数列求和典型例题总结

数列求和

一、公式法求和

（1）等差数列前n项和公式

Snn(a1an)n(ak1ank)n(n1)na1d222

（2）等比数列前n项和公式 q1时 Snna1

a1(1qn)a1anqSn1q1q q1时

（3）前n个正整数的和

123nn(n1)2

前n个正整数的平方和

122232n2n(n1)(2n1)6

前n个正整数的立方和

132333n3[n(n1)2]2

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

4，7，，3n1的所有项的和 1．求数列1，1

2．求和1xx2xn2(n2,x0)

3、已知

log3x1log23，求xx2x3xn的前n项和.

解：由

log13xlog3log13xlog32x22

由等比数列求和公式得

Sxx2x3xnn 1＝1－2n

4、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

f(n)Sn(n32)Sn1的最大值.

1 解：由等差数列求和公式得

Sn2n(n1)1， Sn2(n1)(n2) ∴

f(n)Snn(n32)Sn1＝n234n

11 ＝

n34(n8)2501n＝n50

2

1x(1xn)2(112n) 1x＝

112

（利用常用公式）

∴ 当

n81f(n)max8，即n＝8时，50

5、求

1111111111n个1之和.

解：由于

11k1111999999(101)k个1k个1 （找通项及特征）

∴

1111111111n个1

11111(101)(1021)(1031)(10n1)999＝9 （分组求和）

＝

111(1010210310n)(1111)99n个1

110(10n1)n91019 ＝

1(10n1109n)＝81

二．分组法求和

1．求数列1，12，123，…，123n的所有项的和。

3

a2．已知数列a中，5n1(n为奇数)n(2)nn(n为偶数)，求S2m。

3、求此数列的前n项和Sn

13,24,35,,n(n2),；

14、求数列的前n项和：

11,a4,11a27,,an13n2，…

解：设S(11)(1a4)(11na27)(an13n2)

将其每一项拆开再重新组合得

S1n(1a11a2an1)(1473n2) n1)n(3n1)n当a＝1时，

Snn(32＝2 （分组求和）11Sn(3n1)nna1aa1n(3n1)n当a1时，12a＝a12

5、 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

4

（分组）

解：设

akk(k1)(2k1)2k33k2k

n∴

Snk(k1)(2k1)k1＝n(2k33k2k)k1

将其每一项拆开再重新组合得

n3n2nSn＝

2k3k1kk1kk1 （分组）

＝

2(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) ＝

222 n(n1)2(n2) ＝2

三、并项法求和 1．数列an中， an(1)n1n2，求S100。

2．数列an中，，an(1)n4n，求S20及S35。

四、错位相减法求和

5

（分组求和）

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

2n11、 求和12x3xnx（x0）

2、求和

Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x}的通项之积

n1设

xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ② （设制错位）

①－②得

(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn （错位相减）

1xn1(1x)Sn12x(2n1)xn1x再利用等比数列的求和公式得：

(2n1)xn1(2n1)xn(1x)Sn2(1x) ∴

2462n,2,3,,n,23、求数列222前n项的和.

2n1nn解：由题可知，{2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2}的通项之积

6

设

Sn2462n23n2222…………………………………①

12462nSn234n122222………………………………② （设制错位）

1222222n(1)Sn234nn12222222 （错位相减） ①－②得

212n12n2n1

∴

Sn4n22n1

五、裂项法求和

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

1111(2n1)(2n1)。 1．求和13355712、求和211321231n1n。

3、

求和：1111……12123123……n

7

（an…………，Sn21）n1

4、求和

S2242(2n)2n1335(2n1)(2n1) 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解: a(2k)2(2k)2111111k(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)1(2k1)(2k1)12(2k12k1)

Sa111111112n(n1)na1a2nn2[(13)(35)(2n12n1)]n2(12n1)2n1n(n1)(a1)SS123na(an2n1)n(ana1)(aa2a3an 答案: an(a1)21)

六 . 倒序相加法：

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an Sananan1……2a1相加

2Sna1ana2an1……a1an……

8

练习:求

［

1、

已知f(x)x21x2，则f(1)f(2)f12f(3)f13f(4)f14

221（由f(x)f1xxx2x1x2211

111x21x2x

∴原式f(1)111f(2)f2f(3)f3f(4)f4

1

2111312）

专题训练 数列求和练习

11、数列{an}的通项

an123n，则数列{an}的前n项和为 2n2nn2nA．2n1 B．n1 C．n1 D．2n1

1112、数列12,24,38,4116,的前n项和可能为 1A．2(n2n2)11212n B．2(nn)12n1 9

( )

( )

121121(nn2)n(nn)2(1n)2 D．22 C．23、已知数列

{an}22Sn2n1a12a2ann的前项和，则等于 ( )

1A．(2n1)2 B．3(2n1)1 C．4n1 D．3(4n1)

14、数列{a(nN*)n}的通项公式

annn1,若前n项和为10，则项数n为 ( ) A．11 B．99 C．120 D．121

5、在数列

{an}中，a11,aan22且n2an1(1)(nN*)，则S100 ．

6、已知

S1n159131721(1)n(4n3)，则S15S22 ．

7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m1,mN,a2m1am1am0,S2m138＝ ．

8、已知数列{aS21n}中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足

nan(Sn2)。 （1）求Sbn的表达式； （2）设

nSn2n1，求{bn}的前n项和Tn．

10

则m

，

9、等比数列{an}同时满足下列条件：①a1a633，②a3a4列．（1）求数列{an}的通项公式； （2）记

bn32，③三个数4a2,2a3,a4依次成等差数

nan，求数列{bn}的前n项和T．

n

10、等差数列{an}各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，在等比数列{bn}中，b11且b2S2，公比为8。

1113Sn4。 （１）求an和bn；（２）证明：S1S211