专题15 概率与统计（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 女顾客 满意 40 30 不满意 10 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n(adbc)2附：K．
(ab)(cd)(ac)(bd)2P（K2≥k） k
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 1
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组 企业数 [0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80) 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 附：748.602．
2
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
3
4．2019年，【2019年高考天津卷文数】我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有
72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A, B, C, D, E, F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 A 项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 ○ × × ○ × ○ ○ × × ○ × ○ × ○ × × ○ × ○ × ○ × × × × ○ × ○ × × ○ ○ × ○ × ○ B C D E F （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
4
5．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 仅使用A 仅使用B 27人 24人 不大于2 000元 大于2 000元 3人 1人 （1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率； （3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
5
6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,ˆ30.413.5t；根据2010年至,17）建立模型①：yˆ9917.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
6
3
7．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m）和使用了
节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 频数 0，0.1 1 0.1，0.2 0.2，0.3 0.3，0.4 0.4，0.5 0.5，0.6 0.6，0.7 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 频数 0，0.1 1 0.1，0.2 5 0.2，0.3 13 0.3，0.4 10 0.4，0.5 16 0.5，0.6 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
3
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
7
8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n(adbc)2P(K2k)0.0500.0100.001附：K，．
(ab)(cd)(ac)(bd)k3.8416.63510.8282
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9．【2018年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
9
10．【2018年高考天津卷文数】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现
采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
10
11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随
机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg （3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附：
P（ ） 0.050 0.010 0.001 k 23.841 6.635 10.828 n(adbc)2K．
(ab)(cd)(ac)(bd)
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12．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生
产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)0.212，16i116i116i1(i8.5)i116218.439，(xix)(i8.5)2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，
i116i1,2,,16．
（1）求(xi,i)(i1,2,,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(xi,yi)(i1,2,,n)的相关系数r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nn，0.0080.09．
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13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售
价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
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14．【2017年高考北京卷文数】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分
[20，30]，[30，40]，层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
，
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
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