例谈Lagrange乘数法在不等式证明中的应用

３９　例谈Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法在不等式证明中的应用　广东省佛山市第一中学（５２８０００）　周骁　多年以来，不等式一直是高考和竞赛中的必考内容，究　其原因在于其能很好地考查学生逻辑推理能力和创新能力．　不等式类的题目题型多样，技巧性强，得分难度大，对于众多　难，从而达到快速解题的目的．　二、Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数在高考中的应用　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数可以用于陕速解决不等式问题，在该类题　考生来说，成功解决不等式大题显得相当困难．本文笔者将　较详细地举例说明Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法在高考、数学竞赛和经济　学中的应用，并总结归纳了考生易于理解掌握、程序化的利　用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法解决不等式证明或最值问题的一般步骤　和方法．　一、Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法　在介绍Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数之前，我们先介绍一下多元函数及　其偏导数的求法．多元函数，顾名思义为拥有多个变量的函　数，如ｙ（ｘ，　）＝２ｚ＋３ｙ。一　为二元函数，其中变量为　，　；　ｆ（ｘ，　，　）：３ｚ＋２ｙ。一４ｚ为三元函数，其中变量为ｚ，　，　．　关于多元函数的偏导数，类似于物理学中的控制变量法，　对选定的变量求导数，将未被选定的变量看作常数．　设函数ｆ（Ｘ，　）＝２ｘ＋３ｙ　一　，对＿ｚ求导数为　＝２一　，对　求导数为　＝６ｙ—　，（本文以　表示　多元函数，对ｚ的偏导数，以　表示多元函数，对　的偏　导数，以此类推．）　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数，即求一个多元函数，在另一个多元函数　方程９＝０的约束下的极值，本文只讨论它在高考及竞赛中　的应用，更多的细节请读者参考高等数学文献．　以二元函数为例，若求在条件ｇ（ｘ，　）＝０下，求ｆ（ｘ，　）　的最大或最小值，其方法可以简述如下：首先，构造函数　ｈ（Ｘ，　）＝／（ｘ，　）～　（　，　）；然后分别对　，　求偏导数，得　到ｈ　＝　一　，ｈ　＝　一　（　∈Ｒ）．再通过联立方　程：ｈ　（　，　，　）＝０，　（ｚ，　，　）＝０，ｇ（　，　）＝０，消去Ａ之后，　得到对应的一组或多组解（ｚ，　）．这些解便是，（ｚ，　）在约束　条件ｇ（ｘ，　）＝０之下的可能的极值点（这里假定原问题有极　值）．　通过上述，我们可以看出Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法其实就是根据　题意构造多元函数ｈ并求出其极值，本质上与一元函数求极　值是相同的．至于如何判断哪一组　，　是在ｇ（ｘ，　）约束下　的最大值或最小值，只需将所求得的　，　代入原式，比较大　小即可．　我们可以通过Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法，避免不等式的繁琐与困　目中，题目一般会给出变量的约束方程，求另一个多元函数　的最值．　例１已知ｎ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０，且ｎ＋ｂ＋Ｃ＝１，求　＋壶＋壶的最小值－　解析设多元函数ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝ｎ＋ｂ＋ｃ一１，ｆ（ａ，ｂ，Ｃ）＝　壶＋壶＋壶，构造函数＾（ｎ，ｂ，ｃ）：ｌ，（。，６，ｃ）～入ｌｑ（ｎ，ｂ，ｃ），　求偏导数ｈ。＝ｆａ一入ｌｑ。，ｈｂ＝ｆｂ一　，　。＝＾一　９　，令　ｈ。＝０，ｈｂ　０，ｈｃ＝０得到一　一二ｂａ　一。Ｃ３　＝。·因为　ｎ，ｂ，ｃ＞０，所以当。＝ｂ＝ｃ时　ｒ上‘＋去＋　０‘　Ｃ　有最小值．因　为ｎ＝６＝ｃ，且。＋ｂ＋ｃ＝１，所以。＝ｂ＝ｃ＝　，所以　＋去＋　的最小值为２７．　ｒ上　Ｄ‘　Ｃ‘　例２函数　＝ｌｏｇ。　＋３）一１（ｎ＞０，。≠１）的图像恒　过点Ａ，且Ａ在直线ｍ　＋ｎ　＋１　０上，ｍ竹＞０，求一１＋１　ｍ　礼　的最小值．　解析解法一均值不等式法　易知　（一２，一１），代入直线得一２ｍ—ｎ＋ｌ＝０，２ｍ＋他：　１，　十　：（　＋　）（２ｍ＋ｎ）：１＋２＋　＋旦≥３＋２　．　解法二Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法　易知Ａ（～２，一１），代入直线方程得一２ｍ—ｎ＋１＝０．　设二元函数ｌ９（ｍ，　）：一２ｍ一　＋１，，（ｍ，ｎ）＝　＋一３－．　构造函数ｈ（ｍ，礼）＝．厂（ｍ，礼）～　夕（ｍ，礼），对变量求偏导数，　ｈｍ：　一　９　，　＝　～．Ｘ９　，令　＝０，ｈ　：０，　于是　ｍ＝佗．将　ｍ＝ｎ代入直线方程，解得　ｍ＝—：　，／２＋２　，几：—　一、／２＋１　．此时　ｍ　＋　有最小值３＋２　．礼　　’　例３（辽宁理２０１４年第ｌ６题）对于ｃ＞０，当非零实数　０，６满足４ａ　一２ａｂ＋４ｂ　一Ｃ＝０，且使Ｊ２０＋ｂ　Ｊ最大时，求　一　＋　的最／Ｊ、值．　解析此题的约束条件有两个，一个是。，ｂ，ｃ的关系式，　即４ａ　一２ａｂ＋４ｂ。一Ｃ＝０，一个是使得｝２ｎ＋ｂｌ取最大值．　１２ａ＋ｂｌ的最大值等价于（１２ａ＋ｂ１）。＝４ａ。＋４ａｂ＋ｂ。的最大值，　对于约束条件４ａ。一２￣ｂ＋４ｂ　～ｃ＝０，为简单起见，先将ｃ看　成常数．不妨设二元函数，（ｎ，ｂ）＝４ａ　＋４ａｂ＋ｂ。，ｇ（ａ，ｂ）＝　４ａ。一２ａｂ＋４ｂ。一ｃ，构造函数ｈ（ａ，ｂ）：ｆ（ａ，ｂ）一Ａｇ（ａ　），求　夕。，ｈｂ＝＾～Ａｇｂ，ｈ　：ｆｃ—Ａｇ　，令偏导数等于零，即　偏导数ｈ。：ｆａ～　９。，ｈｂ＝ｆｂ—Ａｇｂ，令ｈ。＝ｆａ一　９。＝０，　ｈｂ＝＾一Ａｇｂ＝０，因为２ａｂ—ｂ　＋８ａ。＝１４ａｂ一４ａ。＋８ｂ。，所　ｈ。＝ｆｏ一　夕。＝０，ｈｂ＝ｆｂ一．ｋ．ｇｂ＝０，ｈ。＝ｆｃ一．ｋｇ　＝０，易　知当ａ＝ｂ＝ｃ＝１时，　＋　＋　有最小值３．同理，令　以（３ｂ＋２ａ）。＝１６ａ。，所以当３ｂ＝２ａ时，１２ａ＋ｂ１取最大值，将　３ｂ＝２ａ代入ｇ（ａ，ｂ）＝０得到ｌＯｂ　＝ｃ．现在我们就得到关　“（０，ｂ，ｃ）＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，Ｑ（ａ，ｂ，ｃ）＝ｕ（ａ，ｂ，ｃ）一　９（ｎ，ｂ，ｃ），　求出对应变量的偏导数，令Ｑ。＝ｕ。一　＿ｑ。＝ｏ，Ｑｂ＝　Ｑ。＝仳。一　夕　＝ｏ，得至０当ａ＝ｂ＝ｃ＝１　于。，ｂ，ｃ的两两联系的关系式．联立得三一　＋　＝　一；，　Ｕｂ—ｐｇｂ＝０，接下来换元，令　＝ｔ（ｔ≠０），则原式＝　ｔ。一２ｔ，当　＝２时，　时，０６＋６ｃ＋ｃａ有最大值３．可以看出，　＋　＋　原式有最小值，最小为一２．　三、Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法在数学竞赛中的应用　例４（摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版高中卷２）已　知　。～ｘｙ＋ｙ。＝３，其中ｚ，ｙ为实数，求ｘ。＋ｘｙ＋ｙ。的取　值范围．求ｚ　＋ｘｙ＋ｙ。的取值范围，等价于求原式的最大　值及最小值．　解析构造二元函数ｆ（ｘ，ｙ）：ｘ。＋ｘｙ＋ｙ。，ｇ（ｘ，ｙ）＝　ｚ　一ｘｙ＋ｙ。一３，令ｈ（ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｘ，Ｙ）一Ａｇ（ｘ，　），对函数ｈ　求偏导数得ｈ　＝　一Ａｇ　，ｈ　＝　一Ａｇ　，所以２　＋Ｙ＝　入（２ｚ～　），２ｙ＋ｘ：Ａ（２ｙ—ｚ），所以３（ｘ＋Ｙ）＝　（　＋　）．　现在有两种情况，即）、＝３或ｘ＋Ｙ＝０，在这两种约束条件　下，　＋ｘｙ＋Ｙ　有最大值和最小值．　（１）当　＝３时，代入ｈ。＝　一Ａｇ　，得到ｘ＝Ｙ，代　人ｚ。一ｘｙ＋Ｙ。＝３，得到ｘ＝Ｙ＝　或一　（这里取　正或负对ｘ。＋ｘｙ＋Ｙ。的结果无影响）代人ｘ，Ｙ的值得到　２ｚ４－ｘｙ＋Ｙ２＝９．　（２）当ｘ＋ｙ＝０时，ｘ：一Ｙ，代人ｘ。一ｘｙ＋Ｙ。＝３，得　到ｘ：１　Ｙ：一１，或ｚ＝～１，Ｙ＝１．代入任意一组ｘ，Ｙ得　到原式最小为１．　特别地，上述两组值代入任意一组对ｚ　＋ｘｙ＋Ｙ。的结　果无影响．事实上，由于ｘ，Ｙ的任意性和原方程的对称性，这　两组解其实是等价的．　例５（摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版　高中卷４）　设ａ，ｂ，ｃ是正数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求证：　＋、／ｂ＋　≥　ｎ６＋６ｃ＋ｃａ．　证法一（通过不等式解决）易知（ａ＋ｂ＋ｃ）。＝９，　所以。ｂ＋ｂ　＋。。：　二　，于是只需证明　２　＋２　＋２　－４－ａ　＋ｂ　＋ｃ。≥９．为此，我们先　证明ａ　－４－２、　≥３ａ．事实上，由平均值不等式得　＋　＋ａ。≥３ａ，由此可以得到其余两个不等式．进而，　我们有２　＋２　＋２　＋ａ　＋ｂ。＋ｃ。≥３（ａ＋ｂ＋ｃ）：９．　证法二（通过Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数解决）构造函数ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝　＋、／６＋　，ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃ一３，设ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＝　ｆ（ａ，ｂ，ｃ）～Ａｇ（ａ，ｂ，ｃ），对ｈ分别对ａ，ｂ，ｃ求偏导数，ｈ　＝　的最小值和曲＋ｂｃ＋ｃａ的最大值是相等的．综上，有　＋　＋　≥ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成立．　例６（摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版高中卷４）　已知正数ｎ，ｂ，ｃ满足ｎｂｃ＝１，求证：　÷　＋　＋　证法一　利用柯西不等式证明令ａ：一ｘ，ｂ：　Ｙ　Ｙ，ｃ＝１．由柯西不等式，得［耋，则原不等式等于　Ｙｘ（ｘ＋２ｚ）＋ｖ（　＋赤ｖ＋２ｘ）＋ｚ（ｚ＋　＋　≥　２训（　ｘ＋　ｙ＋　）≥ｘ２＋ｙ２＋ｚ２即　于是原不等式得证．（　＋　ｙ＋　　）（冉　，　证法二（利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数证明）构造函数ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝　＋　＋　，９（。，６，ｃ）＝。６ｃ＿ｌｊ令　（。　，ｃ）＝　ｆ（ａ，ｂ，ｃ）一Ａｇ（ａ，ｂ，ｃ），求对应变量的偏导数，得ｈ。＝ｆａ—　９。，ｈｂ＝ｌ厂６一Ａｇｂ，ｈ－ｃ＝　一Ａｇ　，令ｈ。＝ｈｂ＝ｈ　＝０，显　然当ａ：ｂ＝ｃ＝１的时候，原式有最小值，将ａ…ｂ　ｃ　１．　代人原式，得　＋　＋　＝　１＋１１百＋　＝１．　原不等式得证．　例７（ＩＭＯ试题）已知非负数ｚ，Ｙ，ｚ满足ｘ＋Ｙ＋　＝１，　证明０≤ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ一２ｘｙｚ≤　．　解析对于此题，无法直接用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数一步到位，　需要与不等式相结合．ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ一２ｘｙｚ＝ｘｙ（ｘ＋　Ｙ）＋ｙｚ＋ｘｚ（ｘ＋　）．显然原式大于等于０成立，接下来　运用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数对原式小于等于　进行证明．不妨设　ｆ（ｘ，ｙ，　）　ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ一２ｘｙｚ，ｇ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝ｘ＋Ｙ＋　一１．　令ｈ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）一Ａｇ（ｘ，ｙ，ｚ），求偏导数得，ｚ＝　ｙ＋ｚ一２ｙｚ，　＝ｘ＋ｚ一２ｘｚ，ｆｚ＝ｘ＋ｙ一２ｘｙ，Ａｇｚ：　Ａｇ　＝Ａｇ　＝　．联立ｈ　＝　一Ａｇ。＝０，ｈ　＝　一Ａｇ　＝０，　ｈ　＝ｆｚ—Ａｇ。＝０，则有　＝　＝　＝　，解之得　＝Ｙ＝　，　：０或　：Ｙ＝　：　．当　＝Ｙ＝　时，ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ一２ｘｙｚ＝　；当ｚ＝Ｙ＝　：　时，　ｘｙ＋Ｙ　＋ｚ　一２ｘｙ　＝刍．因为击＞　所以原式的最大　值是寺，于是有ｘｙ＋Ｙｚ＋ｚ　一２ｘｙ　≤击，命题得证·　４１　对于某些题，相比均值不等式，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的计算　过程或许不如不等式那样简洁，但是思路更加清晰简单．　是具有对称性的．　常见题型设定ｆ以原式具有最小值为例）：　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法更类似一种固定式的算法，不像不等式方法　所具有的高技巧性．事实上，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法本身就是一种　技巧，也可以认为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法是解不等式题的一种“公　已知∑ａｉ＝ｋ（ｋ为常数），证明∑ｆ（ａｉ）≥ｑ（ｑ为与ａｉ　有关的数或常数）　由于原不等式的对称性，将不等式左边看成忆元函数，对　式”，就如同求根公式在解一元二次方程时的地位与作用．　有时候，将不等式和Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法有机地结合与运　任一变量ａ　（１≤ｉ≤）所求的偏导数的形式是相同的．通过　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法，我们可以得到：当ａｌ～ａ２　··＝ｎ　＝　用，能在解题过程中取得事半功倍的效果．　四、Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数在经济学中的应用　Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数在大学教材中有更广泛的作用，其步骤比　起本文所述更加复杂．此外，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数在经济学中，也常　用于解决最优化方案的问题．下面简单举一例：　例８已知某制造商的柯布．道格拉斯（Ｃｏｂｂ—Ｄｏｕｇｌａｓ）　生产函数是ｆ（ｘ，Ｙ）：ｌＯＯｘ￣　，每个劳动力和单位资本的　成本分别为１５０元和２５０元．该制造商的成本预算是５００００　元．如何分配这笔钱用于雇用劳动力和资本，使得生产产量　最高．　解析这是一个条件极值的问题．求函数，（ｚ，Ｙ）＝　ｌＯＯｘ￣　在９（ｘ，Ｙ）＝１５０ｘ＋２５０ｙ＝５００００下的最大　值．对ｆ，９分别求偏导数，得到：，ｚ＝７５ｘ一　，　＝　２５　Ｙ一　，９　＝１５０，９　＝２５０，构造函数ｈ（ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｘ，Ｙ）一　Ａｇ（ｘ，　），求偏导数并令其为０．因为ｈ。＝ｉｘ—Ａ９　，　ｈ　：　一　９　，所以　＝去　一　将其代入　７－－　．ｑ　中，得　到２５ｚ　一；一１２５ｘ－　＝０，在两边同时乘以　１　３，所以　２５ｘ一１２５ｙ＝０，ｚ：５ｙ．将此结果代入１５０ｘ＋２５０ｙ＝５００００　中，解得　＝２５０，Ｙ＝５０，所以该制造商应该雇用２５０个劳　动力，把其余部分资金作为资本投入，这时候可以获得最大　产量ｆ（２５０，５Ｏ）＝１６７１９．　五、运用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数的一般步骤　第一步：在求ｆ（ｘ，Ｙ，Ｚ）的最大值或最小值时，一定要确　定所给的约束方程符合ｇ（ｘ，Ｙ，　）＝０，比如　。＋Ｙ。＝Ｚ。，我　们需要把它改写成ｇ（ｘ，Ｙ，　）＝　。＋Ｙ。一Ｚ。＝０；　第二步：令　一　Ｉ９　＝０，　一　＝０，ｌ厂ｚ—　＝０；　第三步：解上述方程组，找出对应的Ｘ，Ｙ，　；　第四步：判断第三步得到的解　，Ｙ，Ｚ，如果有多组解，判　断哪一组是最大值或最小值（如果只有一组解，那么必然是　ｆ（ｘ，Ｙ，Ｚ）最大值或最小值）．　六、解题的一般性的规律　在解题过程中，题目所给出的要求证明的不等式，一般　时，原式有最小值．不难发现，实际上不等式右边的　ｑ＝ｎ　事实上，如果ｆ（），于是原不等式等价于薹　ｘ）为凸函数即ｆ：（ａ，ｂ）＿ｎ　）＿｝　，满足　．　，（三　）＞　，其中　，　∈（。，ｂ），　≠　，那么有　，（（　）　礼）＞（　，　其中　∈（ａ，６），且至少有一对（ｉ，Ｊ），使得Ｘｉ≠ｘｊ．请读者　用归纳法自行证明．　七、解方程式时常见的错误　１．如果题目给出了两个或以上的约束方程式，例如对于　变量Ｘ，Ｙ，Ｚ有ｈ（ｘ，Ｙ）＝０与ｋ（ｘ，Ｙ）＝０同时满足，不可以　贸然设定ｈ（ｘ，Ｙ）＝ｋ（ｘ，Ｙ）＝０，虽然在逻辑上没有问题，殊　不知这个看似无害的设定，就让许多本就隐蔽的信息更加隐　藏了起来．这样不利于解题，甚至使得无法解题．　２．在遇到　＝Ａｚ的时候，切记不可以自动把等号两边　的　抵消掉，然后解得Ａ＝１．事实上，此举相当于在等号　两边同时除以　，并且这步骤只能是在确定Ｘ≠０的条件　下才能够实施．因此，对于　＝忌ｚ的情况，可能的解不仅有　ｋ＝１，还可能存在Ｘ＝０．　本文所述的是Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法在高考数学及高中数学　竞赛中的作用，也简单介绍了Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数在经济学中的应　用和基本步骤．在大学数学中，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法有着更加广　泛的应用和更为复杂的使用技巧．此外，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法不　是高考数学与竞赛中正规的解题步骤，因此不可作为答题步　骤，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数主要在解决难度较大的不等式类选择题或　填空题时使用．　总之，能否正确而快速地解题，才是考试能否成功的决　定性因素．　参考文献　［１］同济大学应用数学系．高等数学（下册第５版）【Ｍ］．北京：高等教育　出版社．２００２：５２．６１．　［２］四川大学数学系．高等数学（第二册第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出