拉格朗日中值定理在高中数学中的应用

__口专题研究一在新课标下．，现行高中教材中增加了导数的初步知识了高中生的面前而这类试题对能力要求较高很多地方要用到高等数学思想如果老师在上导数部分内容些高等数学知识会让学生体会到数时适当地介绍学的连续性和魅力同时对解决这类问题也是大有裨益的本文主要是运用构造函数的基本思想通过例题不等式等问分析拉格朗日中值定理在求解关于函数，．自此又有许多以高等数学为背景的试题出现在．调递增0j，所以八z)≥厂(1)即In，(1+})。In2≥(1)厂=ln2．f1、+上1z≥ln2．Z，，一运用拉格朗日中值定are：理证明恒tan~+等式，．例2分析用公式tan若z≥1，求证1丁aFec。sT拿≥}：．．．．在三角函数部分解题中见到过这种题型(d±应=、题中的巧妙应用一．卢)：、定理与推论粤争解得专}等三，型tan(d±l+tan“tan工)卢)拉格朗日中值定理(1)f(x)在闭区间[n(2)厂(x)在开区间(。．，，设函数f(x)满足如下条件：6]上连续；b)内可导则在(Ⅱb)内至少，，1，d±卢的值可能为．孚ta．但此种解法较繁琐在这里用，推论1证明证明存在一二丛盟点f使得丛掣，：D一口八f)其中，b设_厂(z)即f(x)==arcnz+1>伍丁．arecos蚤}=一}，则推论“z)为一1若在(．n，b)内，厂()z=；0，则在(0，6)b)内内厂(x)一0，c(c为常数)tan常数x5LN~f(1)c==arel=1一丁0，arccosl一0，推论2．厂()x：()二应用举例以下从应用的角度说明在解题中如何运用拉格朗g+．若在(0b)内C(c为常数)，，．(z)，，’g(z)则在(0，，所以即3．0n，故f(x)+areta1、丁(carecos鲁理一=}x．运用拉格朗日os中值定+x、／求极限cos日中值定理及其推论1．．例3求lim1／x)．t定理证明不运用拉格朗日中4／，等式1、一例1试证当z∈[1，+∞)时ln(1，+二咒、’)。≥ln2分析．观察函数特征容易想到，型．分析与说明这类题原本在高等数学中是常见题边移到另边构求解这类题的通常思路是先将一一则f(t)在[x理的条件．z+1](zcos≥0若令厂(t)eOS、／t)上显然满足拉格朗日中值定：~．，，解造然后对它求导考命题者青睐一个函数，．近些年来1、，这类题倍受高令f(t)=、／t，显然八t)在[z．，x+1一](x≥0=)上满足拉格朗日中值定理得zcosz、／+1COSz、／．，证明令f(x)=In(1+})=。一ln2，对函数f(x)求(一sinf)鲁，其中戈<手<一+1‘，导．得所以lim=iFT_(COS、／scos、／『)：厂(x)[I(1})】xn+’lira，[(-inf，[In(1+z)一ln=z卜击一赤卜中值定理1】上可证4，．运用拉格朗日明方程根的存在唯<令函数g(t)格朗日中值定理Et中值定理得到ln(1+x，g(￡)在[zzIn于是对In(1+x)In(￡)，则+z一]上满足拉应用拉格朗1󰀀}生例4于(0l一设f(x)在[0一，导，且0，／(x)<1，又对)一lnz=1F(1一f∈(x，z+1)，所以有厂(x)因此，=1理>．F可io(z>0∈))内的所有点z有厂(z)≠1证明方程f(x)+x0在(01)内有唯实根分析证明方程根的存在性就有可能用到介值定在用介值定理证明问题时选取合适的辅助函数可，1，．，，收到事半功倍的效果，由上面的结论推出-厂(z)在z[1+m)上单的方法就是反证法，性的时候较常用所以本题证明思路就是先证存在．而在证明唯一性再证唯．一性．维普资讯 http://www.cqvip.com

＿　专题研究　■　一　证明先证存在性．令　（　）＝ｆ（　）＋　一１，则　（　）在［０，１］上可导．　因为０＜厂（　）＜１．　这与题设－厂（　）≠一１矛盾，唯一性得证．　拉格朗日中值定理在高中数学中应用非常广泛．　远不止以上这些，如利用导数来研究函数的某些性质、　所以咖（０）＝ｆ（０）一１＜０，咖（１）＝　１）＞０．　由介值定理知咖（　）在（０，１）内至少有一个零点，　即方程厂（　）＋　一１＝０在（０，１）内至少有一个　实根．　．描绘函数的图像、解决极值、最值等问题非常简捷，在　此就不一一列举了．　【参考文献】　［１］华东师范大学数学系．数学分析（第三版下册）［Ｍ］．北　京：高等教育出版社．２００１．　［２］贾俊芳．拉格朗日中值定理的应用．雁北师范学院学报［Ｊ］．　２００４．（５）：２５—２８．　再证唯一性（反证法）．设方程厂（　）＋　一１＝０在　（０，１）内有两个实根　１，　２，不妨设０＜　１＜　２＜１有　厂（　）＝１一　（　：）：１一　：，对－厂（　）在［　，　：］上应用拉　格朗日中值定理，有　∈（　：），使　厂（　）＝　一＝一＿ｌ二｜¨箜２＿二　Ｌ二　）＿＝一１．　［３］李艳敏，叶伯英．关于微分中值定理的两点思考，高等　数学研究［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．　（接９４页）　立函数与其导数关系的桥梁．罗尔中值定理、拉格朗日　中值定理、柯西中值定理将函数与其一阶导数进行联　系；泰勒中值定理将函数与其高阶导数进行联系．导数　在研究函数性态中的应用主要表现在讨论函数的单调　性，求函数的极值与最值．讨论函数的凹凸性，求函数　的拐点，求函数的渐近线．描绘函数的图像．　五、微分的思想　新纪元．积分的应用表现在用微元法来建立所求积分　表达式，主要是在几何和物理方面的应用：求平面图形　的面积，求已知截面面积的立体的体积，求旋转体的体　积，求曲线的弧长，求旋转曲面的面积，求变力所做的　功，等等．　３　＾　例４计算曲线Ｙ＝　ｊ　一‘上相应于　从ａ到ｂ的　为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线　的切线等问题，导致了微分思想的产生．在微分思想的　产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费马求切线、　求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为　互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础．有时我们　段长度．　解Ｙ　＝　‘，从而弧长微元为：　ｄｌ＝　丽所求弧长为：　＝、／１＋（　）　ｄｘ＝瓜　，　需要计算函数Ｙ：ｆ（ｘ），当自变量在　。处有一个微小改　变量　时，函数改变量Ａｙ＝厂（　。＋Ａｘ）一厂（　。）的大小，　但是Ａｙ　往往是　的一个较复杂的函数。要精确计算　它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和　实际应用中．有时只需了解Ａｙ的近似值就可以了．数　学家们把解决上述问题的出路放在将Ａｙ＝厂（　。＋Ａｘ）一　厂（　。）线性化，用　的线性函数来近似代替它，这就是　引入微分的基本想法．微分的几何意义是函数Ｙ＝　）在　。点的微分等于曲线Ｙ＝厂（　）在点（　。　厂（　。））处的　．ｚ＝　瓜　＿『手（・　手　２『　÷　÷］　【（１＋ｂ）‘一（１＋口）‘Ｊ‘　七、级数的思想　级数理论是数学分析的重要组成部分，是研究函　数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又　切线纵坐标的增量．　导数与微分是微分学中的两个最基本的概念，它　们之间的联系与区别为：一方面，可导与可微是等价的．　另一方面，从它们的来源和结构来看，导数作为有确定　结构的差商的极限，比微分的概念更为基础；但又由于　个导数可以表示为两个微分之商，因此在分析运算　中．微分表现出更大的灵活性与适应性．微分在近似计　一是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发　挥着重要作用．泰勒公式是用有限项的多项式近似表　示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体有着重要　意义．在此基础上和一定条件下．我们可以用无穷多项　的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数，利用　函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有　着非常重要的作用．　【参考文献】　［１］同济大学应用数学系．高等数学，第五版［Ｍ］．北京：高　等教育出版社，２００２（７）．　［２］李文林．数学史概论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　２００４（６）．　算上应用较为广泛．　六、积分的思想　为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由直　线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积　分的产生．积分思想源远流长．古希腊德谟克利特的　“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”　都是积分思想的雏形．并且用这些方法求出了不少几　何形体的面积和体积：然而这些古代方法都建立在特　殊的技巧之上．不具有一般性．也不是以严密的理论为　基础的．到１７世纪牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分　［３］赵一中．在数学教学过程中渗透人文教育［Ｍ］．中学数　学教学，２００４（３）、　［４］郑毓信，王宪昌，蔡仲．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教　育出版社、２００１（１１９）．　的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，　使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的　＜＜９６