人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形证明 经典题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求AD

A B

解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中

AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CDA D

C 1AB 2D C B

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D

证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。

∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD

EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

B

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º ∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD

8. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

E D C F A B

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。

9. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A D B C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PBC A P B D

在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。 11. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，

∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE

12. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

D C B

F A E ∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=2

13. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

解：延长AD至BC于点E,

∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC

14. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON ∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB 15. （5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC PCE∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°

D∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 BA∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

16. 如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

DEFCAB

证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）

17. 如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

AFBMCE

证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线.

18. （10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

ADBC

∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC

19. （10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

ADBCF

在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD △ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 20. （12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

ABFECD

∵AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE ∴AF=DE

△ABF=△CDE

21. 公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，

F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠C BM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE

22. 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS）

23. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

D E A F B C

连接BD；∵AB=AD BC=D∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DC E\\F是中点∴DE=BF；∵AB=AD DE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。

24. 如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

DA125E6B34C

证明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边）∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC

25. 已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA）

26. 已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

C F

证明：∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)∴BE=CD 27. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF．

A E

A

D E B D F C

证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF

28. 已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

A D

E B C ∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E

根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA） ∴AD=AB=5

29. 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

F E A M B

C

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=

∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF； （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF． 30. 如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

NA4FE1BM2C3 证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN （2）∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN