北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案

试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知i为虚数单位，则A. 1i

2i＝（ ） 1i

C. 1i

D. 1i

B. 1i

1x23lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 2. 已知曲线y24A. 2

B. 1

C.

1 2 D.

1 33. 已知随机变量服从正态分布N(4,2)，若P(8)0.4，则P(0)＝（ ） A. 0.3

 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

4.

20sin2xdx＝（ ） 2

B.

A. 0

41 4 C.

41 2 D.

1 25. 甲、乙两人计划从A、B、C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ）

A. 3种

B. 6种

C. 9种

D. 12种

6. 如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在△ABC内”，B表示事件“豆子落在△DEF内”，则P（B｜A）＝（ ）

A.

33 4 B.

32 C.

1 3 D.

2 37. 6张卡片上分别写有数字1、1、2、3、4、5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）

A. 60 B. 93 C. 126 D. 180

8. 设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且满足

2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为（ ）

A. (,2016) B. (2016,0)

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9. 如图，AB与CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P。若PCC. (,2014) D. (2014,0)

9，8OP1，则PD的长___________。 2

10. 在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线6(R)的距离等于____________。

x4t2,11. 已知点P(4,m)在曲线C：（t为参数）上，则点P到曲线C的焦点F的距

y4t离为_________。

12. 某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两车不在同一小组。如果甲车所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有_______种。

13. 在(x)的展开式中x3的系数等于－10，则该展开式各项的系数中最大值为_______。

14. 若(2x1)2014a0a1xa2x2ax5a1aa2014x2014(xR)，则2233＋„＋

22a12a1a2014＝__________。 20142a1

三、解答题（本大题共6个小题，共80分。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 设(3xx)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若th＝272， （1）求n的值；

（2）求展开式的x2项的系数； （3）求展开式中二项式系数最大的项。

16. 一个盒子中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

（1）某人有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；

（2）某人用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡。若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中）。求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X的分布列和数学期望。 17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

1312n23和。假设两人射击是否击中目标，34相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。

（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； ．．．

（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射．．．击的概率是多少？

（3）设甲连续射击3次，用表示甲击中目标的次数，求的数学期望E与方差D。 18. 已知函数f(x)xalnx,g(x)1a(aR)。 x（1）若a=1，求：曲线f(x)在x＝e处的切线的方程（e为自然对数的底数）； （2）设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间。 19. 已知函数f(x)（1）当axln(xa)（a为常数，a0）。

3，求函数f(x)的极大值和极小值； 4（2）若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围。

20. 已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx,g(x)xe1x（aR,e为自然对数的底数） （1）当a1时，求f(x)的单调区间；

（2）对任意的x(0,),f(x)0恒成立，求a的最小值；

120,]e上总存在两个不同的xi(i1,2)，（3）若对任意给定的x0(0,e]，在(使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围（第3问只需写出结果）。

【试题答案】

一、选择题（每小题5分，本题共40分） 1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. C 8. A 二、填空题（每小题5分，本题共30分）

9.

2 3 10.

3

11. 5 12. 216 13. 80 14.

1 4028三、解答题（本大题共6个小题，共80分。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （1）4 （2）1 （3）T354x

16. （1）设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：P(A)5321 1052有放回连取3次，其中2次取得次品记为B，由重复试验得P(B)C3()1524 5

12 125

（2）依据知X的可能取值为1，2，3。

284288A21P(x1) P（x2）＝2 P(x3)2

105A1045A1045则X的分布列如下表：

X P 1 2 3 4 58 451 45EX361635511。 45454545917. （1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次重复试验，故P(A1)1P(A1)1()23319 27（2）记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互， 故P(A2)113111333 44444444（3）根据题意服从二项分布，E3另解：p(0)C3()022222,D31 33332161p(1)C3()()2

33271331 27

2112p(2)C32()2()1

3327

2183p(3)C3()3()0

3327的分布列是  p 0 1 2 3 1 276 2712 278 27E0161281232， 27272727161282(12)2(22)2(32)2。 272727273D(02)218. （1）ye1x。 e1aalnx， x（2）h(x)x1aax2ax(1a)(x1)[x(1a)]h(x)12 22xxxx①当a10时，即a1时，在(0,1a)上h(x)0，在(1a,)上h(x)0，所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,)上单调递增；

②当1a0，即a1时，在(0,)上h(x)0，所以函数h(x)在(0,)上单调递增。 19. （1）当a31时，f(x)42x1x34)0，，令f(x则x2x390，x44或

1， 4当x[0,]时，f(x)0，当x(,),f(x)0， 当x(,)时，f(x)0,f(x)极大值f()（2）f(x)1419449414193,f(x)极小值f()ln3。 24212x1，若f(x)为增函数，则当x[0,)时，f(x)0恒成xa立，

12x1，即xa2x，即a2xx(x1)21恒成立，a1。 xa2， x20. （1）当a1时，f(x)x12lnx,f(x)1

由f(x)0,x2，由f(x)0,0x2。

故f(x)的单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2,)。 （2）由已知对x(0,),a2122lnx恒成立。 x122(x1)2lnx2lnx22lnx1x,x(0,)，则l(x)x令l(x)2， 22(x1)(x1)x12再令m(x)2lnx21222(1x)2,x(0,),m(x)20， 2x2xxx11m(x)在(0,)上为减函数，于是m(x)m()22ln20，

22从而，l(x)0，于是l(x)在(0,)上为增函数，l(x)l()24ln2， 故要a212122lnx恒成立，只要a[24ln2,)，即a的最小值为24ln2。 x13。 e1（3）a2