2014年江西省高考数学试卷真题及答案(理科)

2014年江西省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ） A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i

D．1﹣i

2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（ ） A．（0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） ∞）

3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．﹣1

D．（﹣∞，0]∪[1，+

4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）

2+6，C=

，则△ABC的面积（ ） B．

C．

D．3

A．3

5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

A． B． C． D．

6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 不及 成

格

及

总

格 计

第1页（共28页）

绩 性别 男 女 总6 10 16

14 20 22 32 36 52

计 表2 好 差 总视计力 性别

男 4 1206

女 12322 0 总1352计 6 6 表3 偏正智高 常 商 性别 男 8 12 女 8

24 总16 36 计

总

计

20 32

52

第2页（共28页）

表4 丰阅读量 性别 男 14 女 总计 A．成绩

B．视力

C．智商

D．阅读量

2 16

6 30 36

20 32 52

富

不丰富

总计

7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

f（x）dx，则

f（x）dx=（ ）

8．（5分）若f（x）=x2+2

A．﹣1 B．﹣ C． D．1

9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ） A．π B．π C．（6﹣2

）π D．π

10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

第3页（共28页）

A． B． C．

D．

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题

11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ） A．1

坐标系与参数方程选做题

12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线

第4页（共28页）

B．2 C．3 D．4

段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ） A．ρ=

，0≤θ≤

B．ρ=

，0≤θ≤

C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤

D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ．

14．（5分）若曲线y=ex上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ． 15．（5分）已知单位向量=3

﹣

与

的夹角为α，且cosα=，向量=3

﹣2

与

﹣

的夹角为β，则cosβ= ．

+

=1（a＞b＞0）

16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：

相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．

五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣） （1）当a=（2）若f（

，θ=

时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

，

）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

18．（12分）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0． （1）令cn=

，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn． 19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（1）当b=4时，求f（x）的极值；

第5页（共28页）

（b∈R）

（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．

20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：AB⊥PD； （2）若∠BPC=90°，PB=

，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最

大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B

分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：

﹣y0y=1与直线AF相交于

恒为定值，

点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，并求此定值．

22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．

（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；

（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；

第6页（共28页）

（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．

第7页（共28页）

2014年江西省高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）

A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i

D．1﹣i

【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项． 【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ① 又z+=2 ② 由①②解得z=1﹣i 故选D．

【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题

2．（5分）（2014•江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（ ） A．（0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） ∞）

【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0， 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故选：C

【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．

3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．﹣1

D．（﹣∞，0]∪[1，+

【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．

第8页（共28页）

【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R）， ∴g（1）=a﹣1， 若f[g（1）]=1， 则f（a﹣1）=1，

即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0， 解得a=1， 故选：A．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．

4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=A．3

B．

C．

，则△ABC的面积（ ）

D．3

【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6， ∴c2=a2﹣2ab+b2+6， 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6， ∵C=∴cos

， =

=

=，

解得ab=6，

则三角形的面积S=absinC=故选：C

【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．

5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

=

，

第9页（共28页）

A． B． C． D．

【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．

【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确， 故选：B．

【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．

6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 不及 成绩 性别 男 女 总计 表2 好 差 总视力

第10页（共28页）

及总

格 格 计

6 10 16

14 20 22 32 36 52

计

性别

男 4 120

6

女 1232

2 0 总1352 计 6 6 表3 偏正总

智高 常 计

商 性别 男 8 12 20 女 8

24 32

总16 36 52

计 表4 丰不丰总阅富

富

计

读量 性别 男 14 6 20 女 2 30 32 总16

36

52

计

第11页（共28页）

A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量

【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论． 【解答】解：表1：X2=表2：X2=表3：X2=表4：X2=

≈1.769； ≈1.3； ≈23.48，

≈0.009；

∴阅读量与性别有关联的可能性最大， 故选：D．

【点评】本题考查性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．

7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

的值，根据条件确定跳出循

【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg环的i值．

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9． 故选：B．

=lg

＜﹣1，

的值，

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2

f（x）dx，则f（x）dx=（ ）

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A．﹣1 B．﹣ C． D．1

【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可． 【解答】解：令t=+2解得t=故选：B．

【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．

9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ） A．π B．π C．（6﹣2

）π D．π

f（x）dx=t，对f（x）=x2+2

f（x）dx，两边积分可得：

tdx=+2t， f（x）dx=﹣，

【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小． 【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r， 由已知得|OC|=|CE|=r，

过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF， 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，

则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为： d=此时r=

=

，

∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（故选：A．

）2=．

第13页（共28页）

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l（3，4），l1=AE，ii=2，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

A． B． C．

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D．

【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解． 【解答】解：根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；

A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）； E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有： A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称． 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24） 根据相似三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6， 即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．

根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．

第15页（共28页）

=13．

所以F的坐标为（8，6，0）． 因此：l2=|EF|=（3）l3长度计算

设G的坐标为：（xG，yG，zG） 如果G落在平面BCC1B1；

这个时候有：xG=11，yG≤7，zG≤12 根据反射原理有：AE∥FG 于是：向量即有：因为：

=λ

与向量

=13．

共线；

=（4，3，12）；

=（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）

即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG） 解得：yG=

，zG=9；

，9）

故G的坐标为：（11，因为：

＞7，故G点不在平面BCC1B1上，

所以：G点只能在平面DCC1D1上； 因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12 此时：

=（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）

即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG） 解得：xG=

，zG=4；

满足：xG≤11，zG≤12 故G的坐标为：（所以：l3=|FG|=（4）l4长度计算

设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；

第16页（共28页）

，7，4）

=

，7，12）

即：AEFGH共面

故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'； 易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．

根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系： l1=l2；且l4＞l3

对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件． 故本题选：C．

【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题

11．（5分）（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值． 【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1| =|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1| ≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，

当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立． 故选：C．

【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不

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等式的最值的方法．

坐标系与参数方程选做题

12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ） A．ρ=

，0≤θ≤

B．ρ=

，0≤θ≤

C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤

【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．

【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），

可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ=

．

]，

由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，故选：A．

【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是

．

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果， 满足条件的事件是恰好有1件次品有C

种结果，

种结果，得到概率．

∴恰好有一件次品的概率是P==

第18页（共28页）

故答案为：

【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．

14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 （﹣ln2，2） ．

【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．

【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，

∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行， ∴﹣ex=﹣2，解得x=﹣ln2， ∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）． 故答案为：（﹣ln2，2）．

【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．

15．（5分）（2014•江西）已知单位向量﹣2

与=3

﹣

与

的夹角为α，且cosα=，向量=3

．

﹣

的夹角为β，则cosβ=

【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．

【解答】解：单位向量==3

﹣2

， =（

），=3

﹣

=（

），

与

的夹角为α，且cosα=，不妨

=（1，0），

∴cosβ===．

故答案为：

．

第19页（共28页）

【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．

16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：

+

=1

（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于

．

【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵M是线段AB的中点， ∴

=1，

=1，

①，

②，

∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1， ∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），

∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：A，B两点，M是线段AB的中点， ∴①②两式相减可得∴a=∴∴e==

b，

=b， ．

．

，即

，

+

=1（a＞b＞0）相交于

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．

五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演

第20页（共28页）

算步骤

17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣（1）当a=（2）若f（

，

） ，θ=

时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣数的最值．

（2）由条件可得θ∈（﹣

，

），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，

），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函

由这两个式子求出a和θ的值． 【解答】解：（1）当a==sin（x+=sin（

）+

cos（x+

，θ=）=）． ，

]，

时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ） sinx+

cosx﹣

sinx=﹣

sinx+

cosx

﹣x）=﹣sin（x﹣

∈[﹣

∵x∈[0，π]，∴x﹣∴sin（x﹣∴﹣sin（x﹣

）∈[﹣

，1]，

]，

．

，

），

）∈[﹣1，

故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为

（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣f（

）=0，f（π）=1，

∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②， 由①求得sinθ=

，由②可得cos2θ=

=﹣﹣=1﹣2×

，

．

再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣

．

第21页（共28页）

综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0． （1）令cn=

，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn． 【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=

，可得数列{cn}是以1为首项，

2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式； （2）用错位相减法来求和．

【解答】解：（1）∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=∴cn﹣cn+1+2=0， ∴cn+1﹣cn=2，

∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，

∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴cn=2n﹣1； （2）∵bn=3n﹣1，cn=

，

，

∴an=（2n﹣1）•3n﹣1，

∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1， ∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n， ∴﹣2Sn=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n， ∴Sn=（n﹣1）3n+1．

【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．

第22页（共28页）

19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（1）当b=4时，求f（x）的极值；

（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．

【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值； （2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到

对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出

=

的范围得答案．

（x

），

（b∈R）

【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）

则

由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．

=．

当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数． 当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数． 当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数． ∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0． 当x=0时，f（x）取极大值为4； （2）由f（x）=（x2+bx+b）

，得：

=．

由f（x）在区间（0，）上单调递增， 得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立． 即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立． ∴

对任意x∈（0，）恒成立．

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∵∴

．

．

∴b的取值范围是．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．

20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：AB⊥PD； （2）若∠BPC=90°，PB=

，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最

大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．

（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=

，PM=

，设AB=x，则VP﹣ABCD=

，故当

时，VP﹣ABCD

取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值． 【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．

（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD， 作OM⊥BC，连接PM ∴PM⊥BC， ∵∠BPC=90°，PB=

，PC=2，

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∴BC=，PM===，BM=， =

，

=，

设AB=x，∴OM=x∴PO=∴VP﹣ABCD=×x×当

，即x=

×，VP﹣ABCD=

=，

建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示， 则P（0，0，B（

，

），D（﹣

，0，0），C（﹣

，

，0），M（0，

，0），

，0）

面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2） ∴cosθ=

=﹣

=﹣

．由图可知二面角为锐角，即cos

【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．

21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：

﹣y2=1（a＞0）的右焦点为

F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：

﹣y0y=1与直线AF相交于

恒为定值，

点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，

第25页（共28页）

并求此定值．

【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=

，从而可得双曲线C的方程；

），l的方程为：

﹣y0y=1，直线l：

﹣y0y=1与直

（2）易求A（2，

线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），

于是化简=可得其值为，于是原结论得证．

【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），

∵AB⊥OB，BF∥OA，∴整理得：t=，a=

，

•=﹣1，=，

∴双曲线C的方程为

﹣y2=1；

），l的方程为：

﹣y0y=1，

（2）证明：由（1）知A（2，又F（2，0），直线l：N．

于是可得M（2，

﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点

），N（，），

第26页（共28页）

∴

=====

．

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．

22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1． （1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；

（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）； （3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．

【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．

（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；

（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．

【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5 其中P（ξ=2）=

=，

P（ξ=3）==，

P（ξ=4）==，

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P（ξ=5）==，

故随机变量ξ的分布列为：

ξ P

2

3

4

5

ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；

（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”， ∴P（C）=2×

（3）当n=2时，P（C）=2×即P（）＜P（C）； 当n≥3时，P（C）=2×即P（）＞P（C）；

=，此时P（）＜；

＜，此时P（）＞；

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．

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