运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式

运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式

【典例1】函数的取值范围；

fx是R上的单调函数，满足

f2f1，且

fm2fm，求实数m

【问题解决】

由已知函数fx是R上的单调函数，且满足f2f1，

得函数是R上的单调递增函数，

fm2fm又，

2所以mm，解得m1或m0

所以实数m的取值范围是m1或m0；

【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[2,2]，且在区间[2,0]内单调递减，求满足

f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围．

【问题解决】

∵f(x)的定义域为[2,2]，

21m2221m2，解得1m3 ① ∴有

2由f(1m)f(1m)0

2f(1m)f(1m) ∴

22f(1m)f(m1) f(x)又由为奇函数，得

2f(1m)f(m1) ∴

又f(x)为奇函数，且在[2,0]上单调递减，

∴f(x)在[2,2]上单调递减．（要证明）

2∴1mm1.

即2m1 ②

综合①②，可知1m1.

【牛刀小试】

x2＋4x

1、已知函数f(x)＝

4x－x2

( )

x≥0，

x＜0，

若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案：C

2、设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围．

12。

答案：

1m3、函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1，

2f(3mm2)3。 f(4)5若，解不等式

答案：

1m43。

fx4、如果函数在[a,b]上是增函数，对于任意的x1,x2[a,b],(x1x2)，给出下列结论：

f(x2)f(x1)0（1）、x2x1，

（2）、(x2x1)(f(x2)f(x1))0，

（3）、f(a)f(x1)f(x2)f(b)，

x2x10f(x2)f(x1)（4）、；

其中正确的是____________（将正确的序号都填上）；

答案：（1），（2），（4）；