圆周运动的动力学问题

课题：圆周运动的动力学问题

教学目的：1。理解掌握向心力的来源及圆周运动的动力学问题是牛顿定律的具体应用 2.掌握圆周运动的动力学问题处理方法。 重点、难点：圆周运动的动力学问题的处理方法 教学方法：讲练结合 教学过程

一、描述匀速圆周运动线速度方向改变快慢的物理量 v242r222r4frv 大小：a 2rT向心加速度 方向：总是指向圆心，时刻在变化（a是一个变加速度） 注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比。

二、质点做匀速圆周运动的条件：质点具有初速度，并且始终受到跟线速度方向垂直，时刻指向圆心，大小恒定的合外力（即向心力）的作用。 v2m2rma 大小：Fm r向心力 方向：总是指向圆心，时刻在变化（F是一个变力）

作用：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此向心力对做圆周运动的物体不做功。

注意：（1）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

（2）一个物体不论在哪个平面内做匀速圆周运动，其合外力在任何时刻必指向圆心，且大小不变。

（3）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力。 二、一般的圆周运动（非匀速圆周运动）

速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化，利用公式求圆周上某一点或某一时刻的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。

重点分析：

1、力的合力或分力都可以作为向心力，如下表所示：向心力不是一种特殊的

力，重力（引力）、弹力、摩擦力等每种力以及这些

匀速圆周运动实例 人造卫星绕地球运动 光滑桌面上用线拴一小球匀速转动 向心力 重力（或引力） 线中弹力（或重力、支持力、弹力的合力） 静摩擦力（或重力、支持力、静摩擦力的合力） 随着唱片匀速转动的物体 圆锥摆运动 重力和弹力的合力（或重力的分力） 2、Fn=man仅是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的应用，也就是说，匀速圆周运动同样遵循牛顿运动定律，匀速圆周运动的瞬时特性可以与一个匀加速直线运动相对应，如下表所示： 典型例题解析 【例1】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数

相同，A的质量为2m，B、C各为m，A、B离转轴均为r、c为2r，则

A、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大 B、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B把受的摩擦力最小 C、当转台转速增加时，C最先发生滑动 D、当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【解析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω，根据向心加速度的公式a2r已知rA=rB三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即

fFnm2r，所以三物体受到的表摩擦力的大小分别为

fAmA2rA2m2r fBmB2rBm2r fCmC2rC2m2r

即物体B所受静摩擦力最小，B正确。

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ,静摩擦力

2r 的最大值可认为是fm=μmg、由fm=fn，即mgmm得不发生滑动的最大角速度为mgr

即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小

由于rC>rA=rB,所以，当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动，转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动，C正确，D错 答：B、C

【例2】如图4-11所示，一罢长为l的单摆，摆球的质量为m，要使摆球能在竖直平面内做完整圆周运动，那么摆球在最低点的速度V0至少为多少？ 【解析】小球在最高点的受力情况如图4-12所示，由牛顿第二

v2定律得：Tmgm，由于m、l一定，所以V越小，T就越

l小，当T=0时，小球具有不脱离轨的最小速度，从最高点到最低点过程中，小球机械能守恒，解出最低点的速度V0。

v2由小球在最高点时，最小速度V，因此得：mgm （1）

l从最高点到最低点，小球机械能守恒，

有：mg•2l1212mvmv0 （2） 22由（1）（2）得V0的最小值为v05gl

评析：（1）如果把原题中的绳去掉而改为与轨道相同的一圆环，使小球沿环内

侧做圆周运动，由同样的分析方法可知，小球在最高点不脱离轨道的最小速度仍为vRg。

（2）若把原题中的绳换为细杆，由于杆对球即可施以支持力又可施以拉力，所以小球在最高点的合外力最小可以为零，因此，小球在最高点的速度最小可等于零。而vgl则变成了小球受弹力方向变化的临界值，即vgl时球受向上的弹力；当vgl时，球和杆无相互作用；当vgl时，球受向下的弹力。

（3）如果将原题中的细强去掉，而在竖直面内置一圆管，使小球在圆管内做圆周运动或者在竖直面内置一穿有小球的光滑环，使小球沿环做圆周运动。在最高点各临界值与（2）中完全类似。 【例3】如图4-13光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B相距L0=0.1m，长L=1m的柔软细线一端栓在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧。把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？

【解析】小球转动时,由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。

由小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中强力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小。

v2在第一个半圆内T1ml,t1lv

v2在第二个半圆内T2m,(ll0)v2在第三个半圆内T3m,(l2l0)t2(ll0)v

t3(l2l0)v

v2在第 n个半圆内Tnm,l(n1)l0令

Tn=Tm=7N,

得

n=8,

所

tn[l(n1)l0]v经

历

的

时

间

为

以

tt1t2tnv{nl[123(n1)l0]}v[nln(n1)l0]8.2s2【评析】圆周运动的显著特点是它的周期性。通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义，对本题，还应熟练掌握数列求和方法。 如果题中的细线始终不会断裂，有举的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线绕完在A、B两钉子上，共需多少时间？ 【例4】如图4-14所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定状态时，以角速度做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力与最小压力的数值之差为多少？

【解析】电动机匀速转动时，铁块在竖直平面内以角速度ω做半径为r的匀速圆

周运动，铁块做匀速率圆周运动的向心力是由铁块重力及电动机对它的作用力的

合力提供的，容易理解，当铁块在最低点时，电动机对铁块的作用力最大；当铁块到最高点时，电动机对铁块的作用力最小，所以当铁块运动到最代点时，电动机对地面的压力最大；铁块运动到最高点时，电动机对地面的压力最小。

故铁块在最低点及最高点时受力分析如图4-15所示，必须说明的是，图中N1的方向是假设的，对铁块运用牛顿第二定律得： 最高点mgN1mr 最低点N2mgmr

对电动机而言，因为重力是一定值，所以电动机对地面的最大压力与最小压力数值之差等于N2与N1的差，所以NN2N12mr

作业 教学小结

本节课实质是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，解题方法与用牛顿定律解动力学问题的方法一样，其关键是受力分析和运动状态的分析。

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