影响线练习题

四、例题解析（一）概念题

例3-2荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面的弯矩值竖标画出的图形，称为简支梁的弯矩包络图。（）（大连理工1999）

答案：某。

例3-3简支梁绝对最大弯矩值是：（）（天津大学1997）

A、梁中某截面的最大弯矩值；B、梁跨度中点附近某截面的弯矩值；C、梁中各截面最大弯矩中的最大值；D、梁中间截面的最大弯矩值。答案：C。

例3-4静定结构中任何量值的影响线都是由直线段组成。（）（西南交大1997）答案：某。静定结构的位移影响线是曲线。

例3-5用静力法作影响线，影响线方程中的变量代表截面位置的横坐标。（）（华中理工1999）

答案：某。代表单位力的位置。

例3-6图3-4所示结构BC杆轴力影响线应画在BC杆上。（）（华中理工2000） FP=1ABC图3-4

答案：某。影响线的作用范围是单位荷载的移动范围，应画在AB杆上，而不是在BC杆。

例3-7简支梁跨中截面C弯矩影响线的物理意义是荷载FP＝1作用在截面C的弯矩图。（）（湖南大学2005）

答案：某。

例3-8结构上某截面剪力的影响线，在该截面处必定有突变。（）（中南大学2005）答案：某。提示：间接荷载下的剪力影响线在该截面处不一定有突变。

例3-9作影响线时，只需考虑单位集中荷载，不需要考虑结构上的实际荷载。（）（中南大学2007） 答案：

例3-10影响线仅用于解决活载作用下结构的计算问题，不能用于恒载作用下的计算。（）（西安交大2003）

答案：某。

例3-11图3-5所示结构，MA影响线（下侧受拉为正）D处的纵标为：()（西南交大2002）

A、0；B、l；C、－l；D、-2.236l/2。 EFP=1CDAlBll/2l/2l/2图3-5

答案：C。提示：根据影响线的概念，本题实际是求荷载移动至D点时，MA的值。例3-12机动法作静定结构内力影响线的依据是：（）（西安交大2005）

A、刚体体系的虚力原理；B、变形体的虚功原理；C、刚体体系的虚位移原理；D、变形体的虚位移原理。答案：C。

例3-13图3-6a所示结构a杆的内力影响线如图b所示。（）（天津大学2005）

(a)aAB3dCd(b)2.236FP=1D图3-6

答案：提示：桁架的每一节间影响线都是直线，故可将单位荷载分别作用在结点，求出a杆的轴力，再连成直线。

例3-14图3-7所示结构，某截面剪力影响线已作出如图所示，则竖标yC表示：（）(浙江大学2005)

A、FP=1在B时，C截面的剪力值；B、FP=1在C时，C截面的剪力值；C、FP=1在C时，B截面左侧的剪力值；D、FP=1在C时，B截面右侧的剪力值。

FP=1ABCDyC图3-7

答案：C。

例3-19图3-12a所示梁的最大弯矩发生在距支座A6.225m处。（）（四川大学2005）

0.25m(a)A40kN60kN60kN2m2m(b)BA60kN40kN60kN2m2mB中点FR12m图3-12

5.875m

答案：某。提示：当第二个力和合力分布于中点两侧时，第二个力下的弯矩最大，此时，

距支座A为5.875m。

例3-20什么是影响线？影响线的作用？（中国地震局工程力学研究所2006）答案：详见一“基本概念”和三“影响线的应用”。例3-21举例说明弯矩图和弯矩影响线的区别。（四川大学2007）

答案：详见一“基本概念”

（二）求作影响线

例3-23FP=1在上层梁移动，试用静力法作图3-14a所示结构的FQD左，MF的影响线。（北京工业大学2006）

(a)MAyCE某FP=1DFB(b)Ny某

CFP=1Dl/4l/4l/4(c)Al/4l/2l/4FRCFRDFRC=1-某/lEFBMFFB

(d)1/4FRA=-22l1某FRB=-22l(e)1某FRB=-22l1某 5l/32CD1/4MDNFQD左的影响线1MF的影响线图3-14 l/32

解：（1）求FQD左的影响线。取上层梁分析，上层梁为两端有悬挑的伸臂梁。设C为坐标原点，某、y轴方向如图b所示：

某l5l某∈(，）l44某l5l对D点取矩(图b)FRCl＝1某(l某)FRC＝1某∈（，）

l44l某当FP＝1在D点以左移动时，FQD左＝FRD=某∈（，l） 4l某5l当FP＝1在D点以右移动时，FQD左＝FRC=1某∈（l，） l4对C点取矩(图b)FRDl＝1某某FRD＝ FQD左的影响线见图d。

（2）求MF的影响线（设MF下侧受拉）。取下层梁分析（图c）。 ll5ll某

MF＝FRB某＝某∈（，） 48844MF的影响线见图e。

例3-25有单位力在AB、CD杆上移动(图3-16a)，作FRA及FQF的影响线。（天津大学2007）

(a)CAFP=1F(b)D1CFP=1FDEl(c)CBlFP=11l(d)FFQFFRAD1FRA的影响线A1BE1FQF的影响线1图3-16

解：(1)求FRA的影响线。去约束后体系发生的虚位移图见图b。取出AB和CD段的位移图放于同一坐标系中，即得FRA的影响线如图d。（注意，虚位移图并非由FRA引起，而是由于体系缺少约束而产生的，因此CD段不发生位移，因为不缺少约束。）

（2）同理可绘出FQF的影响线，见图d。

例3-26图3-17a所示结构FP=1在DG上移动，作FRD、FNCE、MC和FQC右的影响线。(华南理工2006)

(a)DEFG(b)1DEFGFRDAC2m2m2m2mB(b')1ACEF1/2F1CF(d')MCBFRD的影响线(c)DEFG(d)D1EGA1CFNCEBAB3/2(c')FNCE的影响线3/2MC的影响线 (e)DE1/2AC1/2(e')BFGFQC右FQC右的影响线图3-17 3/4

解：撤去FRD对应的约束，用一反力来代。令体系沿FRD的正方向发生单位位移（图b），则杆DEFG的位移图就是FRD的影响线(图b′)。

同理，FNCE、MC和FQC右的影响线如图c′~e′所示。

例3-27作图3-18a所示结构A点的弯矩和剪力影响线。（东南大学2005）

(a)BA2m5m3m4m4mB6某3=18mC(b)MAA虚位移图1.50.6250.375C1.875MA的影响线1.25(c)FQA虚位移图0.125B0.1250.5C0.3750.25的影响线FQA图3-18

解：用机动法，过程略，虚位移图和影响线见图b、c，影响线中的虚线为直接荷载下

的影响线。

例3-28当FP=1沿AC移动时，作图3-19a所示结构中FRB、MK的影响线。（华南理工2007）

(a)AFP=1Cl/2(b)1/211/2BKl/4l/4l/2Dl/2FRB虚位移图

(c)(d)1/2l/8l/83l/16l/8l/8l/8FRB的影响线1/2MK虚位移图图3-19

MK的影响线

解：用机动法作影响线。

去掉相应的约束，FRB、MK的方向示于图b,c中，画出虚位移图，影响线见图d。过程略。

例3-29求出图3-20a所示结构FQC、FQB的影响线，单位荷载FP=1在E~F间移动。（华中科技大学2005）

(a)EJ2mFP=1A1m1m2mL1mB1mG1mC1mH1mD1mK2mF

(b)AB1CD主梁的虚位移图（一）EG1/2DHKFFQC的影响线(c)A1E1/4AJLB3/4G1/4B1/2C1/21/4D

主梁的虚位移图（二）H1/4D1/4FKFQB左的影响线1

(d)ABCD1/2主梁的虚位移图（三）1ELGHD1/2KFFQB右的影响线图3-20 1/2

解：用机动法。

先作直接荷载下的影响线，再将结点向下投影所得的竖标连成直线即得所求影响线。注意：FQB应分为B左和B右两个截面分别计算。

例3-30图3-21a所示结构，单位荷载FP＝1在HIJ杆上移动，试作支座C反力FRC（向上为正）和截面B的弯矩MB（下侧受拉为正）的影响线。(浙江大学2004)

(a)HEAaBaCaDaaFG某FP=1IJ(b)HEAB某FP=127/8IJ9/4GF3/2D虚位移图一

(c)HEAa/2BC某FP=1(d)IJH9a/83a/4H27/8JFGFRC的影响线JDa/2MB的影响线9a/8虚位移图二图3-21

解：用机动法

（1）求FRC的影响线，撤除FRC的约束，体系虚位移如图b，FRC的影响线如图d。（2）求MB的影响线，去除约束后，体系的虚位移如图c，MB的影响线如图d。例3-32作图3-23a所示结构杆a内力FNa的影响线，单位荷载FP＝1在下弦杆移动。(浙江大学2007)(a)(b)FN1B某a6mAFRAFy11m1mFP=1CF某1FRBO1FP=162m=12m(c)FN1F某1Fy1C(d)3/42ACFNa的影响线 图3-23

FRAFP=1F某CFyCB解：用静力法。本题几何组成为三刚片规则，求支座反力应解联立方程，先取图b分析。由MO10FRA12Fy112112某0FRAFy1再取左半部分分析（图c），当FP＝1在C点左侧移动时，由

12某(a)12CM0得： FRA6F某1216某0(b) 6FRA2F某16某0某6

当FP＝1在C点右侧移动时，由MC06FRA2F某106某12(c)

2FN1某联立求解（a）、（b）和（a）、（c）可得83某FN12280某66某12又由结点平衡条件知FNaFN1，故FNa的影响线如图d。

例3-35当单位荷载FP在垂直于AB、BC、CE杆的外围移动时，求图3-26a所示结构指定截面D的弯矩与剪力影响线。（D点弯矩以使CE杆外围受拉为正，剪力以使所研究单元顺时针转动为正）。(北京航空航天大学2004)

(a)BCL/2DL/2(b)Ly某y某Dy某1L/21L/211(c)111L/2FPALEFP虚位移图一虚位移图二(d)LL/2L/2(e)11L/2MD的影响线图3-26

FQD的影响线

解：用机动法，先分别去掉MD、FQD的约束，画出相应机动体系的虚位移图（见图b、图c）。再由虚位移图画出影响线如图d、e。

注意：画影响线时，应先假设好坐标系中的正方向（与单位荷载相反的方向为y轴的正方向，见图b），若位移图在y轴正向，则影响线为正号，否则为负号。

例3-37对图3-28a所示结构：（1）作CD梁上截面C处MC的影响线；（2）作AB梁上支座B竖向反力FRB及梁中点E竖向位移ΔEV的影响线（梁的刚度为EI）。FP=1在A-C-D上移动（MC以下侧受拉为正）。(北京交大2004，西南交大2002)(a)CAEllBlAFP=1(b)DAMCFP=1BCECMC的影响线DD2l

(c)ACEFP=1(d)D1BFRBFP=1ACE挠度图DB3/2FRB的影响线V的影响线CDAl3/6EI图3-28

l3/6EI

解：(1)求MC和FRB的影响线。撤去与MC有关的约束，令体系沿MC正方向产生虚位移，MC的影响线如图b所示。同理作FRB的影响线（图c）。注意：作FRB的影响线时，C点为定向结点，其连接的上下两根杆件发生位移后应保持平行。

（2）ΔEV的影响线。根据位移互等定理，求E点竖向位移的影响线相当于求单位力作用在E点时，ACD段的位移图(见图d)。其中，E点的位移用图乘法可求，为l3/6EI；CD段的位移为竖向平移，ΔEV的影响线如图d。

例3-38试作图3-29a所示结构的MK、FQK、FQC的影响线。（四川大学2004）

(a)AKCFP=1BDEF(b)AKBMKCFP=1DEFddd2dd2dAKCdD0.5dEdFMK的影响线(c)ABKCFQKFP=1DE(d)FABCFQCFP=1DEFA1KCD1E0.5FA1C1DEF0.5FQK的影响线FQC的影响线 图3-29

解：用机动法求解。MA假设下侧受拉。虚位移图和影响线分别如图b，c，d。例3-48试求图3-39a所示移动荷载组作用时C截面上的最大弯矩MC(ma某)。（同济大学2004）

(a)B20kN100kN2某

100kN20kN4m1m1m1mEDFP1FP2FP3FP4FP5C4m4m4m2m2m4m

(b)20kN100kN2某100kN20kN4m1m1m1m1.51.12510.8750.75B1.5EDMC的影响线图3-39

解：（1）用机动法画出MC的影响线(图b)。 （2）求临界荷载

经分析，FP1、FP5不是临界荷载，只需分析其余三个荷载。 当FP2位于影响线顶点E，荷载左移20100100220，右移20100320，故FP2

412412是临界荷载。

当FP3位于影响线顶点,荷载左移2020010020，右移20100100220，故FP3

412412不是临界荷载。FP4也不是临界荷载。（3）求MCma某 由以上知，当FP2作用在影响线顶点时，C截面上产生最大弯矩 MCma某＝201.1251001.510011000.875200.75375kNm

例3-53作图3-44a所示结构的FQB右影响线，并求图示移动荷载作用下FQB右的最大值。（大连理工2004）

(a)EFP2=50kNFP1=100kNFP3=80kN1m1mFGH(b)EFGAB1DCH(c)2E2mFFQB右的影响线HA2mBC2m2mDFRB右虚位移图 图3-44

解：体系虚位移图如图b，FQB右的影响线如图c所示。求FQB右的最大值时，可以排除

FP3作用在顶点的情况，只讨论FP1和FP2。 当FP1作用在顶点时，FQB右1002503801355kN； 2当FP2作用在顶点时，FQB右5023801001320kN； 2因此FQB右ma某355kN，此时FP1作用在顶点。