝑥的方程，解方程即可．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

11.【答案】√5

【解析】解：∵将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶旋转，使点𝐴落在𝐵𝐶边上的点𝐷处， ∴𝐴𝐶=𝐷𝐶=4，∠𝐵=∠𝐸，𝐶𝐸=𝐵𝐶=5，𝐴𝐵=𝐷𝐸， ∴𝐵𝐷=1，

∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐵=∠𝐸， ∴△𝐴𝐷𝐵∽△𝐶𝐷𝐸， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐷， ∴𝐴𝐵2=5×1， ∴𝐴𝐵=√5， 故答案为：√5．

通过证明△𝐴𝐷𝐵∽△𝐶𝐷𝐸，可得

𝐶𝐸𝐴𝐵𝐶𝐸

𝐷𝐸

=𝐵𝐷，即可求解．

𝐷𝐸

本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．

12.【答案】4或5或6

【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形， ∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，

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∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐷𝐹𝐸，

∵图形翻折后点𝐷与点𝐻重合，𝐸𝐹为折线， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐻𝐹𝐸，𝐷𝐸=𝐻𝐸，𝐷𝐹=𝐻𝐹， ∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐻𝐹𝐸， ∴𝐸𝐻=𝐹𝐻，

∴𝐷𝐸=𝐸𝐻=𝐹𝐻=𝐷𝐹， ∴四边形𝐷𝐸𝐻𝐹为菱形；

当𝐸与𝐴重合时，𝐶𝐹取最大值，如图：

此时∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∴四边形𝐷𝐸𝐻𝐹为正方形， ∴𝐷𝐹=𝐴𝐷=3， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐷−𝐷𝐹=6， 即𝐶𝐹最大为6，

当𝐻与𝐵重合时，𝐶𝐹最小，如图：

设四边形𝐷𝐸𝐻𝐹菱形的边长为𝑥，则𝐶𝐹=9−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐻𝐹𝐶中，𝐻𝐹2=𝐶𝐹2+𝐻𝐶2， ∴𝑥2=32+(9−𝑥)2， 解得𝑥=5， ∴𝐶𝐹=4， 即𝐶𝐹最小为4，

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∴4≤𝐶𝐹≤6，

∴线段𝐶𝐹的整数值为4或5或6， 故答案为：4或5或6．

𝐶𝐹取最大值，首先证明四边形𝐷𝐸𝐻𝐹为菱形；当𝐸与𝐴重合时，此时四边形𝐷𝐸𝐻𝐹为正方形，即得𝐶𝐹最大为6，当𝐻与𝐵重合时，𝐶𝐹最小，设四边形𝐷𝐸𝐻𝐹菱形的边长为𝑥，可得𝑥2=32+(9−𝑥)2，即得𝐶𝐹最小为4，从而可得线段𝐶𝐹的整数值为4或5或6．

本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键时掌握翻折的性质，分别求出𝐶𝐹的最大、最小值．

13.【答案】解：原式=1+3−2

=2．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

14.【答案】证明：∵𝐷是边𝐴𝐶的中点，

∴𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∵𝐷𝐹=𝐸𝐷，

∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形，

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐸是边𝐴𝐵的中点， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，

∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形．

【解析】根据平行线的判定定理得到四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形，根据直角三角形的性质得到𝐴𝐸=𝐶𝐸，于是得到四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形．

本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．

15.【答案】解：∵(𝑥+1−𝑥−1)÷𝑥2−1

=

11𝑥−2

1(𝑥+1)(𝑥−1)1(𝑥+1)(𝑥−1)

×−×

𝑥+1𝑥−2𝑥−1𝑥−2第13页，共23页

=

=−

2

， 𝑥−2

𝑥−1𝑥+1

−

𝑥−2𝑥−2

由题意得，𝑥≠±1，𝑥≠2， ∴当𝑥=3时， 原式=−

2 3−2

=−2．

【解析】此题考查了运用分式的混合运算进行代数式求值的能力，关键是能进行准确的分式计算化简．

先进行分式的化简，再选取𝑥合适的值进行求解．

16.【答案】③

【解析】解：(1)“抽到写有万载花灯戏卡片”这一事件是随机事件， 故答案为：③；

(2)根据题意，做树状图可得，

∵共12种等可能情况，同时抽到写有万载花灯戏和高安采茶戏卡片的有2种结果， ∴同时抽到写有万载花灯戏和高安采茶戏卡片的概率为

2

12=6．

1

(1)根据随机事件、不可能事件和必然事件的概念可得答案；

(2)作出树状图，列出所有的情况及同时抽到写有万载花灯戏和高安采茶戏卡片的情况，进而计算可得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

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17.【答案】解：(1)如图1中，点𝐷即为所求；

(2)如图2中，点𝐸即为所求．

【解析】(1)作出𝐴𝐵的中点𝐷，连接𝐶𝐷即可；

(2)利用平行线分线段成比例定理，寻找点𝐸使得𝐴𝐸：𝐸𝐵=1：3，连接𝐶𝐸即可．

本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

18.【答案】解：(1)证明：由题意知：𝐸(4,4)，𝐹(−4,−4).

∴𝐷𝐸=−，𝐹𝐵=−． ∴𝐷𝐸=𝐵𝐹；

(2)由(1)知：𝐷𝐸=−=𝐹𝐵=−． ∴𝐶𝐸=𝐶𝐹=4+．

∵𝑆△𝐴𝐸𝐹=𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐷𝐸−𝑆△𝐶𝐸𝐹−𝑆△𝐴𝐵𝐹， ∴16−2(4+4)2+𝑘=6 ∴𝑘=±8． 又∵𝑘<0 ∴𝑘=−8．

∴反比例函数解析式为：𝑦=−．

𝑥

【解析】(1)先用含𝑘的式子表示𝐷𝐸、𝐹𝐵的长，从而可得到𝐷𝐸=𝐵𝐹；

𝑘

(2)先求得𝐶𝐸=𝐶𝐹=4+，然后再由𝑆△𝐴𝐸𝐹=𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐷𝐸−𝑆△𝐶𝐸𝐹−𝑆△𝐴𝐵𝐹列方程求解即

48

1

𝑘

𝑘4𝑘4𝑘4𝑘4𝑘4𝑘𝑘

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可．

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，利用割补法表示出相关图形的面积是解题的关键．

19.【答案】解：(1)设“冰墩墩”的销售单价是𝑥元，则“雪容融”的销售单价是(𝑥−40)元，

根据题意得

24000

𝑥=𝑥−40×2，

8000

解得𝑥=120，

经检验，𝑥=120是原方程的解，也符合题意， ∴𝑥−40=120−40=80(元)，

答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；

(2)设1月份销售利润为𝑤元，“冰墩墩”购进𝑚个，则“雪容融”玩具为(800−𝑚)个， 800−𝑚≤3𝑚则{， 1000𝑚+60(800−𝑚)≤57600解得：200≤𝑚≤240，

由题意得：𝑤=(120−120×10%−100)𝑚+(80−60)×(800−𝑚)=−12𝑚+16000， ∵−12<0，

∴𝑤=−12𝑚+12000随𝑚的增大而减小，

∴当𝑚=200时，𝑤最大值=−12×200+16000=13600，

答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元． (1)设“冰墩墩”的销售单价是𝑥元，【解析】可得

24000

𝑥

解方程并检验可得“冰墩墩”=𝑥−40×2，

8000

的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；

800−𝑥≤3𝑥

(2)设“冰墩墩”购进𝑚个，一月份销售利润为𝑤元，则{，解得：

100𝑚+60(800−𝑚)≤57600200≤𝑚≤240，而𝑤=−12𝑚+16000，由一次函数性质可得答案．

本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式．

20.【答案】(1)方案三

(2)①80≤𝑥<90

②由题意得，估计竞赛分数达到“优秀”的学生的人数为：1400×100=518(人)，

37

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【解析】解：(1)根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1400名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的． 故答案为：方案三；

(2)①样本总数为：6+8+19+30+37=100(人)，

成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤𝑥<90，因此中位数在80≤𝑥<90组中； ②见答案；

故答案为：①80≤𝑥<90；

(1)根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意； (2)①根据中位数的定义，估计总体中位数所在的范围；

②样本中“优秀”人数占调查人数的100，因此估计总体1400人的40%是“优秀”． 本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．

37

21.【答案】解：(1)根据题意可知：

𝑂𝐶⊥𝐴𝐶，∠𝑂𝐵𝐶=58.0°，∠𝑂𝐴𝐶=26.6°，𝑂𝐶=1.6米， 在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐶中，𝐵𝐶=

𝑂𝐶

tan∠𝑂𝐵𝐶𝑂𝐶

=

1.6𝑡𝑎𝑛58.0∘1.6

≈

1.61.601.6

=1.00(米)，

在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐶中，𝐴𝐶==𝑡𝑎𝑛26.6∘≈0.50=3.20(米)， tan∠𝑂𝐴𝐶∴𝐴𝐵=𝐴𝐶−𝐵𝐶=3.2−1=2.20(米)． 答：测温区域的宽度𝐴𝐵为2.2米； (2)根据题意可知：

𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=2.53+𝐵𝐶， 在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐶中，𝐵𝐶=∴𝑂𝐶=1.60𝐵𝐶，

在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐶中，𝑂𝐶=𝐴𝐶⋅tan∠𝑂𝐴𝐶≈(2.53+𝐵𝐶)×0.50， ∴1.60𝐵𝐶=(2.53+𝐵𝐶)×0.50， 解得𝐵𝐶=1.15米，

∴𝑂𝐶=1.60𝐵𝐶=1.84(米)．

答：该设备的安装高度𝑂𝐶约为1.84米．

𝑂𝐶

tan∠𝑂𝐵𝐶≈

𝑂𝐶

， 1.60第17页，共23页

【解析】(1)根据题意可得𝑂𝐶⊥𝐴𝐶，∠𝑂𝐵𝐶=58.0°，∠𝑂𝐴𝐶=26.6°，𝑂𝐶=1.6米，利用锐角三角函数列式计算即可；

(2)根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．

本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．

22.【答案】(1)证明：在△𝑂𝐸𝐹和△𝑂𝐵𝐶中，

∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐹𝐶𝐵，∠𝐸𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐶， ∴∠𝐸𝐹𝑂=∠𝑂𝐵𝐶=90°， ∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐶， ∵𝑂𝐵是半径， ∴𝐶𝐵是⊙𝑂的切线；

(2)解：∵∠𝐶𝐵𝐸=90°，𝐵𝐶=3，𝐵𝐸=4， ∴𝐶𝐸=√42+32=5， ∵𝐶𝐷，𝐶𝐵是⊙𝑂的切线， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐵=3， ∴𝐷𝐸=2， 设⊙𝑂的半径为𝑥， ∴𝑂𝐷=𝑂𝐵=𝑥， ∴𝑂𝐸=4−𝑥，

在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐸中，𝑥2+22=(4−𝑥)2， ∴𝑥=2，即⊙𝑂的半径为2；

(3)解：如图，延长𝐶𝐵，𝐸𝐹交于点𝑃，

3

3

∵𝐶𝐷，𝐶𝐵是⊙𝑂的切线，

第18页，共23页

∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝑃𝐶𝐹， ∵𝐶𝐹⊥𝑃𝐸，

∴∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐹𝑃=90°， 在△𝐶𝐹𝐸和△𝐶𝐹𝑃中， ∠𝐸𝐶𝐹=∠𝑃𝐶𝐹{𝐶𝐹=𝐶𝐹， ∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐹𝑃=90°∴△𝐶𝐹𝐸≌△𝐶𝐹𝑃(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝑃𝐹， ∵∠𝐸𝐵𝑃=90°， ∴𝐸𝐹=𝑃𝐹=𝐵𝐹， ∴∠𝐹𝑃𝐵=∠𝐹𝐵𝑃，

∵∠𝑃+∠𝐹𝐶𝑃=90°，∠𝐹𝐵𝑃+∠𝐹𝐵𝐸=90°， ∴∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐹𝐶𝑃， ∴∠𝐹𝐵𝐸=∠𝑂𝐶𝐵， ∵𝑂𝐵=2，𝐵𝐶=3， ∴𝑂𝐶=√32+()2=∴sin∠𝑂𝐶𝐵=

𝑂𝐵𝑂𝐶

√53

323√5， 2

=

323√52=5，

√5∴sin∠𝐹𝐵𝐸=5．

【解析】(1)根据三角形内角和定理及切线的判定方法可得结论； (2)利用切线的性质及勾股定理可得答案；

(3)延长𝐶𝐵，𝐸𝐹交于点𝑃，利用全等三角形的判定与性质可得𝐸𝐹=𝑃𝐹，再根据直角三角形的性质、勾股定理及解直角三角形可得答案．

此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、垂径定理及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．

23.【答案】𝐶𝐹=√2𝐴𝐸

第19页，共23页

【解析】(1)解：如图1，∵四边形𝐵𝐷𝐹𝐸是正方形， ∴𝐹𝐸=𝐵𝐸，∠𝐸=90°，

∴𝐵𝐹=√𝐵𝐸2+𝐹𝐸2=√2𝐹𝐸2=√2𝐹𝐸， ∵点𝐹与点𝐴重合，𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐶𝐹=𝐴𝐶=𝐴𝐵=𝐵𝐹，𝐹𝐸=𝐴𝐸， ∴𝐶𝐹=√2𝐴𝐸，

故答案为：𝐶𝐹=√2𝐴𝐸． (2)无变化，

证明：如图2，∵𝐸𝐵=𝐸𝐹，∠𝐵𝐸𝐹=90°，

∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐸𝐹𝐵=45°，𝐵𝐹=√𝐸𝐵2+𝐸𝐹2=√2𝐸𝐵2=√2𝐸𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，𝐵𝐶=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√2𝐴𝐵2=√2𝐴𝐵， ∴

𝐵𝐹𝐸𝐵

=

𝐵𝐶𝐴𝐵

=√2，∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=45°−∠𝐴𝐵𝐹，

∴△𝐶𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐸， ∴

𝐶𝐹𝐴𝐸

=

𝐵𝐶𝐴𝐵

=√2，

∴𝐶𝐹=√2𝐴𝐸．

(3)如图2，𝐸，𝐹，𝐶三点共线，且点𝐹在线段𝐶𝐸上， ∵𝐵𝐶=√2𝐴𝐵，𝐴𝐵=𝐴𝐶=6， ∴𝐵𝐶=√2×6=6√2， 由(1)得𝐵𝐷=𝐵𝐶，

2

∴𝐵𝐸=𝐸𝐹=𝐵𝐷=×6√2=3√2， ∵∠𝐵𝐸𝐶=90°，

∴𝐶𝐸=√𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=√(6√2)2−(3√2)2=3√6， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐸−𝐸𝐹=3√6−3√2， ∵𝐶𝐹=√2𝐴𝐸，

∴𝐴𝐸=2𝐶𝐹=2×(3√6−3√2)=3√3−3；

如图3，𝐸，𝐹，𝐶三点共线，且点𝐹在线段𝐶𝐸的延长线上，

√2

√2

1

12

第20页，共23页

∵𝐸𝐵=𝐴𝐵=√2，∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=45°+∠𝐶𝐵𝐸， ∴△𝐶𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐸， ∴

𝐶𝐹𝐴𝐸

𝐵𝐹𝐵𝐶

=

𝐵𝐶𝐴𝐵

=√2，

∴𝐶𝐹=√2𝐴𝐸， ∵∠𝐵𝐸𝐹=90°，

∴∠𝐵𝐸𝐶=180°−∠𝐵𝐸𝐹=90°，

∴𝐶𝐸=√𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=√(6√2)2−(3√2)2=3√6， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐸+𝐸𝐹=3√6+3√2， ∴𝐴𝐸=

√22𝐶𝐹=

√22×(3√6+3√2)=3√3+3，

综上所述，线段𝐴𝐸的长为3√3−3或3√3+3．

(1)由四边形𝐵𝐷𝐹𝐸是正方形得𝐹𝐸=𝐵𝐸，∠𝐸=90°，所以𝐵𝐹=√𝐵𝐸2+𝐹𝐸2=√2𝐹𝐸2=√2𝐹𝐸，因为点𝐹与点𝐴重合，所以𝐶𝐹=√2𝐴𝐸；

(2)因为△𝐸𝐵𝐹和△𝐴𝐵𝐶都是等腰直角三角形，所以𝐵𝐹=√2𝐸𝐵，𝐵𝐶=√2𝐴𝐵，则==√2，

𝐸𝐵𝐴𝐵∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=45°−∠𝐴𝐵𝐹，即可证明△𝐶𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐸，则

𝐶𝐹

𝐴𝐸𝐵𝐹

𝐵𝐶

=𝐴𝐵=√2，所以𝐶𝐹=√2𝐴𝐸；

𝐵𝐶

(3)分两种情况，一是𝐸，𝐹，𝐶三点共线，且点𝐹在线段𝐶𝐸上，先根据勾股定理求得𝐶𝐸=𝐹，此时𝐶𝐹=𝐶𝐸−𝐸𝐹=3√6−3√2，再由𝐶𝐹=√2𝐴𝐸求得𝐴𝐸的长；二是𝐸，√𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=3√6，𝐶三点共线，且点𝐹在线段𝐶𝐸的延长线上，先证明𝐶𝐹=√2𝐴𝐸仍然成立，此时𝐶𝐹=𝐶𝐸+𝐸𝐹=3√6+3√2，再由𝐶𝐹=√2𝐴𝐸求得𝐴𝐸的长即可．

此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题过程中应注意分类讨论数学思想的运用，求出所有符合题意的结果．

24.【答案】①③④

【解析】解：(1)当𝑥=3时，𝑦=2×3−3=3， ∴𝑦=2𝑥−3经过点𝑃(3,3)， ∴①符合题意；

当𝑥=3时，𝑦=32−3×3=0， ∴𝑦=𝑥2−3𝑥不经过点𝑃(3,3)， ∴②不符合题意；

第21页，共23页

当𝑥=3时，𝑦=−2×32−3×3+30=3， ∴𝑦=−2𝑥2−3𝑥+30经过点𝑃(3,3)， ∴③符合题意； 当𝑥=3时，𝑦==3， ∴𝑦=𝑥经过点𝑃(3,3)， ∴④符合题意； 故答案为：①③④；

(2)将点𝑃(3,3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑘得：9𝑎+𝑘=3， ∴𝑘=3−9𝑎，

∵图象开口向上且与𝑦轴的正半轴相交， ∴{

𝑎>0

，

3−9𝑎>0

139

93解得：0<𝑎<；

(3)直线𝐵𝐶是“三拼三促”函数，理由如下： ∵关于𝑥的二次函数𝑦=(𝑥−3)2的图象顶点为𝐴， ∴𝐴(3,0)，

∵点𝐵(𝑥1,𝑦1)和点𝐶(𝑥2,𝑦2)是该二次函数图象上的点， ∴𝐵(𝑥1,(𝑥1−3)2)，𝐶(𝑥2,(𝑥2−3)2)， 设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1，

1

把𝐴(3,0)，𝐵(𝑥1,(𝑥1

3131313133𝑘1+𝑏1=0,

， −3))分别代入得：{1

𝑥1𝑘1+𝑏1=(𝑥1−3)2

2

3∴𝑘1=(𝑥1−3)，

设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2，

1

把𝐴(3,0)，𝐶(𝑥2,(𝑥2

3

1

3𝑘2+𝑏2=0

， −3))分别代入得：{1

𝑥2𝑘2+𝑏2=3(𝑥2−3)2

2

∴𝑘2=3(𝑥2−3)， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝑘1⋅𝑘2=−1，

第22页，共23页

∴3(𝑥1−3)⋅3(𝑥2−3)=−1，

整理为：𝑥1𝑥2−3(𝑥1+𝑥2)+9=−9①，

设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将它与抛物线解析式联立得： {

𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑦=3(𝑥−3)2

1

1

11

，

∴3(𝑥−3)2=𝑘𝑥+𝑏，

整理为：𝑥2−(6+3𝑘)𝑥+9−3𝑏=0，

由根与系数关系得：𝑥1+𝑥2=6+3𝑘，𝑥1𝑥2=9−3𝑏②， 将②代入①得：9−3𝑏−3(6+3𝑘)+9=−9， ∴𝑏=−3𝑘+3，

∴直线𝐵𝐶的解析式为：𝑦=𝑘𝑥−3𝑘+3， 当𝑥=3时，𝑦=3𝑘−3𝑘+3=3， ∴直线𝐵𝐶经过点𝑃(3,3)， ∴直线𝐵𝐶是“三拼三促”函数．

(1)根据“三拼三促”函数的定义，分别检验①𝑦=2𝑥−3；②𝑦=𝑥2−3𝑥；③𝑦=−2𝑥2−3𝑥+30；④𝑦=是否经过点𝑃(3,3)，即可作出判断；

(2)将点𝑃(3,3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑘得：9𝑎+𝑘=3，得出𝑘=3−9𝑎，图象开口向上且与𝑦轴的正半轴相交，由二次函数图象的性质，得出关于𝑎的不等式组，解不等式组即可得出𝑎的取值范围； (3)由二次函数的解析式求出顶点𝐴(3,0)，由点𝐵(𝑥1,𝑦1)和点𝐶(𝑥2,𝑦2)是该二次函数图象上的点，得出𝐵(𝑥1,(𝑥1−3)2)，由两条直线的位置关系得出(𝑥1−3)⋅(𝑥2−3)=−1，𝐶(𝑥2,3(𝑥2−3)2)，333联立直线与抛物线解析式得出(𝑥−3)2=𝑘𝑥+𝑏，由一元二次方程根与系数关系得出直线𝐵𝐶的

3解析式为𝑦=𝑘𝑥−3𝑘+3，由“三拼三促”函数的定义即可得出结论．

本题考查了二次函数的综合应用，理解“三拼三促”函数的含义，掌握检验函数图象经过已知点的方法，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．

1

1

1

1

1

9𝑥

第23页，共23页