关于高斯光束倍频效率的理论研究

１　９９１年　吉林２７．业大学学报　№１　第ｌ期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＬＩＮ　ＵＮｌＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ｌ９９１　关于高斯光束倍频效率的理论研究　应用袖理系王晓东　中铉国　李启拴林晓珑　摘要本文中将倍频晶体分割成无数多个小倍频单元，并导出每个　倍颊单元中的谐波功率与倍额效率．然后利用积分求和得出了整个晶　体中总的高斯光束倍颊效率．最后以ＫＤＰ晶体为倒讨论了计算结果．　关键词高斯光束　倍频　倍频单元　Ｏ　引　言　高斯光束的倍频是非线性光学中比较复杂的一种情况，因为沿纵向和横向各点上的　能量密度与相位失配均是各点不相同的．但处理这一问题的传统方法一般是直接利用二　次谐波的转换效率公式　１ｊ　。　ｑｓｕ＊　诅ｎ　Ｉ『删　ｃ…　百ｆ＇ｗｆ　１］　【　　Ｊ—｝Ｔ　Ｊ　｝＿ＬＩ　　）　式中Ｋｏ＝２矿　秭，其中　一．，　为平面波阻抗，ｚ为非线性晶体长度，　为基波光截　面面积，ｔｏ，为基波频率，　为晶体的非线性系数．由（１）式可以看出，晶体长度ｆ，基波　功率密度（　）和相位匹配因子　均影响着倍频效率　特别是对于高斯光束来说．　由于基波光束总存在着发散角，因此，在晶体内部各处的相位匹配因子ＡＫ是不相同的，　所以我们艰难严格地求出整个晶体中的总的倍频效率．在本文中通过将倍频晶体分割成　无数多个小倍频单元，然后利用积分求和导出整个晶体中高斯光束的总倍频效率的方　法，给出了计算整个晶体中高斯光束的总倍频效率的新途径．并考察了高斯光束束腰尺　寸　对倍频效率的影响．最后以ＫＤＰ晶体为倒讨论了计算结果，　１　晶体中高斯光束的倍额效率　在本文中我们主要针对薄片晶体进行讨论，并且选择高斯光束的光轴方向与晶体的　相位匹配方向严格一致．将高斯光束沿径向分成无数多个同轴的厚度为ｄｒ且沿　轴方向　稍微发散开的圆筒（见图Ｉ），那么，每一圆筒的横截面内的功率密度必然处处相等．对　收黼ｌ１瑚：Ｉ９８９—１２—０１　６一　维普资讯 http://www.cqvip.com

于薄片倍频晶体，　《２：。，则可忽略光束截面的变化．因此可认为在每一薄圆筒壁中自ｊ功　率密度处处相等．另一方面，高斯光束的光轴与晶体的相位匹配方向一致，则在任一薄　壁圆筒的横截面上的相位失配　处处相等．同理，　《２　则可认为任一薄圆筒壁中的　相位失配处处相等．从而，可以将许多这样的薄壁圆筒作为倍频单元．对于每一单元均　可利用（１）式求解出该单元中产生的谐波功率的大小，然后再将这些谐波功率在整个品　体中叠加，就可　得出总的谐波功率和倍颁效率．　骨　ａ　挑哉ｔｆｌｌ　ｈｌ此　『Ｉ　ｍ『　图１薄片晶体的倍额　首先·让我们导出任一倍频单兀内功率密厦的关系式．我们知道，谐振腔内基波光　场场强的表达式为　（ｚ，　，＝）＝　ｅｘｐ｛一　（　：～　（ｚ）］一ｒ　［　＋　＿＿］｝　（２）　式中　ｏ为光腰的光斑尺寸，　（＝）为距光腰位置的距离为＝处的光束的光斑尺寸，其大小　为　～［·十（　一　㈤　而　（　）的太小为ｆｌ（ｚ）＝（　＋　）／＝．光强，和光波功率　与光波场强　的关系为ｎｌ　√音１　Ｉ　高斯光束中横向距轴　处的功率密度可以由（２）式至（ｄ）式求出，设｛（ｔ）代表　处的功率　密度，则由以上各式可得　古　蔫唧［一茄］　㈣　对于整个光束来说，总的基渡功率为　｛　研　（一磊）删　扣　㈣　将（６）式代入（５）式，有　维普资讯 http://www.cqvip.com

赤ｅｘｐ［一而２ｒ２］　㈤　对于薄片晶体，有　《２　，从而可认为　∞（＝）≈∞（０）一　（８）　代入（７）式可得　一　∞６　、ｘｐ（　一等）∞，　．　㈤　其次，下面我们来导出在每一倍频单元中相位失配因子的表达式．为此，我们令ｍ是任　意大于零的正整数，我们来求内径为ｒ—ｍ　（＝），厚度为ｄ　的倍频单元的相位失配角，由　（３）式可知　’　㈤：　『１＋（三）ｚ　（１　０）　Ｌ　邱　Ｊ　对于某一倍频单元来说，光束相对于晶体相位匹配方向的角度ＡｏＯ－）可以由下式确定　（ｒ）一五ｄｒ—　ｄ　ｎ　Ｚｏ　瑞十　‘Ｊ　‘　…）　将（】０）式代入（１１）式，得　（　）　痛’　（１　２）　对于薄片晶体，ｚ《２　，尽管我们忽略了光束横截面的变化，但倍频效率对相位失配量　Ａ　是很敏感的，因此，不能忽略　以及Ａ０随ｒ的变化＋此时，我们不妨取ｚ＝ｚｏ／５，代　入（Ｊ　２）式，立即可得　）　…）　对于第一类相位匹配，其相位匹配角由下式计算－３．　ｓ　一器享篙若　（１　４）　只要基波以０　角入射，就能满足第一类相位匹配条件一。　：　（　）一＂　（】５）　若入射基波的方向与相位匹配方向偏离了一个小量ＡＯ＝Ｏ－－Ｏ　，则　起的相位失配为一　ＡＫ—Ｋ　一２Ｋ　一　［＂　（　）一蚶］一２１ｔＮ）　（Ｊ６）　式中　一一　（２　）　（１　７）　将（１　３）式代入（１　６）式，有　ＡＫ一２／ｔ。　‘１　８）　在以上导出的任一倍频单元内功率密度和相位失配因子的基础上可以推导出总谐波　功率及总倍频效率．对于任一单元，由式（９）可知，其基波功率为　ｄ　一功率密度×面积元一　一等×２ｎｒｄ　（１　９）　并且该倍频单元内任一点ｒ上的ｄｆ’　（ｒ）和铀ｆＧ（　）均为一定值＋由（Ｉ）式，（９）式和（１８）式　８一　维普资讯 http://www.cqvip.com

…　一　］　由（Ｉ９）式和（２０）式可以写出　处倍频单元中的谐波功率为　～　：￣ｏｘｏ（一　小　（　一；　肼　『『　将所有倍频单元产生的谐波功率叠加起来，ｇｔ￣－Ｉ以得到整个高斯光束通过倍频晶体后产　生的总谐波功率　『『　＋　一　言　卜　＋　因为高斯光束功率密度是辅对称分布的，并且主要能量集中在光轴附近．束腰处　＝３ｗｎ＋　　范围内集中的能量占总能量的９９．９％以上，因此，我们可以将（２２）式的积分区间（Ｏ～　。ｏ）变为（Ｏ～３　），令　ｍ　ｒ一｛　（Ｊ＋　）　（２３）　则　的变化区问为（－－１～＋１）．再注意到式（３），并令常数项为　＋　＝　口＝　㈣　将（２３）式和（２４）式代入（２２）式．可得高斯光束通过薄片倍频晶体后的总倍频效率为　］●●●●　●●●Ｊ　由（２５）式可直观地看出倍频效率　与束腰尺寸　的关系．首先可以看到数值口。：　『／　，即口随　的减小而增大，也就是说　的减小可提高倍频救率．坦从另一方面来　看，因子ｓｉｎｌ÷（『Ｌ　＋ｚ）ｌｊ　中，对于　大的光束，其函数曲线将会在Ｉ的附近变得很平坦，　这也就是说在光轴附近（　≈０）的倍频单元几乎都能满足相位匹配条件，因此　越大越有　利于提高倍频效率．相反，‰越小．ｓｉ　１ｌ　（【－Ｉ－ｚ）ｌ函数曲线将在１的附近变得很陡．即　Ｌ　ｕＪ０　Ｊ　ｒ　１　与光轴稍有偏差的点，其ｓｉｎｌ÷（１＋　）ｌ的值会总剧下降，从而降低倍频效率．综台以上　两个方面，可以得出这样一个结论，即必然存在着一个　值，当束攫光斑尺寸取为此值　时，整个装置中与倍频效率有密切关系的功率密度和相位匹配这两个因素得到兼顾、从　而倍频效率获得最大值．　９　维普资讯 http://www.cqvip.com

２数值计算举例　下面找们利用以上导出的薄倍频晶体的效率公式，以较常用的ＫＤＰ晶体为倒计算　薄ＫＤＰ晶体的倍频效率．ＫＤＰ晶体的折射率分别为　ｎ　＝】．５０６，　＝】．４　６６，砖　：Ｉ．５３４和ｎ　＝１．ｄ　８７．晶　体长度为　一ｌｃｍ．对第一类相位匹配基波入射角可由　（１　４）式计算出为“一５０．４。，有效非线性系数为ｒ“ｄ　＝ｄ，ｔｓｉｎ０￣ｓｉｎ２　ｃｐ．其中　ｌ＿一５×１０　ＭＫＳ．取方位角　：４５。，则　＝３．５３５×ｌＯ　‘ＭＫＳ．计算中高斯光束中　的基波功率选为Ｐ　＝９．ｄ８×１　０‘Ｗ．计算结果见图２．　由图２可以看出，当　很小时，尽管此时功率密　图２倍频效率随光束束腰　度很大．但倍频效率却并不高，而是在０．５５附近上下　尺寸变化曲妻｝｝　波动．随着∞ｏ的增大．倍频效率　—也随着增大．当　增大到一定值蛳：３９￣ｕｎ，时，，Ｔｓｕｏ　得到最大值．随着进～步地增大　，日　。不但不会增加，反而下降．　在本文中，我们从理论上给出了计算高斯光束倍频效率的一种新方法．并以ＫＤＰ晶　体为例进行了数值计算．在这种方法中，最后只要选定具体晶体，并利用数值积分方法　编制出计算倍频效率（２５）式的计算程序．则只要给定晶体长度和束腰尺寸就可以计算出　倍频效率．显然．这为实际谐振腔的设计提供了报大的方便．我们认为这种方法也一定　适用于有一定长度的倍频晶体中的高斯光束的倍额效率的公式的导出与计算．　参考文献　１　Ｋｏｅｃｈｎｅｒ　Ｗ．固体激光工程．科学出版社，１　９８３　２徐荣甫，刘敬海．激光器件与技术教程．北京工业学院出版社，１　９８６　３　Ａ．亚里夫．量子电子学．上海科学出版社，１９８３　４　Ｈｌ＇￣ｒｐｅｒ　Ｐ．Ｇ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｏｐｔｉｃｓ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９７７　Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ　Ｒｅｓｃａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｄｏｕｂｌｅ　Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　Ｇｕａｓｓ　Ｂｅａｍ　：　Ｗａｎ９　Ｘｉａｏｄｏａｇ．觑Ｈｊ　ｎ　ｍ．　∞触　ａｎｄ　Ｘｉａｏｔｏｒ￣　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．ｗｅ　ｄｉｖｉｄｅｄ　ｔｈｅ　ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｃｒｙｓｔａｌ　ｉｎｔｏ　ｎｕｍｅｒｏＵｓ　ｓｍａｌｌ　ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅ—　ｑｕｅｎｃｙ　ｕｎｉｔｓ　ａｎｄ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｐｏｗｅｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｅｆｆｉｃｉｅａｃｙ　ｉｎ　ｅａｃｈ　ｕｎｉｔ·　Ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　Ｊｎ　ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ｃｒｙｓＩａ】　ｕｓｉｎｇ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｆｉｎａｌｌｙ　ｗｅ　ｄｉＳＣｕＳＳｅｄ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ａｂｏｕｔ　ＫＤＰ　ｃｒｙｓｔａ１．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｇａｕｓｓ　ｂｅａｍ．ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ．ｄｏｕｂｌｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｕｎｉｔ　ｌ　０——