常用数学公式汇总

一．代数

a, a01．绝对值与不等式 绝对值定义：|a|

a,a0⑴

a2|a|，|a||a| ⑵ |a|a|a|

⑶ 若|a|b (b0)，则bab ⑷ 若|a|b (b0)，则ab或ab ⑸ （三角不等式）|ab||a||b|，|ab||a||b| ⑹ |ab||a||b| ⑺ |ab||a||b| (b0) 2．指数运算 ⑴ axayaxy ⑵ axyayax ⑶ (ax)yaxy ⑸ (axb)xaxy1bx ⑹ ayax ⑺ axax 3．对数运算（a0,a1）

⑴ 零和负数没有对数 ⑵ logaa1

⑶ loga10 ⑷ loga(xy)logaxlogay ⑸ logxbaylogaxlogay ⑹ logaxblogax ⑺ 对数恒等式alogayy ⑻ 换底公式loglogbyaylog ba⑼ e2.718 281 828 459

⑽ lgelog10e0.434 294 481 903 ⑾ ln10loge102.30 258 509 299 4．乘法及因式分解公式

⑴ (xa)(xb)x(ab)xab ⑵ (xy)2x22xyy2 ⑶ (xy)3x33x2y3xy2y3

⑷ (ab)xaxbx⑻ a01

1

⑷ (xyz)2x2y2z22xy2yz2xz

⑸ (xyz)3x3y3z33x2y3xy23y2z3yz23x2z3xz26xyz ⑹ x2y2(xy)(xy) ⑺ x3y3(xy)(x2xyy2)

⑻ xnyn(xy)(xn1xn2yxn3y2xyn2yn1)

⑼ xnyn(xy)(xn1xn2yxn3y2xyn2yn1)（n为偶数） ⑽ xnyn(xy)(xn1xn2yxn3y2xyn2yn1)（n为奇数） ⑾ x3y3z33xyz(xyz)(x2y2z2xyyzxz) ⑿ x4x2y2y4(x2xyy2)(x2xyy2) 5．数列 ⑴ 等差数列

通项公式ana1(n1)d（a1为首项，d为公差） 前n项和S1an)nn(nn(a2na1)12d 特例：

123(n1)nn(n1)2 135(2n3)(2n1)n2

246(2n2)2nn(n1)

⑵ 等比数列

通项公式ana1qn1（a1为首项，q为公比，q1）

前n项和Sa1(1qn)n1qa1anq1q

⑶ 122232n216n(n1)(2n1) 132333n3n2(n1)2⑷4

⑸ 123252(2n1)2n(4n21)3

2

⑹ 133353(2n1)3n2(2n21)

1(n1),⑺ 123(1)n1n2 n为奇数

n2, n为偶数⑻ 122334n(n1)13n(n1)(n2)

6．牛顿二项公式

(ab)nannan1bn(n1)n22n(2!abn1)(n2)n333!ab n(n1)(nk1)nkkn1nnknk!abnabbCkknab

k0二、三角 1．基本关系式

⑴ tansincos ⑵ cotcos11sin ⑶ tancot ⑷ seccos ⑸ csc1sin ⑹ sin2cos21 ⑺ 1tan2sec2 ⑻ 1cot2csc22．诱导公式 角A 函数 A2 A A32 A2 sinA cos sin cos sin cosA sin cos sin cos tanA cot tan cot tan cotA tan cot tan cot 3．和差公式

⑴ sin()sincoscossin ⑵ cos()coscossinsin ⑶ tan()tantan1tantan ⑷ cot()cotcot1cotcot

⑸ sinsin2sin2cos2 ⑹ sinsin2cos2sin2

⑺ coscos2cos2cos2 ⑻ coscos2sin2sin2 ⑼ sincos12sin()sin() ⑽ cossin12sin()sin()

⑾ coscos12cos()cos() ⑿ sinsin12cos()cos

3

4．倍角和半角公式

⑴ sin22sincos ⑵ cos2cos2sin2

⑶ tan22tancot211tan2 ⑷ cot22cot ⑸ sincos212 ⑹ cos1cos22 ⑺ tan1cos21cos ⑻ cot1cos21cos

三、初等几何

在下列公式中，字母R、r表示半径，h表示高，l表示斜高，s表示弧长。1．圆；圆扇形

圆周长2r；圆面积r2 圆扇形：

圆弧长sr（圆心角以弧度计） r180（圆心角以度计） 扇形面积12rs12r2

2．正圆锥；正棱锥

正圆锥：体积13r2h

侧面积rl 全面积r(rl)

正棱锥：体积13底面积高

侧面积12斜高底周长

3．圆台：体积h3(R2r2Rr)；侧面积l(Rr) 4．球：体积43r3；表面积4r2

四、导数和微分 1．基本求导公式 ⑴ (C)0（C为常数）

⑵ (xn)nxn1；一般地，(x)x1。

4

111特别地：(x)1，(x2)2x，(x)x2，(x)2x。

⑶ (ex)ex；一般地，(ax)axlna (a0,a1)。 ⑷ (lnx)1x；一般地，(log1ax)xlna (a0,a1)。 ⑸ (sinx)cosx，(cosx)sinx，(tanx)sec2x，

(cotx)csc2x，(secx)tanxsecx，(cscx)cotxcscx。

⑹ (arcsinx)11x2，(arccosx)11x2，

(arctanx)11x2，(arccotx)11x2， (arcsecx)1xx21，(arccscx)1xx21。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有： （Ⅰ）(f(x)g(x))f(x)g(x)； （Ⅱ）(f(x)g(x))f(x)g(x)f(x)g(x)， 特别(Cf(x))Cf(x)（C为常数）； （Ⅲ）(f(x)f(x)g(xg(x)))f(x)g(x)g2(x), (g(x)0)， 特别(1g(x))g(x)g2(x)。 ⑵ 复合函数求导法则

设函数y = f(u)，u(x)均可导，则yf((x))关于x的导数恰为f(u)及(x)的导数的乘积：dydf((x))dydudxdxdudxf(u)(x)（yxyuux）

。 推广 若yf(u),ug(v),vh(x)，则：

dydxdydududvdvdxf(u)g(v)h(x)（yxyuuvvx）

。 3．微分

5

⑴ 函数yf(x)在点x处的微分：dyydxf(x)dx ⑵ 微分规则

设函数u = u(x)， v = v(x)均可微，C为常数，则有 （Ⅰ）d(Cu)Cdu；d(uv)dudv； （Ⅱ）d(uv)vduudv；

（Ⅲ）d(uvduudvv)v2 (v0)。

若函数yf(u),u(x)均可微，则复合函数yf((x))也可微，且有

dyf(u)duf(u)(x)dx。

五、不定积分

1．常用的不定积分公式

⑴ 0dxC； ⑵ xdx11x1C (1)； ⑶

1xdxln|x|C； ⑷ exdxexC； x⑸ axdxalnaC (a0,a1)； ⑹ cosxdxsinxC； ⑺ sinxdxcosxC； ⑻ sec2xdxtanxC； ⑼ csc2xdxcotxC； ⑽ 11x2dxarcsinxCarccosxC；

⑾

11x2dxarctanxCarccotxC．

2．不定积分的性质和法则

⑴ (f(x)dx)f(x)或df(x)dxf(x)dx ⑵

F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

⑶ (f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dx ⑷ kf(x)dxkf(x)dx（k为常数） ⑸ 凑微分法

设F(u)是f(u)的原函数，u =(x)可导，则F[(x)]是f[(x)](x)的原函数。f(x)dxF(x)C，则f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C

⑹ 换元积分法

设x(t)可导，且(t)0，又f[(t)](t)有原函数F(t)，则

若

6

即f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[1(x)]C

其中t1(x)是x(t)的反函数。 ⑺ 分部积分法

u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx 或简写成udvuvvdu

六、定积分

1．定积分性质和运算 ⑴

bbba[k1f(x)k2g(x)]dxk1af(x)dxk2ag(x)dx

其中k1,k2为任意常数。 ⑵

baf(x)dxcf(x)dxbacf(x)dx

⑶ 若f(x)g(x),x[a,b]，则bf(x)dxbaag(x)dx

⑷ 若mf(x)M,x[a,b]，则m(ba)baf(x)dxM(ba)

⑸ 定积分中值定理

设f(x)在区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点，使

baf(x)dxf()(ba)

由上式，得f()1bbaaf(x)dx，此值称为函数f(x)在区间[a，b]上的平均值。2．牛顿－莱布尼兹公式

若函数f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，即F(x)f(x)，则baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

3．积分法

⑴ 换元积分法

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，作变换x(t)，如果 ① (t)在区间[,]上连续；

② 当t从变到时，(t)从()a单调地变到()b，则有

baf(x)dxf[(t)](t)dt

⑵ 分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数u(x),v(x)，则

7

bau(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

abb 8