初一数学一题多解

我们找出他们的关系是：BEDBD。证明如下：

方法一：如图2，过点E作EF//AB。因为AB//EF，所以BEFB；因为AB//CD，

AB//EF，所以

EF//CD，所以FEDD，所以

BEDBEFFEDBD。

方法二：如图3，过点E作EF//AB。

因为AB//EF，所以BEFB180，即BEF180B；因为AB//CD，

AB//EF，所以EF//CD，所以FEDD180，即FED180D；因为

BEFBEDFED360，

所

以

BED360(BEFFED)360(180B180D)BD。

方法三：如图4，连接BD。因为AB//CD，所以ABDBDC180，即

ABEEDC180(EBDEDB)；在ΔBED中，

BED180(EBDEDB)，所以BEDABEEDC。

方法四：如图5，过点E做FGAB，垂足为点F，交CD于点G。因为AB//CD，

所以EGD180EFB90；在直角ΔEGD中，GED90D，在直角ΔEFB

中，

FEB90B，所以

BED180(GEDFEB)180(90D90B)BD。

方法五：如图6，延长BE交CD于点F。因为AB//CD，所以EFDB；在ΔEFD中，EFDD180FED，又因为BED180FED，所以

BEDEFDDBD。

例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．

求证：△ABC是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD，CD=BD， ∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B）=180°， ∴∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。 证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一．

延长AC到E使CE=AC，连接BE． ∵AD=BD，

∴CD是△ABE的中位线．

1∴CDBE。

2∵CD1AB， 2∴AB=BE．

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．

证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．

过点D作DE⊥BC交BC于点E．

∴CD=BD，

1∴BEBC，

2∴

BEBD1， BCAB2∵∠B是公共角， ∴△BDE∽△BAC。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．

取BC中点E，连接DE．

∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC． ∵CD=BD，CE=BE， ∴DE⊥BC．

∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形．

延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE． ∵AD=BD=CD．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE． ∴四边形ABCD是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形． 证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理．

设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE． ∴DE是△ABC的中位线．

11∴DEACb。

22∵CD=BD，∴DE⊥BC。

在Rt△DEB中，∵DE2BE2BD2， 111∴bac。 222222∴a2b2c2，∴△ABC是直角三角形。

证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD到E使DE=CD，连接BE。 ∵AD=BD，∠1=∠2， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠ACD=∠E，AC=BE， ∴AC∥BE，

∴∠ACB+∠EBC=180°。 又∵AD=CD，∴AB=CE。 ∵BC是公共边，

∴△ACB≌△EBC（SSS）。 ∴∠ACB=∠EBC。

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。 证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D为圆心，DA长为半径作圆。 ∵AD=BD=CD，

∴点C、B在圆上，AB是直径。 ∴∠ACB=90°。 ∴△ABC是直角三角形。

例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？

这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。

下面让我们先来列出方程。

设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，可得方程

13x5y9z9.25，求xyz的值。 2x4y3z3.20解法一：变元法：

1zx2把z看成常数，解关于x、y的方程，可得

1110zy20然后代入所求式xyz中，得：xyz1z1110zz1.05 220答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。

解法二：直接构造法：

因为题目中要求xyz的值，所以将原方程互助组变形直接构造出xyz。

13x5y9z9.255(xyz)8x4z9.25 2x4y3z3.204(xyz)2xz3.20②4+①得21(xyz)22.05

xyz1.05

答：略

解法三：间接构造法：

将原方程组中的①两边同乘以常数a，②的两边同乘以常数b，得

13ax5ay9az9.25a 2bx4by3bz3.20b①+②得(13a2b)x(5a4b)y(9a3b)z9.25a3.20b ∵我们想要求的代数式是x+y+z， ∴令13a2b5a4b9a3b

可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05 ∴ x+y+z=1.05

例题四、三角形一题多解

如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE；

证法二

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

例题五、平行四边形一题多解

如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.

证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=180，故∠3+∠4=90，表明∠COD=90，所以DF⊥CE。

0

0

0

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE

例题六、如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

解法一

将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。 (a-c)(b-c)

解法二

重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）

图2