利用导数求最值

利用导数求最值

导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。 一、函数的最大值与最小值

在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）内可导，f(x)在[a,b]上求最大值与最小值的步骤：先求 f(x)在（a,b）内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

求可导函数极值的步骤：

首先：求导数f(x)；再求导数f(x)=0的根；最后：检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值

'''112(x1)2(x1)3的最小值。x23 11223解：设f(x)lnx(x1)(x1)，则

x23111f(x)2(x1)2(x1)22(x1)(x1)2(x1)2

xxx例1、设x0，求lnx1x211x(x1)212(x1)(x1)22(x1)(x1)222

xxx(x1)32x1. 2x令f(x)0，由x0，解得x1。列表：

x （0，1） － ↘ 1 0 最小值 (1,) ＋ ↗ f(x) f(x) 由表可知，当x1时，f(x)有最小值1。

评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。

当函数f（x）为连续函数且在

a,b上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连

续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值，

则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。 练习1：已知a ≥ 0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域

例2 、求函数f(x)5x2x34x的值域．

解：由x30得f(x)的定义域为3x4。

4x0110，所以x32x4因为yf(x)(5x)(2x3)(4x)5f(x)在3,4上单调递增，故当x3时，y最小157,x4时，

y最大2027。所以值域为157,2027。

评注：求函数的值域转化为求f(x)在闭区间3,4上的最大值和最小值的问题，考虑其单

调性易求值域，必须注意函数的定义域。

练习2：已知x，y为正实数，且满足关系式x2x4y0，求xy的最大值。 （二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设

2262323函数f(x)xaxb(1x1)的最大值为1，最小值为，a1，

232求a，b的值。

解：f'(x)3x3ax3x(xa)，当x变化时，f(x),f(x)变化情况列表如下： x －1 （－1，0 0） + 0 b （0，a） a － 0 （a，1） 1 + 2'f'(x) f(x) 3 1ab 2a3b 231ab 2当x=0时，f（x）取极大值b，而f(0)f(a)，f(1)f(1)，故需比较f（0）与f（1）的大小。

3a10，∴f（x）最大值为f（0）=b=1。 21312又f(1)f(a)(a3a2)(a1)(a2)0。

22∵f(0)f(1)

∴f(x)minf(1)，∴3366a1ba,b1。 ，∴a2223评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的

大小，列表解题一目了然，从而确定出a，b的值。 （三）利用最值研究恒成立问题 例4、设函数f(x)x312求实数x2x5,若对于任意x[1,2]都有f(x)m成立，

22或x1。 3m的取值范围。

解： f(x)3xx2,令f(x)0,得x∵当x222或x1时，f(x)0,∴yf(x)在(, )和(1, )上为增函数， 3322在(, 1)上为减函数，∴f(x)在x处有极大值，在x1处有极小值。

33222极大值为f()5, 而f(2)7, ∴f(x)在[1, 2]上的最大值为7。

327若对于任意x[1, 2]都有f(x)m成立, 得m的范围 m7。

评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a对x∈R恒成立 f(x)的最小

值≥a成立；f(x)≤a对x∈R恒成立f(x)的最大值≤a成立。 练习2：已知函数f(x)xaxbxc在x值；⑵若对x[1,2],f(x)四、利用最值证明不等式

例5、已知f(x)axcxd(a0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。（1）

求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意x1,x2(1,1)，求证：不等式

3322与x＝1时都取得极值。⑴求a、b的3c2恒成立，求c的取值范围。

f(x1)f(x2)4恒成立。

解：（1）∵f(x)是奇函数，xR， ∴f(0)=0, ∴d=0

因此f(x)axcx,f(x)3axc 由条件f(1)=-2为f(x)的极值，∴f(1)=0，

,

3'2ac2∴，解之得：a=1，c=-3

3ac0'则f(x)x3x,f(x)3x3， 令f(x)0，得x1

3'2， ∴f(x)的单调减区间是[-1，1]，f(x)的单调增区间是，1和1

当x=-1时，f(x)有极大值2。 （2）证明：由（1）知f(x)在[-1，1]上是减函数，且f(x)在[-1，1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2

∴对任意x1,x2(1,1)， 恒有f(x1)f(x2)f(1)f(1)4

评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。

附练习答案：

1、解：（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝（x2－2ax）ex+（2x－2a）ex＝［x2+2（1-a）x-2a］ex。

令f′（x）＝0，得［x2+2（1-a）x-2a］ex＝0，

从而x2+2（1－a）x－2a＝0。解得

x1a11a2

x2a11a2，其中x1＜x2。

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f ′（x） f （x）

（－∞ ，x1 ）

+

x1 0 极大值

（ x1 ， x2）

— x2 0 极小值

（x2 ，+∞）

+

当f（x）在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值.

当a≥0时，x1＜－1，x2 ≥0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+∞）为增函数. 而当x＜0时，f（x）＝x（x－2a）ex＞0；当x＝0时，f（x）＝0. 所以当

xa11a2时，f（x）取得最小值。

解：由题意，2、

xy11 x2xx2(0x2)，设f（x）x2xx2(0x2)。

22x(32x)22xx2，令f'(x)0，得x当0x2时，f'(x)3或x=0（舍去）。 2当x在0,2内变化时，y/，y有如下变化情况： x 30, 2+ 3 20 3,2 2－ 2 y/ y 0 33极大值 8

由上表可知，当x=

33333时，f（x）最大值为，亦即xy的最大值为。

8823、解：⑴a,b2； ⑵令g(x)xaxbxx3231212x2x，故对任意x[1,2],g(x)2c2c恒成立。∵

g(x)3x2x2(x1)(x2)，列表知对任意x[1,2]，y＝g(x)的最大值为g

（2）＝2，∴2＜c2－c，得c＜－1或c＞2。