直线与圆、圆与圆的位置关系-高考文科数学专题练习

一、填空题

1．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是________． 解析：由于d＝

|sin θ－2－sin θ|

22＝2＝r， sinθ＋cosθ

∴直线与圆相切． 答案：相切

2．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________． 解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|的最小值为23. 答案：23

3．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是________． 解析：将两圆方程分别化为标准式， 圆C1：(x－m)2＋y2＝4， 圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9， 则|C1C2|＝m＋12＋m2

＝2m2＋2m＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3， ∴两圆相离． 答案：相离

4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为________．

解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝∴a＝0或4. 答案：0或4

5．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k＝________.

y＝kx＋1，

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则22消去y得， (1＋k2)x2＋2kx－3

x＋y＝4.

|a－2||a－2|2

，则(2)2＋()＝22， 22

2k22k222

＝0，∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，∴M(－2，2)，又M在x＋y1＋k1＋k1＋k1＋k＝4上，代入得k＝0. 答案：0

6．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足→→yOM·CM＝0，则x＝________. →→解析：∵OM·CM＝0，

∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线． 设OM的方程为y＝kx， 由

|2k|y

＝3，得k＝±3，即

x＝±3. k2＋1

答案：3或－3

7．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为________．

解析：圆方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a， 3－2a>03

由已知可得2，解得a<－3或1a>3－2a3

答案：(－∞，－3)∪(1，2)

8．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则|AB|＝________. 解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35， 又O1A⊥AO2，所以有m2＝(5)2＋(25)2＝25， 5×20

解得m＝±5.∴|AB|＝2×＝4.

5答案：4

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，

即要求圆心到直线的距离小于1， 即

|c|22<1，解得－13答案：(－13,13) 二、解答题

10．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5.

求：(1)直线PQ与圆C的方程；

(2)求过点(0,5)且与圆C相切的直线方程． 解析：(1)直线PQ的方程为y－3＝即x＋y－2＝0，

解法一 由题意圆心C在PQ的中垂线 3－24－1

y－2＝1×(x－2)，即y＝x－1上， 设C(n，n－1)，则r2＝|CQ|2＝(n＋1)2＋(n－4)2， 由题意，有r2＝(23)2＋|n|2，

∴n2＋12＝2n2－6n＋17，解得n＝1或5， ∴r2＝13或37(舍)，∴圆C为：(x－1)2＋y2＝13. 解法二 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

3＋2

(x＋1)， －1－4

4D－2E＋F＝－20

由已知得D－3E－F＝10

E2－4F＝48D＝－2解得E＝0

F＝－12D＝－2当E＝0F＝－12

D＝－10或E＝－8F＝4

，

.

时，r＝13<5；

D＝－10当E＝－8F＝4

时，r＝37>5(舍)．

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. (2)当切线斜率存在时，设其方程为y＝kx＋5， 则

|k＋5|32

＝13，解得k＝或－， 2231＋k

∴切线方程为3x－2y＋10＝0或2x＋3y－15＝0， 当切线斜率不存在时，不满足题意，

∴切线方程为3x－2y＋10＝0或2x＋3y－15＝0.

11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M、N.

(1)若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程； (2)若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；

(3)是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由． 解析：(1)圆心M(－1,1)．

∴圆M的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 直线CD的方程为x＋y－a＝0. ∵⊙M与直线CD相切， ∴圆心M到直线CD的距离d＝化简得a＝2(舍去负值)． ∴直线CD的方程为x＋y－2＝0.

aa

(2)直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心N(2，2)， aa|2－2＋2|

圆心N到直线AB的距离为＝2.

2

a2

∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，∴2＋(2)＝2. 2

2

|－a|

＝2， 2

∴a＝23(舍去负值)．

∴⊙N的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝6.

(3)存在，由(2)知，圆心N到直线AB的距离为2(定值)，且AB⊥CD始终成立， ∴当且仅当圆N的半径

a

＝22，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB2

的距离为2.此时，⊙N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

12．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上， ∴a＋2b＝0，① (2－a)2＋(3－b)2＝r2.②

又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为22， a－b＋12

∴r－()＝(2)2.③

2

2

解由方程①、②、③组成的方程组得：

b＝－3，a＝6，r2＝52，

b＝－7，或a＝14，r2＝244.

∴所求圆的方程为

(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.