数学教学中发散思维的培养

此外,在课程开发的过程中强调“度”的把握.例如关于有理数运算律的字母表示宜课后让学生自己思考,而不宜在课堂上要求学生表述(因为“用字母表示数”是第三章学习的主要内容,在这里讲多少、讲多深等问题还难以确定).

(4)“穿新鞋、走新路”——培养教师课程经营意识

课程经营是课程开发的细化,教师要具备经营管理好自己所教课程的意识.再借上面的教例具体解释一下,由“不够减”怎样引出“+”“－”的符号呢？通过提问,有的学生认为可以用黑红不同的色笔区分高于零和低于零的数学;有的学生则提议用绿、红色来区分,他是借鉴了股市中的“红绿”;又有学生认为可以在数字前加“+”、“－”的符号来区别.于是教师顺着学生的思路指引:对于比0小的数,用带“－”号的数表示,读作“负”,如−10;对于比0大的数,可在数字前加“+”号,读作“正”,如+10、+20(一般省略正数前的“+”号).

教师在经营课程时,除了组织、引导学生学习数学知识,还应注重对问题的拓宽与加深.上述例3就是一个好例子,题中隐含着数学建模的思想,旨在引导学生把现实中的问题转化为数学问题加以解决.又如“随堂练习”2:某潜水员先潜入水下61米,然后又上升32米,问这时潜水员处在什么位置？由例3中的“标准质量”启发学生解题前该设定一个标准位置(即零点),并进一步让学生思考标准位置设定在何处为宜,设定在水下61米合适吗？如此教学,举重若轻.

(参考文献请参见P7)

数学教学中发散思维的培养

福建仙游县盖尾中学 刘智锋 福建仙游县昌山中学 陈建双

按照现代心理学家见解,创造能力的大小和他的发散思维能力成正比.可见加强发散思维能力的训练,是培养学生创造性思维的重要环节.

发散思维亦称求异思维,是指一种不落俗套,追求变异,从多角度、多方位寻找答案的思维过程.在解决问题时,思路朝着各种可能方向扩散,不拘泥于一个途径、一种方法,从各种可能设想出发,求得各种合乎条件的答案.发散思维具有流畅性、变通性和独创性.因此,在教学过程中要启发学生善于联想,重视数学知识的相互沟通,培养学生的发散思维.那么,该如何培养学生的发散思维能力呢？ 1 对问题条件的发散，拓宽学生的思路

问题条件的发散指问题的结论确定后,尽可能变化已知条件,进而从不同角度、用不同的知识求解.这样,一方面可充分揭示数学问题的层次,另一方面又充分暴露学生自身的思维层次,使学生从中汲取数学知识的营养.

C 例1 如图在直角

△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于D, 试给出

A D B 适当的条件, 确定AC的长.

学生经过思考后归纳出:

方法一 若考虑给出两条边的情况,则可联想到勾段定理和射影定理的应用.

方法二 若考虑给出一个角的度数和一条边的情况,则可联想到解直角三角形的应用.

通过这样让学生出题解题,增强学习的信心和兴趣,培养探索,寻找解决问题的途径,拓展学生的思路.

2 对问题的结论发散，增强思维的流畅性 与条件的发散相反,结论的发散是确定

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了已知条件,结论不固定,让学生据已知条件,经过推理,尽可能多地得出结论,这个过程充分揭示思维的广度和深度.

例2 如图, AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于E,由这些条件能找出哪些正确的结论？(图示除已知五个字母外,不再标注其他字母,找出结论的过程中,所作的辅助线不出现在结论中,不写推理过程)

学生经过探索得出如下结论: C ① DE是⊙O的切线; ② AB=BC; D ③ ∠A=∠C;

E ④DE2=BE⋅CE; A ⑤ ∠C+∠CDE=90°; B ⑥ CE2+DE2=CD2等. 鼓励学生尽可能多探索结论,开阔视野,不受思维定势的束缚,激发学生求知欲,培养学生思维的广阔性和流畅性.

3 对解法进行扩散，培养思维的创造性

在教学中,对解法的扩散,即一题多解,可以训练学生思维的灵活性和创造性,探求独到新颖的解题方法,避免解题思路狭窄,方法单一的缺陷.

例3 求证:(x−m)(x−m−n)=1有两个实数根,且其中一根大于m,另一根小于m.

分析一 利用求根公式,求出方程两根后进行比较即可得出答案.

分析二 利用判别式先证其有实根,再由韦达定理,设两实根为x1、x2,且x1=x1x2−m(x1+x2)+m2=−1<0,

∴x1−m与x2−m异号,即可证得.

分析三 利用换元法,设y=x−m,则原方程化为y2−ny−1=0,因∆>0,故方程有两实数根,又因y1⋅y2=−1<0,所以方程的两根异号,由此可证得.

分析四 利用数形结合;设y=(x−m)(x −m−n)−1这是二次函数,其图像开口向上的

抛物线.当x=m时,y=−1<0,于是抛物线与x轴必有两个交点,且这两个交点位于直线x=m的两侧.故原方程有两个实数根,一根大于m,另一根小于m.

一题多解,让学生体会到“求异”的乐趣,且从解题方法、规律、策略等方面进行多角度、多侧面分析、比较、归纳,激发学生思维的火花.

4 善于引申扩散，培养思维的变通性 解题后,教会学生善于把题目“改头换面”,变成多个与原题内容或形式不同,解法类似或相似的题目;这样可以扩大视野深化知识.

例4 如图点D、 A E在△ABC的边BC

上,AB=AC,AD=

1 2 AE.求证:BD=CE.

(1) 题设同.结论

3 4 不同的 “变”:

B D E C 如图点D、E在△ABC的边BC上,AB= AC,AD=AE,求证:∠1=∠2.

(2) 结论同,题设不同的“变”:

如图点 D、E在△ABC的边BC上,∠1= ∠2,∠3=∠4.求证:BD=CE.

(3) 题设和结论互换的“变”: 如图点D、E在△ABC的边BC上,AB= AC,BD=CE.求证:AD=AE.

(4) 题设和结论都不同的“变”:

如图点 D、E在△ABC的边BC上,∠B =∠C,∠1=∠2.求证:CD=BE.

以上证明略,通过一题多变的变式教学,可培养学生思维的变通性,掌握问题的发展规律,举一反三,触类旁通.

　　　　在课堂教学中有意识培养学生从不同方向考虑解决问题的多种可能性，善于联想，富于分解组合和引申推广,善于采用种种变通方法,沟通知识之间的横纵向联系,对培养学生勇于探索解题新方法,敢于创新求异的思维具有重要的意义.