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・２３０・ 计算机应用研究 ２００６正 一种新的基于多尺度似然比 检验的ＳＡＲ图像分割方法术 句彦伟 ，田铮 ，丁明涛 （１．西北工业大学应用数学系，陕西西安７１００７２；２．中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室，北 京１０００８０） 摘 要：提出的图像分割新算法利用当图像分辨率改变时，不同目标斑点模式变化方式的不同以及相邻图像尺 度间的Ｍａｒｋｏｖ性，推导得出了多尺度似然比的表达式；该方法同时考虑了多尺度自回归（ＭＡＲ）模型产生的残差 信息和较粗尺度图像的灰度信息，增强了区分度，分割结果更精确；考虑了被分类像素的邻域特性，使其对噪声 不敏感，具有稳健性。实验结果表明分割效果是显著的。 关键词：多尺度似然比检验；Ｍａｒｋｏｖ性；图像分割 中图法分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１－３６９５（２００６）０１－０２３０－０３ Ａ Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ＳＡＲ Ｉｍａｇｅｒｙ Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｒａｔｉｏ Ｔｅｓｔ ＪＵ Ｙａｎ．ｗｅｉ ，ＴＩＡＮ Ｚｈｅｎｇ 一，ＤＩＮＧ Ｍｉｎｇ．ｔａｏ’ （１、Ｄｅｐｔ．ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ Ｓｈａｎｘｉ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ；２．Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｋｅ）Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＰａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｏｉｎ，Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８０，Ｃｈ／ｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｅｘｐｌｏｉｔｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｓｐｅｃｋｌｅ ｐａｔｔｅｒｎ ａｓ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｖａｒｉｅｄ ｆｒｏｍ ｃｏａｒｓｅ ｔｏ ｆｉｎｅ， ａｎｄ ＳＯ ｄｏｅｓ Ｍａｒｋｏｖ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ａｍｏｎｇ ＳＣａｌｅｓ．Ａ ｎｅｗ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｒａｔｉｏ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｕｓｅｓ ｒｅｓｉ— ｄｕａｌｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ＭＡＲ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａｙ ｖａｌｕｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏａｒｓｅ ｓｃａｌｅ ｉｍａｇｅ，Ｉｔ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｔｈｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔａｒｇｅｔｓ， ｉｎ ｔｈｅ ｍｅａｎｗｈｉｌｅ．ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｉＳ ｐｒｅｃｉｓｅ．Ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｗｉｎｄｏｗ ｉｎ ｔｈｅ ｐｉｘｅｌ－ｂｙ—ｐｉｘｅｌ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｆａｉｒｌｙ ｗｅｌ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｒａｔｉｏ Ｔｅｓｔ；Ｍａｒｋｏｖ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ；Ｉｍａｇｅ Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ 由于合成孔径雷达具有高分辨率成像，全天候、全天时对 精细，以至于分割结果不够精确；②方法不稳健，这对于分割问 地观测的优点，并且随着技术的不断发展，分辨率越来越高的 题是非常不利的。 机载和星载ＳＡＲ传感器的相继出现，使得ＳＡＲ图像在遥感、地 针对ＳＡＲ图像分割及上述多尺度分割方法的不足，本文 表检测、自动目标识别等军事和民用方面都发挥着越来越重要 提出了新的多尺度似然比检验的分割方法。该方法不仅利用 的作用。而ＳＡＲ图像分割是进行目标识别、数据压缩、传递等 了不同目标ＭＡＲ模型的残差不同这个特点，而且考虑了较粗 更高级处理的最基本而关键的技术，因此精确而高效的分割方 尺度上像素的灰度信息，最终进行图像分割时，开窗技术的利 法对ＳＡＲ图像处理来说就显得尤为重要了。 用使得被分像素与周围邻域像素的Ｍａｒｋｏｖ性得到体现。 星载ＳＡＲ图像中的斑点噪声是在雷达回波信号中产生 的，包括ＳＡＲ系统在内的所有基于相干原理的成像系统所固 １ 方法原理及理论推导 有的原理性缺陷。传统分割方法是先去噪后分割，但是这样会 １．１ ＳＡＲ图像的自回归模型 不可避免地损失一些目标和结构信息，影响最终的分割效果。 近年来，随着小波等多分辨分析技术的发展，各种多尺度理论 设有一个复值ＳＡＲ图像ｙ， ， 一 ．．， 为ｙ的多尺度 和方法相继出现，如基于ＭＡＲ（Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ，多尺 序列，分别表示在不同尺度（分辨率）下的ＳＡＲ图像，其中 度自回归）模型的ＳＡＲ图像分割理论和分割方法 。 ，尽管能 表示最细分辨率下的ＳＡＲ图像，一般设 等于ｙ； 表示最 对大面积同质区域的不同目标进行分割，然而这类分割方法存 粗分辨率下的ＳＡＲ图像，任意两个相邻尺度ＳＡＲ图像之间分 辨率按两倍数变化。也就是说，设最细尺度ＳＡＲ图像 的分 在两种不足：（￣ＳＡＲ图像的ＭＡＲ模型的建立是以不同目标的 残差分布为特征的，而残差的均值都近似为０，区分指标不够 辨率为占Ｘ占且含有Ｎ×Ｎ个像素（Ｎ：２ ，Ｍ为正整数），那么 每一个粗尺度ＳＡＲ图像 的分辨率就是２ｍ８ Ｘ ２ ８且有 收稿Ｅｔ期：２００５－０１－０９；修返日期：２００５－０３－２１ ２一ＮＸ２ Ｎ个像素点，其中每一个像素点ｙ，（ｍ，ｎ）按下列公 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０３７５００３）；航空基础 式获得： ２ｍ ２ｎ 科学基金资助项目（０３１５３０５９） （ｍ，ｎ）＝， ． ． —ｌ（ｉ√） （１） 维普资讯 http://www.cqvip.com
第１期 句彦伟等：一种新的基于多尺度似然比检验的ＳＡＲ图像分割方法 ・２３１・ 即ＳＡＲ图像ｙ』中的每一个像素 （ｍ，ｎ）都是图像ｙ』一。中 的四个子像素点的和。多尺度序列 ， 一 ．．， 之所以这 样构造，其原因来源于ＳＡＲ图像形成的机理，也就是图像中的 为了寻求Ｂａｙｅｓ检验，必须判决观测空间ｚ上的点落到区 域ｚ。或ｚ ，即 Ｚ：Ｚｏ＋Ｚｌ垒ＺｏＵＺｌ （７） 每一个像素值都是分辨单元内地表物体反射回波的和。考虑 到复值图像中相位的变化，直接利用ＳＡＲ图像值并不能对其 有效地建模，而对像素值取对数却能较好地表现出ＳＡＲ图像 式（５）可重新写为 Ｒ＝尸０ｃ００ｆ Ｐ，ＩＨ０（ＲＩ％）ｄＲ＋ＰｏＣｌｏ［ｚ一 Ｐ，ＩＨ０（ＲＩ％）ｄＲ＋Ｐｌｃｏｌ ｆ Ｐ ＩＨｌ（ＲＩＨＩ）ｄＲ＋ＰＩＣｌｌ［Ｚ一２ｂＰ ＩＨｌ（ ＩＨＩ）ｄＲ （８） 的统计性质，于是，对原图像值进行如下对数变换： ，注意到 （２） （ｍ，ｎ）：２０ｌｏｇ（ （ｍ，ｎ）） ｆ ｚＰ，ＩＨＯ（ＲＩＨｏ）ｄＲ：ｆ ｇＰ ．（ＲＩＨ１）ｄＲ＝１ （９） 这样每一个像素都与其相邻的较细尺度的四个子像素点、 较粗尺度的一个父像素点相对应，自然就形成一个四叉树。而 则式（８）可写为 Ｒ：尸０Ｃｌｏ＋ＰｌＣｌｌ＋ｆ ［Ｐｌ（Ｃｏｌ—Ｃｌ１）Ｐ ｌ（Ｒ Ｉ Ｈ１）］一［尸０ （Ｃｌｏ—Ｃｏｏ）Ｐ，ＩＨ０（ＲＩＨｏ）］ｄＲ （１０） 且树上的每一个节点ｓ都对应一个有序数组（ｆ，ｍ，ｎ），其中ｆ 表示节点所处的尺度，（ｍ，ｎ）表示像素所处的位置。作为例 子，图１给出了一个三尺度的ＳＡＲ图像四又树。为了方便，节 点ｓ处的像素值记为Ｘ（ｓ），节点ｓ所处的尺度记为ｍ（ｓ），则定 义在四叉树上的ＭＡＲ（Ｐ）模型为 （５）：０ｌ （ ｙ）＋Ｌ＋０。 （５ Ｐ）＋ （５） （３） 其中，ｎ。，Ｌ，ｎ 是回归系数，可由经典的最小二乘法（ＬＳ）来确 定， （ｓ）是残差图像。 ０） ／ ・（ｏ ＼＼ ／ （ｏ 嬲 Ｏ、１、０】０ ｏ，１）／ ｏ，塑！！２ ） 图１具有三个分辨率序列的ＳＡＲ图像在四叉树上投影 １．２假设检验和判别准则 为方便清晰，以二元情形为例阐述假设检验和判别准则原 理。设 表示来自第一类目标， 。表示来自第二类目标，则 执行每次判决必有下面四种情形发生： （１） 为真，判决 成立； （２） 为真，判决 成立； （３） 。为真，判决 成立； （４） 。为真，判决 成立。 一般地，贝叶斯准则和尼曼一皮尔逊准则两个准则都可以进 行判决，这里主要利用贝叶斯准则来进行分类判决。贝叶斯检 验是基于两个假设：①信号来自 与日。的先验概率，分别为 尸０与Ｐ。；②赋予每种判决一个非负代价因子Ｃ 表示在 为真 时判决为 的代价，那么得到的风险为 Ｒ：Ｃｏｏ尸０Ｐ，（判作％Ｉ％真）＋Ｃｌｏ尸０Ｐ，（判作Ｈｌ Ｉ％真）＋ ＣｌｌＰｌＰ，（判作Ｈｌ ＩＨｌ真）＋ＣｏｌＰｌＰ （判作％ＩＨｌ真） （４） 因为判决必须是来自Ｈｏ或 。，因此把观测空间分为Ｚ０ 和ｚ。两部分，若观测值落入Ｚ０，则信号来自 ；若观测值落入 ｚ。，则信号来自日。。于是可将式（４）写为 Ｒ：Ｃｏｏ尸０ ｆ Ｐ ＩＨ０（ＲＩ％）ｄＲ＋ＣｌｏＰｏ ｆ Ｐ ＩＨＯ（ＲＩ％）ｄＲ＋ＣＩ】Ｐｌ Ｊ ＺＩＰ ｌ（ＲＩＨ１）ｄＲ＋ＣｏｌＰｌ ｆ ＺｎＰ １（ＲＩＨ１）ｄＲ （５） 对ｎ维观测空间，式（５）中的积分是ｎ重积分，这里的目 的就是使得风险 达到最小。由于错误判决比正确判决付出 更高的代价，因此设Ｃ。ｏ＞Ｃｏｏ，ｃｏ。＞Ｃ （６） 由于式（１０）前两项为常数，由式（６）可知被积部分的两项 均为正数。为了使风险Ｒ达到最小，那么使得第二项取值比 第一项取值更大的 上的观测值应该来自区域Ｚｏ；类似地，使 得第一项比第二项取值更大的Ｒ上的观测值应该来自区域 Ｚ 。因此如果 尸０（Ｃｌｏ—Ｃｏｏ）Ｐ，Ｉ ０（ＲＩ％）≥Ｐｌ（Ｃｏｌ—ＣＩ】）Ｐ Ｉ ｌ（ＲＩＨ１） （１１） 则来自 ，否则来自Ｈ。。式（１１）也可写为 Ｐ，ＩＨ０（ＲＩ％）Ｈ０ Ｐｌ（ＣｏＩ—ＣｌＩ） Ｐ ．（ＲＩＨ１）Ｈｉ尸０（ｃｌｏ—Ｃｏｏ） 式（１２）的左边就叫做似然比，记作 ，垒 ， 因此找到检验阈值叼，从而得到似然比检验。 Ｈ０ Ａ（ 叩 （ ４） １．３ ＳＡＲ图像的多尺度似然比检验 文献［２，３］仅仅利用了ＭＡＲ模型的残差分布特征对ＳＡＲ 图像进行分割，它由多尺度自回归模型得到的用来分类的似然 比表达式为 Ｚ：５－ｌｏｇＰ（ （５）ＩＨ１）一５－ｌｏｇＰ（ （５）ＩＨｏ） （１５） 其中Ｗ（ｓ）＝ （ｓ）一ｎ。 （ｓ ）一￡一ｎ （ｓ ），用来分类的阈值 叼是通过对每类目标进行训练来得到的，然后由阈值对图像进 行分割。 为了充分利用图像的多分辨特征，融合各个分辨率上的 ＭＡＲ模型的残差分布特征和尺度像素灰度差异性，由如下定 义的多尺度对数似然比（由于对数变换是严格单调增的）来推 导最终的多尺度似然比： 。ｓ 等 篙 丽 ｃ１６一 ｝ 其中， ， 。，Ｌ， 为多尺度序列，Ｐ（ 。， 。，￡， 一。， ｛Ｈ ）为 假设像素来自Ｈｉ（ｉ＝０，１）的联合密度函数，则 ． ｌ． Ｐ（ ．１ １）Ｐ（ ．一１Ｉ ．， １）ＬＰ（ ｌＩ ２，Ｌ， ．、Ｈ】）Ｐ（ＸｏＩ ｌ，￡、 ，，Ⅳ１） ｏｇ 瓦 ． ｌＰ（ ．ＩＨ１）Ｐ（ ．一１Ｉ ．， １）Ｌ Ｐ（ ｌ Ｉ ２．Ｌ， ．， １）Ｐ（ ０Ｉ ｌ，￡， ，，Ⅳ１） ｏｇ 瓦 ・ｏｓ Ｐ（ ￡ ＩＨｏ ）Ｐ（ ￡一１ ＩＨｏ ）￡尸（ １ ＩＨ ｏ ）尸（ ｏ ＩＨｏ＝ ） ７～ ‘ ‘ 、。 … Ｐ（ ￡一ｌ（ｓ 一 ）ＩＨ１）Ｌ Ｐ（ ｌ（ ｙ）ｌＨ１）Ｐ（ （ｓ）ｌＨ１）］一二ｌｏｇ［Ｐ（ ￡（ ）ＩＨｏ） 尸（ｗＬ—ｌ（ｓ 一 ）ＩＨｏ）￡Ｐ（ ｌ（吖）ＩＨｏ）Ｐ（ ｏ（ｓ）ＩＨｏ）］ （１７） 这里第二个等号由式（３）得到，第三个等号是由ＭＡＲ模型的 Ｍ￣ｒｋｏｖ性得到的。 维普资讯 http://www.cqvip.com
・２３２・ 计算机应用研究 ２００６钲 假定Ｐ（ ，ＩＨｉ），Ｐ（ ，ＩＨｉ）（ｉ＝０，１；ｚ＝１，Ｌ，Ｌ一１）的分布都 可见与基于ＭＡＲ模型的分割结果相比，所提方法的分割结果 是高斯的，它们的参数由各类目标训练得到，则像素点 （ｓ） 更精确，已有方法不能得到比较精确的分割结果，且通过多次 的分类由下列法则得到： 试验已有方法分割也不如所提方法稳健。尽管这里选择由两 ｃ（５）：ｆＨｏ ｉｆｌ（Ｙ０（ ≥叩 （１８） 类组成的图像来验证方法的有效性，但是对多类也是有效的， 【ＨＪ ｉｆ ｚ（ｒｏ（５））＜１７ 这样做只是为了阐述简洁方便又能说明问题而已 。 其中阈值 可以通过检测多分辨似然比ｌ的直方图来确定。 对比式（１５）和式（１７），式（１５）没有考虑尺度图像上的像 ３ 结论 素点的灰度信息，仅仅利用了ＭＡＲ模型的残差分布特征，而 本文提出的新的多尺度似然比检验分割方法可以推广到 式（１７）将两者融合为一体，都加以考虑，增加了不同目标的可 更一般的适合每类目标的函数分布。通过适当选择开窗的大 区分度。 小可以满足不同的需要：粗分割可选择较大的窗口，较细的分 ２实验结果 割则可选择较小的窗口。实验结果表明该方法具有稳健性和 分割结果精确的优点。将该方法推广到无监督分割是正在进 选取两幅ＳＡＲ图像按照上面所述的方法进行实验。尽管 行的工作。 式（３）中的回归阶数能由ＳＡＲ模型的定阶准则来选择，这里选 择ＭＡＲ模型的最大回归阶数为Ｐ＝３，因为这样建模精度和计 参考文献： 算复杂度会达到一个好的权衡。由于像素与其邻域内像素间 ［１］Ｂｅｎｖｅｎｉｓｔｅ Ａ，Ｎｉｋｏｕｋｈａｈ Ｒ，Ｗｉｌｌｓｋ．￣Ａ．Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｓｙｓｔｅｍ Ｔｈｅｏｒｙ 的Ｍａｒｋｏｖ性，所以利用开窗技术，这样能考虑被分类像素周围 ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔ ａｎｄ Ｓｖｓｔｅｍ Ｉ：Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｔｈｅｏ－ 的邻域特征。对开窗大小分别为９×９，１７×１７进行了实验，分 ｙｒ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９４，４１（１）：１９１５－１９３４． 割结果如图２、图３所示。 ［２］Ｆｏｓｇａｔｅ Ｃ，Ｉｒｖｉｎｇ Ｗ，Ｋａｒｌ Ｗ，ｅｔ ａ１．Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａ— ｎｏｍａｌｙ Ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ＳＡＲ ＩｍａｇｅＱ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｒａ— ■ ｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９７，６（１）：７—２０． ［３］Ｉｒｖｉｎｇ Ｗ，Ｎｏｖａｋ Ｌ，Ｗｉｌｌｓｋｙ Ａ．Ａ Ｍｕｈｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｄｉｓ— ｃｒｉｍｉｎａｔｉｏｎ ｉｎ ＳＡＲ Ｉｍａｇｅｒｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｅｒｏｓｐ Ｅｌｅｃ— （ｂ）基于ＭＡＲ模型 （ｃ）窗口大小为 （ｄ）窗口大小为 （ａ）原图 分割结果 ９ｘ９的分割结果 １７ｘ１７的分割结果 Ｉｒｏｎ Ｓｙｓｔ．，１９９７，３３（４）：１ １５７—１ １６９． 图２分割结果ｌ ［４］Ｖａｎ Ｔｒｅｅｓ，Ｈａｒｒｙ Ｌ．Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ａｎｄ Ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ 一 ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｈｏｕｓｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｉｎｄｕｓｔｙｒ，２００３． 作者简介： 句彦伟（１９７８一），男，山西人，博士研究生，研究方向为图像处理、模式 （ｂ）基于ＭＡＲ模型 （ｃ）窗口大小为 （ｄ）窗Ｅｌ大小为 识别；田铮（１９４６一），女，辽宁法库人，教授，博士生导师，主要研究方向 （ａ）原图 分割结果 ９ｘ９的分割结果 １７ｘ１７的分割结果 为非线性时间序列、信号处理、图像信息处理；丁明涛（１９８３一），男，湖 图３分割结果２ 北人，硕士研究生，研究方向为图像处理、模式识别。 （上接第２２９页） 参考文献： 表６参数曲线分段前后运行时间变化 ［１］Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ Ｊ Ｅ．Ａ１ｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｐｌｏｔｔｅｒ 曲线类型 分段前（文献［７］方法）运行时间（ｓ） 分段后运行时间（ｓ） ［Ｊ］．ＩＢＭ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９６５，４（１）：２５—３３． 二次曲线 ３４．９ｌ６ ３３．９５９ ［２］Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ Ｊ Ｅ．Ａ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｉｎｃｒｅｍｅｎｔｌａ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｄｉｓｐｌａｙ ｏｆ 三次曲线 ７６．８３５ ６５．４２９ Ｃｉｒｃｕｌｒａ Ａｒｃｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＡＣＭ，１９７７，２０（２）：１００—１０６． ［３］Ｍ Ｌ Ｖ Ｐｉｔｔｅｗａｙ．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｄｒａｗｉｎｇ Ｅｌｌｉｐｓｅｓ ｏｒ Ｈｙｐｅｒｂｏｌａｓ ｗｉｔｈ ａ ５结论 Ｄｉｇｉｔｌａ Ｐｌｏｔｔｅｒ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｔｏｕｍａｌ，１９６７，１０：２８２—２８９． 本文提出了一个分段步长生成参数曲线的方法，从根本上 ［４］Ｈｏｂｂｙ Ｊ Ｄ．Ｒａｓｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｃｕｒｖｅｓ［Ｊ］．ＡＣＭ Ｔｒａｎｓａ— ｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，１９９０，９（３）：２６２—２７７． 解决了现有的参数曲线逐点生成算法在绘制曲线的过程中出 ［５］刘勇奎，石教英．曲线的整数型生成算法［Ｊ］．计算机学报，１９９８， 现的所绘制点疏密不均的现象，并且证明了分段后每段的步长 ２１（３）：２７０—２８０． 优于部分段步长，所以实际上所绘制的点数小于或等于统一绘 ［６］黄有度，朱功勤．参数多项式曲线的快速连点生成算法［Ｊ］．计算 机学报，２０００，２３（４）：３９３—３９７． 制时的点数。 ［７］刘勇奎，周晓敏．逐点生成参数曲线的双步算法［Ｊ］．计算机辅 曲线分段虽然需要增加少量的加法和除法运算，但同分段 助设计与图形学学报，２００２，１４（７）：６１９—６２３． 后所减少的绘制点数相比，这一点代价是微不足道的，这一点 ［８］孙家广，杨长贵．计算机图形学（新版）［Ｍ］．北京：清华大学出 从实验数据中可以很明显地看出。而且在计算机内，对于分成 版社．１９９５． ［９］唐荣锡，汪嘉业，彭群生，等．计算机图形学教程（修订版）［Ｍ］． 两段和四段的除法操作，只需向右移动一位和两位，操作简单、 北京：科学出版社，２０００． 速度很快。本文以最常用的二次和三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线为例，从实 作者简介： 验角度进行了证明，从二次和三次曲线的实验数据可以看出， 王晓强（１９７６一），男，讲师，硕士，研究方向为计算机图形学；刘勇奎 曲线次数越高，分段绘制的效果就越理想。 （１９６１一），男，教授，博士，研究方向为计算机图形学及图像处理等
