概率论与数理统计习题答案(第一章)

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

 A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”  B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次，  A=“第一次出现正面.”

B=“至少有一次出现正面.”

C=“两次出现同一面.”

（1）1，2，3，4，5，6，A1，3，5；【解】

(2)(i,j)|i,j1,2,,6,A(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1),B(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(正,反),(正,正),(反,正),(反,反),A(正,正),(正,反),B(正,正),(正,反),(反,正),C(正,正),(反,反),

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

1

(5) ABC=ABC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B； (2) AB=A∪B； (3) AB∩C=ABC； (4) (AB)( AB)= ； (5) 若AB，则A=AB；

(6) 若AB=，且CA，则BC=； (7) 若AB，则BA；

(8) 若BA,则A∪B=A.

【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.

所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生. 故不成立.

(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生， 所以AB不发生，从而不成立. (3)不成立.AB，AB画文氏图如下:

所以,若Α-B发生,则AB发生, AB不发生, 故不成立.

(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.

(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.

(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.

(7)不成立.画文氏图,可知BA.

2

(8)成立.若事件Α发生,由A(AB),则事件Α∪B发生. 若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.

若事件B发生,由BA,则事件Α发生.

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)] =1[0.70.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

=

14+

14+

13

112=

34

7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？

533213【解】 p=C13C13C13C13/C52

8.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

175=（

17）

5

（亦可用性求解，下同）

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P（A2）=

6755=(

67)

5

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1P(A1)=1(

17)

5

9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.

3

3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从

2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次

品的取法为C245C种,所以所求概率为P15C45C5C50321.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n（2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的.

nmn【解】（1） P（A）=CmCNM/CN Mn(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从NM件次品中取nm件的排列数为PNM种，故

P（A）=

CnPMPNMPnNmmnmmnmm

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P（A）=

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法，故

P(A)CnMmmmCMCNMCNnmnm

n

(NM)nm/N

n此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

MMP(A)C1NNmnmnmMN，则取得

4

11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，„，9).

【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列

44问题.用10个数去排4个位置,有P14种排法,故所求概率为PP10/10. 0

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个

部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

P(A)C10C3/C5013311960

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

P(A2)C4C3C37211835,P(A3)C4C373435

2235P(A)3故 P(A2A3)P(A)2

14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率；

（2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)P(A1)P(A2)0.70.80.56 (2) P(A1A2)0.70.80.70.80.94 (3) P(A1A2A1A2)0.80.30.20.70.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 13111C4()()52121312242 【解】（1） p1C5()() (2) p2222325/32516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

3i0P(AiBi3)(0.3)(0.4)C30.7(0.3)C30.6(0.4)

22223 C3(0.7)0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)

331212 5

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 p1C5C2CCC22C4104111121321

18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)P(AB)P(A)0.10.50.2

（2） p(AB)P(A)P(B)P(AB)0.30.50.10.7

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)P(AB)P(A)6/87/867

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)67

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.050.520 0.0025

0.50.50.052121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

6

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.

如图阴影部分所示.

P30602214

22.从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1） 两个数之和小于的概率；

5146（2） 两个数之积小于的概率.

【解】 设两数为x,y，则065. 144170.68 p11255125(2) xy=<

14.

11 p211dx1dy44x1412ln2

23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BAB)P(AB)P(AB)PA()PA(B)P(A)P(B)P(AB)

7

0.70.70.50.6

0.51424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

3P(B)P(Bi0Ai)P(Ai)

C6C1353C9C3315C9C6C312C8C3315C9C6C321C7C331C9C533C6C31531515150.08 925. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.20.80.90.110.0270 20.20.137

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)P(AB)P(B)0.10.2P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)40.307 70.913

0.80.80.1即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是

A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

8

P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)P(A)P(CA)

2/32/30.980.981/3 20.99490.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱

子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

P(A1B)P(A1B)P(B)P(BA1)P(A1)213,i=0,1,2.又设B={抽

P(Bi0Ai)P(Ai)132/31/31/31/32/31/311/3

28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.980.040.99 80.05

0.960.960.9829.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人

占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得 P(A|D)P(AD)P(D)P(A)P(D|A)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.20.20.050.050.05 70.30.3

0.50.1530.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

4P(Ai)1P(A1A2A3A4)

i1)P(A)P(3A)P( 1P(A A)124

9

0.970.950.97 10.9831.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n次射击.

n1(0.8)0.9

n即为 (0.8)0 .故 n≥11 至少必须进行11次射击.

32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互.

【证】 P(A|B)即P(A|B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)

亦即 P(AB)P(B)P(AB)P( B)P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B)

因此 P(AB)故A与B相互.

P(A)P( B)33.三人地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

315，

13，

14，求将此密码破译出

P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)

i1 14523340.6

34.甲、乙、丙三人地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

3P(A)P(A|B)P(B)

iii0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7

=0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

10

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

3【解】（1） p1Ck0k10k10(0.35)(0.65)k10k0.5138

10(2) p2Ck4(0.25)(0.75)k10k0.2241

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为10种.

（1） P(A)C69106246

，也可由6重贝努里模型：

2P(A)C6(110)(2910)

4（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

P(B)P101066

1（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故

P(C)C10C6(C9C4C8C9P9)/10

121311413112（4） D=B.故

P101066P(D)1P(B)1

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p11n1

11

(2) p2(3) p13!(n3)!(n1)!(n1)!n!,n3

1n3!(n2)!n!;p2,n3

38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由

0xyaxyx(axy)y y(axy)x构成的图形，即

a0x20ya 2axya2如图阴影部分所示，故所求概率为p14.

39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2,„,n）才能把门打开的概率与k无关. 【证】 pPn1Pnkk11n,k1,2,n ,40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.

【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂

色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

P(A0)P(A2)51210009610000.512,P(A1)0.096,P(A4)3841000810000.384, 0.008.

41.对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)P[A(BC)]P(AB AC P(AB)P(AC)

)CP(AB12

P(AB)P(AC) CP(B)42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4种，杯中球的最大个数为1时，

每个杯中最多放一球，故

P(A1)C43!4333

38

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

P(A3)C4431116

318213)1P(A)P(3A)因此 P(A2111169 16或 P(A2)C4C3C43916

43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)1P(C)2

由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

1n1nnP(C)C2n()()

2211n 故 P(A)[1C2n2n]

2244.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

P(A)11n2[1Cn()] 22n45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）

13

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=

12

46.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(C)P(BC)P(C),

即有 P(AC)同理由 P(A|C)得 P(AC)故 P(A)P(AC) )P(BC ),P(B|C ,P(BC)P(BC)(PB)CP(AC) (P )B

47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率. 【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,„,n）,则

P(Ai)(n1)nkk(12n)k1n)kP(AiAj)(1

n1nP(Ai1Ai2Ain1)(1)k其中i1,i2,„,in1是1，2，„，n中的任n1个.

显然n节车厢全空的概率是零，于是

nS1S2i1P(Ai)n(11n2)Cn(12n)kk11n)k1ijnP(AiAj)Cn(1

Sn1Sn0n1i1i2in1nP(Ai1Ai2Ain1)Cn(1n1n1n)kP(Ai)S1S2S3(1)i1n1Sn 14

C1(1n故所求概率为

ni11nk22)C(1nn2nk)(1n)Cnn1n1k(1 n)1P(Ai)1Cn(111n)Cn(1k2)(1)in1Cn(1n1n1n)

k48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1(1)1(n)

n49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品}

由题知 P(B)mmnP,B()12rnmn

P(A|B),P(A|B)1

则由贝叶斯公式知

P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)

1rmmn2  rm1nm2nr1mn2mnm50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又

有多少？

【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)P(B2)12.（1）发现一盒已空，

另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B1，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，则所求

概率为

1n1nr11nnp12C2nr()()Cnr2rr

2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1

盒，故概率为

1n11nr112nr1n1n1p22C2nr1()()C2nr1()

222251.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.

15

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

(qp)CnpqCnpq(qp)CnpqCnpqn00n1n00n1n1Cnpq2222n2Cnpq1

nnn0nn0n1Cnpqn2(1)Cnpq

以上两式相减得所求概率为

p1Cnpq1n1Cnpqn33n3

1212[1(qp)] [1(12p)]

n若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

p212[1(12p)].

n52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (AB)(A [(ABAB) 

故所求值为0.

53.设两两相互的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.

【解】由P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)

 3P(A)3P[A(122B)(A(ABB)(AA )B] B)9)] 1614故P(A)14或

34,按题设P（A）<,故P（A）=.

54.设两个相互的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）.

【解】 P(AB)P(AB)1P(A1B) ① 9P(AB)P(AB) ②

故 P(A)P(AB)P(B) BP(A故 P(A)P(B ) ③

16

由A,B的性，及①、③式有

191P(A)P(B)P(A)P(B)

2 12P(A)P[(A )]2 [1P(A) ]故 1P(A)故 P(A)即P（A）=

232313

43或P(A)（舍去）

.

点落在半圆内任何区域的概率与2axx (a为正常数)内掷一点，

12255.随机地向半圆0区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

π42πa2.阴影部分面积为

12a

2a故所求概率为

πp4a12122a2121π

256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格

πa品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C4P(B|A)P(AB)P(A)C101-C6222215

C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

)则 P(AiP(B1|A1)31013,i1,2 ,3715,P(B1|A3)525,P(B1|A2)

17

3(1) pP(B1)i1P(B1|Ai)1310(3715525)2990

(2) qP(B1|B2)P(B1B2)P(B2)3

而 P(B2)P(Bi12|Ai)P(Ai) 82061 )25903 1310(715P(B1B2)P(Bi11B2|Ai)P(Ai) 7785202) 249 1310(39151425220 961P(B2)619058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

故 qP(B1B2)【解】因为 P(AB)P(A)P(B) BP(AP(AB)P(B)P(AB)P(B)

所以 P(AB)P(A)P(B)P(B). P(A

59. 某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为

PC3P(1P)P3P(1P).

1222

60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于【解】设两个数分别为x、y，则01211123.

41212的概率.

，画出图形，由几何概型可得，

所求概率为P221 18

19