08春小学五年级 第03讲 典型应用题(一) 系统复习班 教师版

第三讲 典型应用题 植树问题 关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线. 1.不封闭路线 例：如图

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.

全长、棵数、株距三者之间的关系是： 棵数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（棵数-1） 株距=全长÷（棵数-1）

② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长=株距×棵数； 棵数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数.

③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.

棵数=段数-1

=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵.

株距=全长÷（棵数+1）. 2.封闭的植树路线

例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.如右图所示. 棵数=段数=周长÷株距.

有些植树问题，从表面上看并没有出现“植树”情节，但题意反映的是植树问题的基本数量关系．我们要认真读题，分析.

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【例1】 晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台

阶?(各层楼之间的台阶数相同)

【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：

解：①每相邻两层楼之间有多少级台阶? 36÷(3-1)=18(级)

②从第一层走到第六层共多少级台阶? 18×(6-1)=90(级)

答：从第一层走到第六层需要走90级台阶．

【例2】 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?

【分析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯3-1=2次，锯3根木料要2×3=6次，

问题随之可求．

解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次? 3-1=2(次)

②锯开三根木料要多少次? 2×3=6(次)

③锯三根木料要多少时间? 3×6=18(分钟)

综合算式：3×[(3-1)×3]=18(分钟) 或3×(3-1)×3=18(分钟)

答：全部锯完要18分钟．

【例3】 从甲地到乙地每隔45米安装一根电线杆，加上两端共53根；现在改成每隔60米安装一根电线

杆．求可余下多少根电线杆?

【分析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系. 解：①从甲地到乙地距离多少米? 45×(53-1)=2340(米)

②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆? 2340÷60+1=40(根) ③可余下多少根电线杆? 53-40=13(根)

综合算式：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(根)

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答：可余下13根电线杆．

【拓展】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插

一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．

【分析】40O÷8=50 （红旗）

8÷2-1=3 3×50=150 （黄旗）

【例4】 园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个

坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？

【分析】这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复

不需要挖的，那么一步一步分析如下：

（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？

（30-1）×3=87（米）

（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？ 87÷15=5……12 5+1=6（个）

（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？ 300÷5=60（个） （4）还要挖多少个？ 60-6=54（个）

答：还要挖54个才能完成任务.

鸡兔同笼

解题要点：对于鸡兔同笼问题，应先假设，然后把假设情形与事实情形作比较，得出两种情形下总数的差.然后找到出现这个“差”的原因是经过假设，每份数增加了.最后根据这个因果关系列式，求出份数.

【例5】 （1）在一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡兔共22只脚．问鸡和兔各有多少只?

【分析】鸡和兔共8只，就是说鸡、兔一共有8个头，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚．这是一道古

代的“鸡兔同笼问题”．根据题意画出图，可用图示法解答．

解：(1)先画出8个头，用“〇”表示：

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(2)每个头的下面画出两只脚：

把8只全看做是鸡，共画了16只脚，比题中给出的脚少了22-16=6只脚． (3)再给每只鸡添上两只脚使鸡变成兔，边画边数，画够22只 脚：

答：笼子里有5只鸡，3只兔．

（2）今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只?

【分析】方法一：从已知的35个头，可知鸡兔共35只；又知鸡一只有2只脚，兔一只有’4只脚，假

设笼中全是鸡，那么笼有(2×35)=70只脚，实际上笼中有94只脚，多出(94—70)=24只脚，什么原因?因为我们把笼中的兔都当作了鸡，每只兔少算了2只脚，所以笼中兔应有(24÷2)=12只，那么鸡有(35—12)=23只． 综合算式：

(94—2×35)÷(4—2)=12(只)，35—12=23(只)

方法二：还可假设笼中都是兔，则35只兔有(4×35)=140只脚，这比笼中实际

脚的只数多(140—94)=46只，原因是把鸡都算作了兔，每只鸡多算了2只脚，总 共多算了46只脚，所以鸡应该有(46÷2)=23只，兔有(35—23)=12只． 综合算式： (4×35—94)÷(4—2)=23(只)，35—23=12(只)

方法三：还可以这样假设；假设笼中每个动物砍掉2只脚，则鸡无脚，每只兔只剩下2只脚，笼还剩的脚共有(94—2×35)=24只，所以有24÷(4—2)=12只兔，所以鸡有35—12=23只．

答：笼中有12只兔，23只鸡．

【例6】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?

【分析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200

只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100—30=70(只).

【例7】 （1）某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3

分，小聪得了60分，他做对了_______道题.

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【分析】20道题全对应该得20×5=100分，还有100+60=40（分）没有得.

做错(5×20-60 ) ÷(5+3)=5(道) 因此，做对的20-5=15(道).

（2）春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学

都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.

【分析】三人共得87+74+9=170(分)，比满分10×10×3=300(分)少300-170=130(分)

因此三个人共做错：130÷(10+3)=10(道)题， 共答对了30-10=20(道)题

【例8】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿11，翅膀20对（蜘蛛腿；蜻蜓6条腿，

两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛腿.

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.

盈亏问题

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．

盈亏问题的一般思维方法是比较法．一般解法是：(盈+亏)÷两次分配数的差=人数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.

【例9】 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带

的钱还差30元.则儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?

【分析】本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差

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110元，

买5把小提琴差30元.从买7把变成买5把，少买了7—5=2(把)提琴，而钱的差 额减少了110—30=80(元)，即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把 40元.王老师带了40×7-110=170元钱.

【例10】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床

位，问宿舍几间?住宿生几人?

【分析】由已知条件

每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位

比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7—5)=2人，

一共要多出(14+4)=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数． 解：(4+14)÷(7—5)＝9(间)

5×9+14=59(人)，或7×9—4=59(人) 答：有宿舍9间，住宿生59人．

【例11】 有一批笔记本奖给三好生，如果每人发5本就多12本；如果每人发8本就多3本．问有多

少本笔记本?

【分析】由题意可知，第一次每人发5本，多出12本；第二次每人发8本就多出3本，这两次分配结果

相差(12—3)=9本，这是因为两次分配中每人所发本数相差(8—5)=3本，多少人就相差9本呢?9÷3=3(人)，再求出一共有多少本笔记本．

解：(12—3)÷(8—5)=9÷3=3(人) 5×3+12=27(本)

答：有27本笔记本．

【例12】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；

如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?

【分析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案

是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个)梨，两次分配数之差为2-5/3=1/3(个)梨.所以有苹果(4+1)÷（2-5/3）=15(个)，有梨15×2—4=26(个).

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附加题目

【附1】一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵

月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

【分析】 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的

栽有两棵月季，则每6米之有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍. 解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵） 共种月季花：2×30＝60（棵） 两种花共：30+60=90（棵）

两棵花之间距离：180÷90=2（米）

相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米. 答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米.

【附2】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少

千米？

【分析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽

车速度.

解：5分钟汽车共走了：

9×（501-1）=4500（米），

汽车每分钟走：4500÷5=900（米）， 汽车每小时走：

900×60=54000（米）=54（千米） 列综合式：

9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米） 答：汽车每小时行54千米.

【附3】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20

千克，问大小桶各多少个?

分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(4×50)=200千克，而这小桶所装油则为0．这样大

桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(200—80)=180千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(4+2)=6千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢?

解： (4×50—20)÷(4+2) =180÷6=30(个)(小桶) 50—30=20(个) (大桶)

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分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，

大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20÷(4—2)=10个，现在共有50个桶，在剩下的(50—10×2)=30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(4÷2)=2倍，那么在这30个桶中，应该有[30÷(1+2)]=10个大桶，(30—10)=20个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个． 解：20÷(4—2)=10(个)

(50—10×2)÷(1+2)=10(个) (大桶) 10+10=20(个) (大桶共有) 50一20=30(个) (小桶共有) 答：有大桶20个，小桶30个．

【附4】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人？

【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看

作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解.

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）.现在以小和尚去

换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80 人，大和尚有100－80＝20（人）.

【附5】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3

分，那么东东家到学校的路程是______米．

【分析】这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间，

根据已知，(80×6＋50×3)÷(80—50)＝630÷30＝21(分钟)，然后可求东东家离校的路程为：80×(21—6)＝1200(米)．

【附6】有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次

15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 【分析】法一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）

得分是8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×（24- 9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80. 法二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），

第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16 （分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是（6×9+10）÷（6+10）=4（题）.第一次答错 9-4=5

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（题）.第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.

练习三

1. 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？

【分析】 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽

杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1. 解：以10米为一段，公路全长可以分成 900÷10＝90（段）

共需电线杆根数：90+1=91（根） 答：可栽电线杆91根.

2. 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只.问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

【分析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多

了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了.如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只.因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数.

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

有鸡16-6＝10（只）. 答：有6只兔，10只鸡.

3. 小明妈妈养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只，问妈妈养鸡兔各几只?

【分析】如果每只兔砍去2只脚，则鸡比兔要多出(2×13)=26只脚，实际上只多出16只脚，相差

(26—16)=10只脚，这就是砍去的兔脚，每只兔砍去2只脚，从而可求出兔的只数．

解： (2×13—16)÷2’ =10÷2

=5(只) (兔)

5+13=18(只) (鸡)

答：小明妈妈养兔5只，养鸡18只．

4. 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒.问：有多少个小朋友？多少粒糖果？

【分析】 （6＋2）÷（4-2）＝4（人）， 3×4＋2＝14（粒）.

答：有4个小朋友，14粒糖果.

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5. 一张数学试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，如不做，不得分也不扣分，若某同学得了78分，那么他做对______题，做错______题，不做______题.

【分析】78÷4=19.5>19，就是说小明至少做对20道题，假设他做对21题，即使其余4题全做错了，也

应得21×4-4×1=80(分) >78(分)，所以小明做对20题，从而易知小明3题不做 ，做错2道题.答案为20，2，3.

课外故事

断 箭

不相信自己的意志，永远也做不成将军.春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战.父亲已做了将军，儿子还只是马前卒.又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭.父亲郑重对儿子说：\"这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来.那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾.一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙.果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡.当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟.骤然间他惊呆了.一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭.我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了.结果不言自明，儿子惨死于乱军之中.拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：\"不相信自己的意志，永远也做不成将军.\"把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只能是自己.

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