青岛版2020八年级数学上册期中复习综合训练题3(基础含答案)

青岛版2020八年级数学上册期中复习综合训练题3（基础含答案）

1．现有全等的两个三角形、两个四边形和两个圆，不改变图形的位置，其中一定是轴对称图形的是（ ） A．两个三角形

B．两个四边形

C．两个圆

D．以上都不对

2．如图，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，下列结论错误的是（ ）

A．DE=DF B．AC=3DF C．BD=DC D．AD⊥BC

xyx6xyy2x2x2y2x213．下列分式，，，，其中最简分式的2，22x4xyx2x1xyxy3x个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形. B．两个锐角对应相等的两个直角三角形. C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.

D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等. 5．关于x的方程A．a3

xa1的解是正数，则a的取值范围是（ ） x3B．a3

C．0D．a0

6．如图,点C是△ABE的BE边上一点,点F在AE上,D是BC的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图所示,△ABC中,AB=AC,∠EBD=20°,AD=DE=EB,则∠C的度数为( )

A．70° B．60°

C．80° D．65°

8．如图，点A，B，C在同一条直线上，ABD，BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM、MP，连接PQ，BM，下面结论：①ABEDBC；②DMA60；CD交BE于点Q，

③BPQ为等边三角形；其中结论正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9．已知AOB45，点P在AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则POP12是（ ） A．含30角的直角三角形 C．等边三角形 10．分式A．a≠0 C．a≠1

B．等腰直角三角形 D．顶角是30的等腰三角形

a3有意义的条件是（ ） a21B．a≠﹣1 D．a为任意实数

11．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC=4，则AB的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

12．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD等于（ ）

A．2cm

B．3cm C．4cm D．5cm

13．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程

x20的根为2；③方程2x4x41111＝的最简公分母为2x(2x－4)；④x＋＝1＋是分式方程．其中正

x1x12x2x4确的个数为( ) A．1个

B．2个

C．3个

2D．4个

14．若点A(1+m,2)和点B(-3,1-n)关于y轴对称，则 mn 的值为（ ） A．-5 15．若分式A．x3

B．-3

C．1

D．3

2有意义，则x的取值范围为（ ） x3B．x3

C．x0

D．x3

16．平面直角坐标系中，点P(﹣2，3)关于x轴对称的点的坐标为( ) A．(2，﹣3) B．(﹣2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，3) 17．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A．

0.2ab2ab a0.2ba2bx1x1 xyxy的解是( ) B．

C．aac 2b2bc1xy22xy D．1xyx2y2B．

18．分式方程A．

C． D．

19．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ） ∠CAF=10°

A．30° 20．如果

B．35° ，那么代数式

C．40°

的值是____.

D．45°

21．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为______km/h．

aab222．分式2，22，2的最简公分母为_______________. 22a-2abba-ba2abb23．如图，已知∠MON＝30°，点 A1,A2,A3…在射线ON 上，点B1,B2,B3…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B3A3，△A3B3A4 均为等边三角形，若OA1=2，则△A7B7A8 的边长为____.

24．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：

ab()2 ．_____ abab25．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，点E重合），在AE同侧分别作等边△ABCAD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，和等边△CDE，连接PQ，以下四个结论，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的结论有_____（请把正确结论的序号填在横线上）．

26．如图，ABAC，D是ABC外一点，BD平分ADC，若∠BCD150，则ABD的大小是______．

27．计算：

11=________ x1x128．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB．

29．如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上___块，其理由是______________________．

30．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C，请补充一个条件：______，使△ABF≌△DCE．

31．已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______.

32．已知等腰三角形有一个角为62°，则另外两个角的度数为______________． 33．若分式方程

32m2有增根，m的值为____________. x2x2x434．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是_____cm．

35．若一个等腰三角形顶角为120°，腰长为4，则该三角形底边上的高等于_______ 36．AD为角平分线，AB＝8，如图，△ABC中，若∠B＝∠C＝60°，则CD的长度为_____．

37．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC= 50cm，AB+BD+DA =40cm，那么AD=_____,

38．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为_____cm．

39．如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边BC和DC上, 连接AE、BF,AEBF点M、N分别在边AB、DC上, 连接MN,若MN//BC,FN1,BE2,则

BM___.

40．如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．

41．如图，OC、OD为∠AOB内部的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；（2）若∠AOB＝α，∠M0N＝β，求∠COD的度数（用含有α、β的式子表示）．

42．如图,已知∠C=∠D=90°,BC与AD交于点E,BC=AD,求证:AE=BE.

43．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE的度数；

（3）设∠BAC=α，∠BCE=β，如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

44．已知如图，ABC中，∠C90，DEAB于点E，F为AC上一点，且

BDFD，CF=BE,求证：AD是BAC的平分线.

45．如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①分别以点A和C为圆心，以大于②作直线MN，交CD于点E. 请你观察图形解答下列问题： （1）MN与AC的位置关系：

1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； 2直线MN是线段AC的____________线；

（2）若DE3，CE4，求矩形的对角线AC的长.

46．“西气东输“是造福子孙后代的创世纪工程.现有两条高速公路和C,D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置.

47．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线,MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你写出这个数量关系，并证明 ．．．

48．在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，垂足分别为D，E，AD2.5cm，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，

DE1.7cm，求BE的长.”

（1）请你也独立完成这道题：

（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：

在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：_______.（不需证明） （3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC中，ACBC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由：

49．已知点M（a+3，b－3）和点N（2，－1）关于y轴对称，求a2+b2的值。 50．（1）（问题情境）

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）（学会运用）

如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．

51．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上一个动点．

（1）画出点D关于直线AC、BC的对称点M、N； （2）在（1）的条件下，连接MN ①求证：M、C、N三点在同一条直线上； ②求MN的最小值．

应用：已知，如图2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面积为S，点D、E、F分别是AB、AC、BC上三个动点，请用含S的代数式直接表示△DEF的周长的最小值，并在图2中画出符合题意的图形．

52．如图，四边形ABCD中，ABBC6cm，A120，B60，C150，

求AD的长．

53．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）在直线l上找一点P，使PB′+PC的长最短；

（3）若△ACM是以AC为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上．这样的点M共有 个．

54．如图点B、E、C、F在同一直线上，AB//DE，AC//DF,BECF.求证：

ABDE.

55．AC=如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，（1）求证：△ABC≌△DEB； （2）连结AD、AE、CE，如图2． ①求证：CE是∠ACB的角平分线；

1BC，AB =DE，BE∥AC．点D为BC的中点， 2②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．

56．如图，已知：在ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且

BEAC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点

G.

（1）求证：BFAC； （2）求证：CE1BF； 2（3）求证：DGDF.

57．如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，作AD关于AC的轴对称图形AE.

（1）直接写出AC和DE的位置关系；

（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系，并说明理由；

（3）当BAC90，BC8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最下小，求BCP的面积.

58．AD=BC，如图1，已知∠ABC=90 ,D是直线AB上的一点，连结DC.以DC为边，在∠CDB的同侧作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，连结AE.

(1)求证:BDCAED;并判断AE和BC的位置关系，说明理由； (2)若将题目中的条件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0①结论“BDCAED”还成立吗?请说明理由；②试探索:当x的值为多少时，直线AE⊥BC.

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的定义逐个分析即可. 要注意，全等的两个三角形要看摆放的位置，不一定是轴对称图形. 【详解】

解：A、全等的两个三角形不一定能组成一个轴对称图形，故这个选项错误． B、两个四边形不一定能组成一个轴对称图形，故这个选项错误；

C、沿着两个圆的圆心所在直线折叠，两旁的部分一定能重合，所以一定是轴对称图形，故这个选项正确；

D、选项C是对的，故这个选项错误． 故选：C． 【点睛】

本题考查了轴对称图形的定义．解题的关键是掌握轴对称图形定义．沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形． 2．B 【解析】 【分析】

根据角平分线的定义和平行线的性质得出AB=AC，根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故C、D正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE=DF，CE=BF，故A正确． 【详解】

∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF．

∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC． ∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故C、D正确．

CCBF在△CDE与△BDF中，∵CDBD，∴△CDE≌△BDF，∴DE=DF，CE=BF，

EDCBDF故A正确；

不能得出AC=3DF，故B错误． 故选B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键． 3．A 【解析】 【分析】

把题干中的分式的分子分母通过因式分解的方法找到公因式，然后进行约分.若分子分母没有公因式则为最简分式. 【详解】

y2x2yxy+x6xyyxyx 2y，

3xxyxyxy1y1x1x1x1x21xyxy1，2 22x2x1x12x4xy2x12xy212xy24xyx1x2y2其中不能化简，所以是最简分式.

xy故选：A． 【点睛】

本题解题关键是理解最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式. 4．B 【解析】 【分析】

根据全等三角形的判定：SSS、AAS、SAS、ASA、HL分别进行分析即可．

【详解】

解：A、根据SAS可证明两个直角三角形全等，故此选项不合题意； B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项符合题意； C、根据HL可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意； D、根据AAS可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】

此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． 5．D 【解析】 【分析】

先求得分式方程的解，再由题意可得关于x的不等式，解不等式即得答案. 【详解】 解：解方程

xa13，得xa，

2x3因为方程的解是正数，所以x0， 所以

3a0，解得a0. 2故选D. 【点睛】

本题考查了分式方程的解法和不等式的解法，熟练掌握分式方程和不等式的解法是解题的关键. 6．B 【解析】 【分析】

根据所给条件利用三线合一性质即可证明①正确,进而证明④正确,即可解题. 【详解】

①∵D是BC的中点，AB=AC， ∴AD⊥BC，故①正确；

②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE， ∴无法证明CF⊥AE，故②错误；

③无法证明∠1=∠2，故③错误； ④∵D是BC的中点， ∴BD=DC， ∵AB=CE，

∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确． 故其中正确的结论有①④． 故选B. 【点睛】

本题考查三角形的性质和证明,中等难度,找到等腰三角形利用三线合一性质是解题关键. 7．A 【解析】 【分析】

首先根据等腰三角形的性质求出∠EBD=∠EDB=20°，∠A=∠AED，然后根据三角形的内角和定理可求解． 【详解】

解：∵∠EBD=20°，AD=DE=EB． ∴∠EBD=∠EDB=20°，∠A=∠AED． ∵∠AED=∠EBD+∠EDB=40°， ∴∠A=40°． ∵AB=AC， ∴ABCC故选A． 【点睛】

此题考查等腰三角形的性质及三角形的内角与外角等知识点的掌握情况．根据已知求得∠A=40°是正确解答本题的关键． 8．D 【解析】 【分析】

由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由

1804070． 2

SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形； 【详解】

∵△ABD、△BCE为等边三角形，

∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC， ∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°， 在△ABE和△DBC中，

AB＝DBABE＝DBC ， BE＝BC∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴①正确；

∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE=∠BDC，

-60°-60°=60°∵∠BDC+∠BCD=180°，

∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°， ∴②正确；

在△ABP和△DBQ中，

BAP＝BDQ ， AB＝DBABP＝DBQ＝60∴△ABP≌△DBQ（ASA）， ∴BP=BQ，

∴△BPQ为等边三角形， ∴③正确； 故选：D． 【点睛】

此题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

9．B 【解析】 【分析】

由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，推出∠P1OP2＝90°，由此即可判断． 【详解】

解：∵P1与点P关于OA对称， ∴OP1＝OP，∠P1OA＝∠POA， ∵点P2与点P关于OB对称 ∴OP2＝OP，∠P2OB＝∠POB ∴OP2＝OP1，

AOB45

∴∠P1OP2＝∠P1OP＋∠P2OP＝2（∠POA＋∠POB）＝90° ∴POP12是等腰直角三角形 故选：B． 【点睛】

本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 10．D 【解析】 【分析】

根据分式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】

解：由分式有意义的条件可知：a2+1≥1， 所以a可取全体实数， 故选：D． 【点睛】

本题考查分式有意义条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型． 11．D

【解析】 【分析】

根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】

解：∵AC的垂直平分线DE， ∴AE=CE，

∵△BCE的周长为10，BC=4， ∴4+BE+CE=10， ∵AE=CE， ∴AE+BE=10-4=6， ∴AB=6． 故选：D． 【点睛】

本题考查线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 12．C 【解析】 【分析】

先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝9cm即可求出BD的长． 【详解】

解：∵AB∥CF，E为DF的中点 ∴∠ADE＝∠EFC，DE=EF， ∵∠AED＝∠FEC，， ∴△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝5cm， ∵AB＝9cm， ∴BD＝9−5＝4cm． 故选：C. 【点睛】

本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定及性质，比较简单，熟练掌握基础知识即可解答． 13．A 【解析】 【分析】

根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答. 【详解】

解:①解分式方程不一定会产生增根,故①错误;

x20的根为2,分母为0,所以2是增根，故②错误;

x24x411③方程＝的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；

2x2x4②方程

④根据分式方程的定义判断④正确. 所以A选项是正确的. 【点睛】

本题主要考查分式方程的概念及相关基础及时与解分式方程，需综合利用所学知识解答. 14．C 【解析】 【分析】

根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得． 【详解】

∵点A(1+m，2)和点B(-3，1-n)关于y轴对称，∴1+m=3，1﹣n=2，解

2得：m=2，n=﹣1，∴mn=(21)=1．

2故选C． 【点睛】

本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 15．A 【解析】 【分析】

直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案． 【详解】 解：∵分式∴x+3≠0， 解得：x≠-3． 故选A． 【点睛】

此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 16．C 【解析】 【分析】

根据：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；可得. 【详解】

解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3）， 故答选：C． 【点睛】

关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数； 17．D 【解析】 【分析】

根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个整式，分式的值不变． 【详解】 A.

2有意义， x30.2ab2a10b，故A错误；

a0.2b10a2bB.当cC. 0时，不成立，故B错误；

x1x1，故C错误； xyxyD. 分子分母都乘以2，故D正确；

故选：D. 【点睛】

考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键. 18．C 【解析】 【分析】

方程两边同时乘以x(x-2)，转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解． 【详解】

两边同时乘以x(x-2)得：(x+1)(x-2)+x=x(x-2)， 去括号得：x2-x-2+x=x2-2x， 移项，整理得：2x=2， 解得：x=1.

经检验：x=1是原分式方程的解. 故选C. 【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19．C 【解析】 【分析】

由轴对称图形的性质可得△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 如图，连接 BB′

∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∴△BAC≌△B′AC′， ， ∵AB=AC，∠C=70°

∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，

∴∠BAC=∠B′AC′=40°， ， ∵∠CAF=10°∴∠C′AF=10°，

∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°， ∴∠ABB′=∠AB′B=40°， 故选C．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键． 20．

【解析】 【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由根据已知等式可得出答案． 【详解】 解：原式=

，故答案为

【点睛】

本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键. 21．10 【解析】 【分析】

利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】

.

，根据

，可得 代入即

解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：

12060，

30x30x解得：x10，

经检验：x10是原方程的根， 答：江水的流速为10km/h． 故答案为：10． 【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 22．(a+b)²(a-b)² 【解析】 【分析】

先把各分式的分母因式分解，再得出三个分母的最小公倍数即可. 【详解】

aab2aab2===∵2，， 2，2a-2abb2(ab)a-b2(ab)(ab)a22abb2(ab)2(a-b)². ∴最简公分母为：(a+b)²(a-b)² 故答案为：(a+b)²【点睛】

本题考查分式的最简公分母概念和计算方法，通常取系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 23．128 【解析】 【分析】

先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A224=16，的边长为2，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为4，△A4B4A5的边长为：则△A5B5A6的边长为：25=32，同理可得△A7B7A8 的边长为27. 【详解】

∵△A1B1A2为等边三角形，

∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2， ∵∠MON=30°，

-30°=30°∴∠OB1A1=60°， ∴∠MON=∠OB1A1， ∴B1A1=OA1=2， ∴△A1B1A2的边长为2， 同理得：∠OB2A2=30°， ∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4， ∴△A2B2A3的边长为4，

同理可得：、△A3B3A4的边长为：23=8， △A4B4A5的边长为：24=16， △A5B5A6的边长为：25=32， △A6B6A7的边长为：26=64， △A7B7A8的边长为：27=128. 故答案为：128. 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论． 24．a2+ab 【解析】 【分析】

直接利用分式的基本性质分析得出答案． 【详解】

aba2ab． 2abab故答案为：a2+ab． 【点睛】

本题考查了分式的基本性质，正确通分是解题的关键． 25．①②④． 【解析】

【分析】

根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC＝PQ，所以②正确；从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以④正确 【详解】

解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ACBC∠ACD∠BCE ， CDCE∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①正确； ∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在△ACP与△BCQ中，

∠CAD∠CBE ， ACBC∠ACBCPQ＝60∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，PC＝QC，故②正确； ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE，故④正确； 故答案为①②④． 【点睛】

本题考查等边三角形的性质，解题突破口是证明△ACD与△BCE全等. 26．30° 【解析】 【分析】

过点B作BE⊥DA，交DA延长线于E，BF⊥DC，交DC延长线于F，过点A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质可得MB=

1BC，根据角平分线的性质可得BE=BM，由2∠BCD=150°可得∠BCF=30°，∠FBC=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得BF=

1BC=BM，即可证明BM=BE，利用HL可证明△AEB≌△AMB，可得2∠ABE=∠ABM=∠ABD+∠DBC，由三角形内角和可得∠DBE=∠DBF，根据角的和差关系求出∠ABD的度数即可. 【详解】

过点B作BE⊥DA，交DA延长线于E，BF⊥DC，交DC延长线于F，过点A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，AM⊥BC， ∴BM=CM=

1BC， 2∵BD平分∠ADC，BE⊥DE，BF⊥DF， ∴BE=BF， ∵∠BCD=150°，

∴∠BCF=30°，∠FBC=60°， ∴BF=

1BC， 2∴BM=BE， 又∵AB=AB，

∴△AEB≌△ANB，

∴∠ABE=∠ABM=∠ABD+∠DBC， ∵∠ADB=∠CDB，∠BED=∠BFD=90°， ∴∠DBE=∠DBF，

+∠DBC， ∴∠ABD+∠DBC+∠ABD=∠FBC+∠DBC=60°∴2∠ABD=60°， . ∴∠ABD=30°

故答案为：30°【点睛】

本题考查角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 27．

2x1x1

【解析】 【分析】

利用分式的减法法则，先通分，再根据同分母分式的法则进行计算. 【详解】 原式=

x1x1

(x1)(x1)(x1)(x1)=

x1x1

(x1)(x1)2= (x1)(x1)

故答案为：【点睛】

2

(x1)(x1)本题考查分式的减法，异分母分数相减，先通分，再根据同分母分式的运算法则计算；熟练掌握运算法则是解题关键. 28．：SAS． 【解析】 【分析】

由AB=AC，BE、CF是中线可知AE=AF，由∠A是公共角，AB=AC即可根据SAS证明△AFC≌△AEB． 【详解】

∵BE、CF是中线， ∴AF=

11AB，AE=AC， 22∵AB=AC ∴AE=AF，

∵AE=AF，∠A=∠A，AB=AC， ∴△AFC≌△AEB（SAS）． 故答案为SAS 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知条件在三角形中的位置来选择方法是解题的关键． 29．第1 利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块 【解析】 【分析】

利用SAS，进而得出全等的三角形，进而求出即可． 【详解】

为了方便起见，需带上第1块，

其理由是：利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块． 故答案为：第1，利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法在实际生活中应用，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．

30．BE=CF或BF=EC或∠A=∠D或∠AFB=∠DEC 【解析】 【分析】

已知一对角和夹这个角的一对边对应相等，因此可以添加角的另一条夹边对应相等，也可以添加已知边的另一个夹角或已知边的对角对应相等. 【详解】

根据SAS判断△ABF≌△DCE，可以添加BE=CF或BF=EC； 根据AAS判断△ABF≌△DCE，可以添加∠AFB=∠DEC； 根据ASA判断△ABF≌△DCE，可以添加∠A=∠D；

故答案为BE=CF或BF=EC或∠A=∠D或∠AFB=∠DEC（只要写出一个即可）. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键. 31．5 【解析】 【分析】

设减少的长度是x，根据题意列出方程，解方程，检验即可. 【详解】

解：设减少的长度是x，由题意，得

40x7

30x5去分母得：5(40x)7(30x) 去括号得：2005x2107x 移项得：7x5x210200 合并同类项得：2x10 系数化为1得：x5 经检验，x=5是该方程的解 故填：5. 【点睛】

本题考查分式方程的应用.能根据题意列出方程是解决此题的关键，还需注意对方程的解要进行检验.

32．59°和59°或62°和56°. 【解析】 【分析】

已知给出了一个角是62°，没有明确是顶角还是底角，所以要分类进行讨论. 【详解】

分以下两种情况讨论：

若等腰三角形的顶角为62°时，另外两个底角为：（180°-62°)÷2=59°；

若等腰三角形的底角为62°时，它的另外一个底角为62°，顶角为180°-62°-62°=56°. 故答案为：59°和59°或62°和56°. 【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及分类讨论思想的应用是解题的关键. 33．12或8 【解析】 【分析】

分式方程去分母得整式方程，然后根据分式方程有增根，求出x的值代入整式方程即可得答案. 【详解】

方程两边同时乘以（x+2）(x-2)得： 3（x+2）-2（x-2）=m， 整理得：x+10=m，

因为分式方程有增根，所以（x+2）(x-2)=0， 所以x=2或x=-2， 当x=2时，m=12， 当x=-2时，m=8， 综上，m的值为12或8， 故答案为：12或8. 【点睛】

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 34．2 【解析】 【分析】

过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PB，从而得解． 【详解】

解：过点P作PD⊥OA于点D，

∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm， ∴PD＝PB＝2cm， 故答案为2． 【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键. 35．2 【解析】 【分析】

可画出图形，结合条件可求得该三角形的底角为30°，再结合直角三角形的性质可求得底边上的高． 【详解】

解：如图，∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝

1（180°−120°）＝30°， 21AB＝2， 2

∴在Rt△ABD中，AD＝

即底边上的高为2． 故答案为：2．

【点睛】

本题考查了含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，注意：在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 36．4． 【解析】 【分析】

由∠B=∠C=60°及三角形的内角和，得出∠BAC=60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD=CD，而已知AB=8，即可得答案． 【详解】 解∵∠B=∠C=60°

-60°-60°=60° ∴∠BAC=180°∴△ABC为等边三角形 ∵AB=8 ∴BC=AB=AC=8 ∵AD为角平分线 ∴BD=CD ∴CD=BD=

1BC=4 ． 2故答案为：4． 【点睛】

本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 37．15cm 【解析】

【分析】

由AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，根据等腰三角形的两腰相等以及等腰三角形的三线合一，可以把已知条件转换为含有两个未知量的方程组，再进行求解即可． 【详解】

∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴AB+BD=AC+DC， 又∵AB+BC+AC=50cm， 即AB+BD+CD+AC=50cm， ∴AB+BD=25cm， ∵AB+BD+AD=40cm， 即25+AD=40cm， ∴AD=15cm， 故答案为：15cm.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质的理解及运用．把已知条件转换为含有两个未知量的方程组是正确解答本题的关键． 38．3． 【解析】 【分析】

作DP′⊥AB于P′，根据角平分线的性质及垂线段最短，即可得到答案. 【详解】

作DP′⊥AB于P′，

∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DP′⊥AB ∴DP′＝DC＝3cm， 则DP的最小值为3cm，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质. 39．1或3 【解析】 【分析】

根据题意可证明△ ABE≌△BCF，从而可得CF=BE，根据平行线等分线段定理由题意可知BM=NF+CF，然后分点N在CF上和DF上两种情况计算即可. 【详解】

∵AE⊥BF，ABCD为正方形，

∴∠EAB+∠ABF=90°，∠FBC+∠ABF=90°， ∴∠EAB=∠FBC，

又∵AB=BC，∠ABE=∠C， ∴△ ABE≌△BCF， ∴BE=CF，

当点N在DF上时，如图所示：

∵MN∥BC,

∴BM=CF+NF=BE+NF=2+1=3； 当点N在CF上时，如图所示：

∵MN∥BC,

∴BM=CF−NF=BE−NF=2−1=1. 故本题答案为：1或3. 【点睛】

三角形全等的判定及平行线等分线段定理是本题的考点，证明CF=BE是解题的关键. 40．22.5° 【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质即可得到∠BDA与∠CAD的关系，从而不难求解． 【详解】

解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD， ∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD， ∵∠BDA=∠DCA+∠CAD， ∴∠BDA=2∠CAD=45°， ∴∠CAD=22.5°；

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形的外角性质的综合运用．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.

41．（1）∠COD＝50°；（2）∠COD＝2β﹣α． 【解析】 【分析】

由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD可知∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．

（1）将∠AOB＝90°，∠MON＝70°代入可得∠AOM+∠BON＝20°，那么∠AOC+∠BOD＝40°，∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝50°；

（2）将∠AOB＝α，∠MON＝β代入可得∠AOM+∠BON＝α﹣β，那么∠AOC+∠BOD＝2（α﹣β），∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝2β﹣α． 【详解】

解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON． （1）∵∠AOB＝90°，∠MON＝70°， ∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝20°，

∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝40°， ∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝90°﹣40°＝50°； （2）∵∠AOB＝α，∠MON＝β，

∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝α﹣β，

∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝2（α﹣β）＝2α﹣2β， ∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝α﹣（2α﹣2β）＝2β﹣α． 【点睛】

本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． 42．证明见解析 【解析】 【分析】

利用HL证明RtACBRtBDA，得到ABCBAD，然后根据等角对等边可得结论. 【详解】 证明：

CD90，

ACB和BDA是直角三角形， ABBA∵，

BCADRtACBRtBDA， ABCBAD，

AEBE.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质以及等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

43．(1)90°;(2)120°;(3)见解析. 【解析】 【分析】

（1）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=60°，计算即可求解； （3）根据三角形的内角和的性质分三种情况讨论即可求解. 【详解】 解：（1）90°．

理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°； （2）∵∠BAC=60°， ∴∠DAE=∠BAC=60°， ∵AB=AC,AD=AE,

∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°， 由（1）可得∠B=∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°. （3）①α+β=180°，

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，α+β=180°； 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°， ∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC

∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β．

【点睛】

此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质. 44．见解析； 【解析】 【分析】

想办法证明DC=DE即可解决问题； 【详解】

证明：∵C90，DEAB ∴在RtDCF与RtDEB中

DFDB CFEB∴RtDCF≌RtDEBHL ∴DCDE 又∵DCAC于C

DEAB于E

∴AD平分BAC 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 45．（1）垂直平分线；（2）214

【解析】 【分析】

（1）利用基本作图可判断直线MN垂直平分AC；

（2）如图，连接AE，则AECE4，在RtADE中由勾股定理求出AD2=7，在RtACD中由勾股定理可得结论. 【详解】 （1）垂直平分线

设AC与MN交于点F．连接AM、CM、AN、CN，如图，

∵在△AMN和△CMN中，

AM＝CMAN＝CN， MN＝MN∴△AMN≌△CMN（SSS）． ∴∠1=∠2． ∵AM=CM，

∴△ACM是等腰三角形． ∴MF⊥AC，AF=CF． 即 MN⊥AC，MN平分AC． （2）解：如图，连接AE，

则AECE4

∴在RtADE中，AD2AE2DE242327 ∴在RtACD中，ACAD2CD2

734，

749，

256，

214. 【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 46．见解析 【解析】 【分析】

到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段CD的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置. 【详解】

解：如图：（1）做出∠AOB的平分线OE； (2)连接CD，作CD的垂直平分线FG； （3）FG和OE的交点，即为所求点M. 【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图. 47．(1)DE =AD＋BE(2)DE=AD-BE,(3)DE=BE-AD. 【解析】 【分析】

(1)根据AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,证明∠BCE=∠DAC,进而证明△ADC≌△CEB（AAS）即可解题,

(2) 根据AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,证明∠BCE=∠DAC, 由此仍然可以证明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性质也可以解决问题,

(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,仍然可以证明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD. 【详解】

, 解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°

又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E, , ∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°, ∴∠BCE=∠DAC, ∵AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS） ∴CD=BE,AD=CE, ∴DE＝CD+CE=AD＋BE (2) 在△ABC中,∠ACB=90°, , ∴∠ACD+∠BCE=90°

又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E, , ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠ACD+∠CAD=90°∴∠CAD=∠BCE, ∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴CD=BE, AD=CE ∴DE=CE-CD=AD-BE,

(3)如图3, 在△ABC中,∠ACB=90°, , ∴∠ACD+∠BCE=90°

又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E, , ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠ACD+∠CAD=90°∴∠CAD=∠BCE, ∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴CD=BE,AD=CE, ∴DE=CD-CE=BE-AD

∴DE、AD、BE之间的关系为DE= BE-AD. 【点睛】

此题需要考查了全等三角形的判定与性质,也利用了直角三角形的性质,是一个探究性题目,对于学生的能力要求比较高.

48．（1）BE0.8cm；（2）ADBEDE；（3）、（2）中的猜想还成立，证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答． （2）继续利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答． （3）还是利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答． 【详解】

（1）∵BECE，ADCE， ∴EADC90， ∴EBCBCE90． ∵BCEACD90， ∴EBCDCA． 在CEB和ADC中，

EBCDCAEADC， CBAC∴CEB≌ADC(AAS)， ∴BEDC，CEAD2.5． ∵DCCEDE，DE1.7cm， ∴BE0.8cm； （2）ADBEDE， 证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中，

E＝ADCEBC＝DCA， BC＝AC∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD， ∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE；

（3）、（2）中的猜想还成立，

证明：∵BCEACBACD180，DACADCACD180，

ADCBCA，

∴∠BCE∠CAD 在CEB和ADC中，

BCECADBECCDA， CBAC∴CEB≌ADC， ∴BECD，ECAD， ∴DEECCDADBE． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 49．29 【解析】 【分析】

根据坐标系内点的对称关系即可得到a,b的关系式，故可求解. 【详解】

依题意得a+3=-2,b-3=-1, 解得a=-5,b=2, ∴a2+b2=25+4=29. 【点睛】

此题主要考查坐标变换，解题的关键是熟知关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数.

50．（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；

Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取

值范围，易得AD的取值范围；

（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论． 【详解】

BD＝CD解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，BDE＝CDA，

DE＝AD∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：B；

Ⅱ.∵△ADC≌△EDB， ∴BE=AC，

∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，

∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18， ∴1＜AD＜9， 故答案为：1＜AD＜9；

（2）延长AD至M，使DM＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，

BD＝CD在△ABD和△MCD中，ADB＝MDC，

AD＝DM∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴MC＝AB，∠B＝∠MCD， ∵AB＝CE， ∴CM＝CE， ∵∠BAC＝∠BCA，

∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，

AC＝AC在△ACE和△ACM中，ACE＝ACM，

CM＝CE∴△ACM≌△ACE（SAS），

∴AE＝AM， ∵AM＝2AD， ∴AE＝2AD．

【点睛】

本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．

51．探究：（1）见解析；（2）①证明见解析；②MN的最小值是

48；应用：△DEF的周长5的最小值为【解析】 【分析】

2S，画出符合题意的图形见解析. 3（1）根据对称点的作法作图即可；

即可； （2）①利用对称的性质结合∠ACB＝90°证明∠MCN＝180°

②由题意可知MN＝2CD，所以当CD⊥AB时，CD的值最小，再利用面积法求解即可； 应用：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．由△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，推出CD的值最小时，△DEF的周长最小，由此即可解决问题. 【详解】

探究：（1）解：如图1中，点M，N即为所求；

（2）①证明：连接CD、CM、CN，

由对称的性质可知：∠ACD＝∠ACM，∠BCD＝∠BCN， ∵∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠MCD+∠NCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝180°， ∴M、C、N三点在同一条直线上； ②解：∵CM＝CD，CN＝CD， ∴MN＝CM+CN＝2CD， ∴当CD最短时，MN的值最小， ∵CD⊥AB时，垂线段最短， ∴CD的最小值＝

ACBC6824， AB56282∴MN的最小值是

48； 5应用：解：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．

由对称的性质可知：CD＝CD′＝CD″，ED＝ED′，FD＝FD″，∠ACD＝∠ACD′，∠BCD＝∠BCD″，

∴∠D′CD″＝2∠ACB＝60°， ∴△D′CD″是等边三角形， ∴D′D″＝CD′＝CD，

∵△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD， ∴CD的值最小时，△DEF的周长最小， 所以当CD与CH重合时，CD的值最小， ∵

11•AB•CH＝S，即3CHS，

222S， 32S． 3∴CH＝

∴△DEF的周长的最小值为【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、轴对称的作图和性质以及面积法求高等知识，正确作出辅助线、利用两点之间线段最短进行转化求解是解题的关键， 52．12cm 【解析】 【分析】

连接AC，证明△ABC是等边三角形，然后求出∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，利用含30°的直角三角形的性质即可求出AD的长． 【详解】

解：连接AC，如图：

∵AB＝BC＝6cm，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝6cm，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵∠A＝120°，∠C＝150°， ∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°， ∴AD＝2AC＝12cm． 【点睛】

此题考查了等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解本题的关键． 53．（1）见解析；（2）见解析；（3）4. 【解析】 【分析】

（1）依据轴对称的性质得到各顶点，进而得出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）依据两点之间，线段最短，连接B'C交直线l于点P，则PB′+PC的长最短； （3）分别以点A和点B为圆心，AB长为半径画弧，即可得到符合条件的点M． 【详解】

解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求； （2）如图所示，点P即为所求；

（3）如图所示，符合条件的点M共有4个，

故答案为：4． 【点睛】

本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

54．见解析 【解析】 【分析】

先根据AAS证明△ABC≌△DEF，从而得到结论. 【详解】 如图所示：

∵AB//DE，AC//DF,

∴∠B=∠1,∠A=∠2,∠2＝∠D， ∴∠A＝∠D， ∵BE=CF， ∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

ADB1 ， BCEF∴△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE. 【点睛】

考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．

55．（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析. 【解析】 【分析】

（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=

1BC，D是BC中点可得AC=BD，2利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可

得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形. 【详解】

（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC ∴∠CBE=90°

∴△ABC和△DEB都是直角三角形 ∵AC=

1BC，点D为BC的中点 2∴AC=BD 又∵AB=DE

∴△ABC≌△DEB（H.L.）

（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB 又∵∠CBE=90° ∴∠BCE=45°-45°=45° ∴∠ACE=90°∴∠BCE=∠ACE

∴CE是∠ACB的角平分线

②△ABE是等腰三角形，理由如下：

ACDC在△ACE和△DCE中ACEBCE

CECE∴△ACE≌△DCE（SAS）. ∴AE=DE 又∵AB=DE

∴AE=AB

∴△ABE是等腰三角形

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.

56．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析； 【解析】 【分析】

（1）根据ABC45，CDAB于D，即可得到DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，再根据同角的余角相等即可证：∠DBF=∠DCA，从而证出△BDF≌△CDA即可；

（2）先证△BCE≌△BAE，即可得：CE出；

（3）由直角三角形的性质可得：∠DFB＋∠DBF=90°，∠BGH＋∠HBG=90°，再根据等角的余角相等即可得出∠DFB=∠BGH，从而证出∠DFB=∠DGF，根据等角对等边即可得出DGDF. 【详解】

解：（1）∵ABC45，CDAB于D

∴△DBC为等腰直角三角形，DB=DC，∠BDF=∠CDA=90° ∴∠DCA＋∠A=90° ∵BEAC ∴∠DBF＋∠A=90° ∴∠DBF=∠DCA

1AC，再根据（1）中△BDF≌△CDA即可证2

在△BDF和△CDA中

BDFCDA DBDCDBFDCA∴△BDF≌△CDA ∴BFAC； （2）∵BE平分ABC ∴∠ABE=∠CBE 在△BCE和△BAE中

ABECBE BEBEBEABEC90∴△BCE≌△BAE ∴CEAE1AC 2由（1）中△BDF≌△CDA ∴BF=AC ∴CE1BF 2（3）∵H是BC边的中点， ∴∠DHB=90°

∴∠BGH＋∠HBG=90°

∵∠DFB＋∠DBF=90°，∠HBG=∠DBF ∴∠BGH=∠DFB ∵∠BGH=∠DGF ∴∠DFB=∠DGF ∴DGDF 【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键.

57．（1）垂直；（2）BDCE.理由见解析；（3）SBCP8.

【解析】 【分析】

(1)根据对称点连线垂直于对称轴，即可确定AC⊥DE;(2)连接CE,证明四边形AECD是正方形，在结合三角形ABC是等腰三角形，即可说明;(3)先证明.△ACD≌△ABD，得到点B和点C关于AD成轴对称；连接BE，交AD于点P，且当B，P，E三点在同一条直线上，点P到点C与到点E的距离之和最小，然后结合（1）的结论，运用三角形的面积公式即可求得. 【详解】 解：（1）垂直

（2）BDCE.理由如下：

AD关于AC的轴对称图形为AE. ADAE，DACEAC

在ADC和AEC中，

ADAEDACEAC AC=AC(公共边)ADCAEC(SAS)

CDCE

又

AD是边BC上的中线

BDCD. BDCE.

（3）在ACD和ABD中

ACAB CDBDADAD(公共边)ACDABD(SSS)

ADCADB

ADCADB180 ADCADB90 点B和点C关于AD成轴对称

连接BE，交AD于点P，如图所示

PBPC

PCPEPBPE

且当B，P，E三点在同一条直线上，点P到点C与到点E的距离之和最小

BAC90

CADBAD45

在ADC中，.ACD180ADCCAD45 由（1）知，ADCAEC，

ACDACE45 DCE90

11SBCECEBC4816

221SPCE448

2SBCP1688

【点睛】

本题是一道几何综合题，考查了轴对称、全等三角形、正方形的相关知识，考查知识点比较综合，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

58．（1）见解析，AE∥BC，见解析；（2）①成立，见解析；②x=45°或135°时，AE⊥BC． 【解析】 【分析】

(1)根据已知条件得到∠CBD=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质得到∠A=∠CBD=90°，即可得到结论；

(2)①根据三角形外角的性质得∠C=∠ADE，根据全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；

②如图2，延长EA交BC于F，根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠EAD然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；如图3时，同理得到∠ABC=135°，由此即可得答案. 【详解】 (1)AE∥BC，

理由：∵∠CDE=∠ABC=90°， ∴∠CBD=90°，

在Rt△BDC与Rt△AED中，

ADBC， DEDC∴Rt△BDC≌Rt△AED， ∴∠A=∠CBD=90°， ∴∠A=∠ABC=90°， ∴AE∥BC；

(2)①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°， ∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°， ∴∠C=∠ADE， 在△BDC与△AED中，

BCADCADE， DCDE∴△BDC≌△AED；

②如图2，延长EA交BC于F，

∵△BDC≌△AED， ∴∠DBC=∠EAD， ∴∠FAB=∠ABF， ∴当AE⊥BC时， 即∠AFB=90°， ∴∠FAB+∠ABF=90°， ∴∠ABC=45°，

如图3，同理得到∠ABC=135°，

∴当x=45或135°时，AE⊥BC． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．