2020年浙江省温州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）数1，0，﹣，﹣2中最大的是（ ） A．1

B．0

C．﹣

D．﹣2

2．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ） A．17×105

B．1.7×106

C．0.17×107

D．1.7×107

3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5．（4分）如图，在△ABC中，△A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作△BCDE，则△E的度数为（ ）

A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：

株数（株） 花径（cm）

7 6.5

9 6.6

12 6.7

2 6.8

这批“金心大红”花径的众数为（ ） A．6.5cm

1

B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm

7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在△O上，过点B作△O的切线交OA的延长线于点D．若△O的半径为1，则BD的长为（ ）

A．1

B．2

C．

D．

8．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）

A．（1.5+150tanα）米 C．（1.5+150sinα）米

B．（1.5+D．（1.5+

）米 ）米

9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ） A．y3＜y2＜y1

B．y3＜y1＜y2

C．y2＜y3＜y1

D．y1＜y3＜y2

10．（4分）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR△FG于点R，再过点C作PQ△CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）

A．14

B．15

C．8

D．6

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：m2﹣25＝ ．

2

12．（5分）不等式组的解为 ．

13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．

14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有 头．

15．（5分）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的 值为 ．

16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE△l，BF△l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现△1＝△2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，△ANE＝45°，则场地的边AB为 米，BC为 米．

3

三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10分）（1）计算：

（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．

18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，△B＝△DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB△DE．

（1）求证：△ABC△△DCE．

（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

﹣|﹣2|+（

）0﹣（﹣1）．

19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．

（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．

（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．

4

20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．

（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝

MN．

21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）． （1）求a，b的值．

（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．

22．（10分）如图，C，D为△O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是＝△G．

（1）求证：△1＝△2．

（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan△1＝，求△O的半

上一点，△ADC

5

径．

23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？

（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． △用含a的代数式表示b．

△已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

24．（14分）如图，在四边形ABCD中，△A＝△C＝90°，DE，BF分别平分△ADC，△ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝为BF中点时，y＝

．

x+12，当Q

（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由． （2）求DE，BF的长． （3）若AD＝6．

△当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．

△连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

6

2020年浙江省温州市中考数学试卷

参

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）数1，0，﹣，﹣2中最大的是（ ） A．1

B．0

C．﹣

D．﹣2

【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案． 【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜1， 所以最大的是1． 故选：A．

2．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ） A．17×105

B．1.7×106

C．0.17×107

D．1.7×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：1700000＝1.7×106， 故选：B．

3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）

7

A． B． C． D．

【分析】根据主视图的意义和画法进行判断即可．

【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A所表示的图形符合题意， 故选：A．

4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据概率公式求解．

【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率＝． 故选：C．

5．（4分）如图，在△ABC中，△A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作△BCDE，则△E的度数为（ ）

A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

【分析】根据等腰三角形的性质可求△C，再根据平行四边形的性质可求△E． 【解答】解：△在△ABC中，△A＝40°，AB＝AC， △△C＝（180°﹣40°）÷2＝70°， △四边形BCDE是平行四边形， △△E＝70°． 故选：D．

6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：

株数（株） 花径（cm）

7 6.5

9 6.6

12 6.7

2 6.8

这批“金心大红”花径的众数为（ ） A．6.5cm

B．6.6cm

C．6.7cm

8

D．6.8cm

【分析】根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，本题得以解决． 【解答】解：由表格中的数据可得， 这批“金心大红”花径的众数为6.7， 故选：C．

7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在△O上，过点B作△O的切线交OA的延长线于点D．若△O的半径为1，则BD的长为（ ）

A．1

B．2

C．

D．

【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得△AOB＝60°，根据切线的性质得到△DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接OB， △四边形OABC是菱形， △OA＝AB， △OA＝OB， △OA＝AB＝OB， △△AOB＝60°， △BD是△O的切线， △△DBO＝90°， △OB＝1， △BD＝

OB＝

，

故选：D．

8．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）

9

A．（1.5+150tanα）米 C．（1.5+150sinα）米

B．（1.5+D．（1.5+

）米 ）米

【分析】过点A作AE△BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．

【解答】解：过点A作AE△BC，E为垂足，如图所示： 则四边形ADCE为矩形，AE＝150， △CE＝AD＝1.5， 在△ABE中，△tanα＝△BE＝150tanα，

△BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m）， 故选：A．

＝

，

9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ） A．y3＜y2＜y1

B．y3＜y1＜y2

C．y2＜y3＜y1

D．y1＜y3＜y2

【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣△a＝﹣3＜0，

△x＝﹣2时，函数值最大，

又△﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小， △y3＜y1＜y2． 故选：B．

10

＝﹣2，

10．（4分）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR△FG于点R，再过点C作PQ△CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）

A．14

B．15

C．8

D．6

＝

＝

＝，由PQ＝

【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP△△HCQ，推出

15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．

△四边形ACDE，四边形BCJHD都是正方形， △△ACE＝△BCH＝45°， △△ACB＝90°，△BCI＝90°，

△△ACE+△ACB+△BCH＝180°，△ACB+△BCI＝90° △B，C，H共线，A，C，I共线， △DE△AI△BH， △△CEP＝△CHQ， △△ECP＝△QCH， △△ECP△△HCQ， △

＝

＝

＝，

△PQ＝15， △PC＝5，CQ＝10，

11

△EC：CH＝1：2，

△AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a， △PQ△CRCR△AB， △CQ△AB，

△AC△BQ，CQ△AB，

△四边形ABQC是平行四边形， △AB＝CQ＝10， △AC2+BC2＝AB2， △5a2＝100， △a＝2△AC＝2

（负根已经舍弃）， ，BC＝4

，

△•AC•BC＝•AB•CJ， △CJ＝

＝4，

△JR＝AF＝AB＝10， △CR＝CJ+JR＝14， 故选：A．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：m2﹣25＝ （m+5）（m﹣5） ． 【分析】直接利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式＝（m﹣5）（m+5）， 故答案为：（m﹣5）（m+5）．

12．（5分）不等式组的解为 ﹣2≤x＜3 ．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．

【解答】解：解△得x＜3； 解△得x≥﹣2．

，

故不等式组的解集为﹣2≤x＜3． 故答案为：﹣2≤x＜3．

12

13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 【分析】根据弧长公式l＝

，代入相应数值进行计算即可．

＝π，

π ．

【解答】解：根据弧长公式：l＝故答案为：π．

14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有 140 头．

【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg及以上的生猪数，本题得以解决． 【解答】解：由直方图可得，

质量在77.5kg及以上的生猪：90+30+20＝140（头）， 故答案为：140．

15．（5分）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的 值为

．

【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（

，3a），Q（

，2a），R（，a），推出CP＝

，DQ＝

，

ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2

13

即可．

【解答】解：△CD＝DE＝OE， △可以假设CD＝DE＝OE＝a， 则P（△CP＝

，3a），Q（，DQ＝

，2a），R（，a），

，ER＝，

△OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA， △S1＝S3＝2S2， △S1+S3＝27， △S3＝故答案为

，S1＝．

，S2＝

，

16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE△l，BF△l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现△1＝△2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，△ANE＝45°，则场地的边AB为 1520 米．

米，BC为

【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝15

（米）；过C作CH△l于H，过B作PQ△l交AE于P，交

CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：△AE△l，BF△l， △△ANE＝45°，

△△ANE和△BNF是等腰直角三角形， △AE＝EN，BF＝FN，

14

△EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，

△AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米）， △AN＝25

，BN＝10

， （米）；

△AB＝AN﹣BN＝15

过C作CH△l于H，过B作PQ△l交AE于P，交CH于Q， △AE△CH，

△四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形， △PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH， △△1＝△2，△AEF＝△CHM＝90°， △△AEF△△CHM， △

＝

＝

＝，

△设MH＝3x，CH＝5x， △CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2， △△APB＝△ABC＝△CQB＝90°， △△ABP+△PAB＝△ABP+△CBQ＝90°， △△PAB＝△CBQ， △△APB△△BQC， △△

， ＝

，

△x＝6， △BQ＝CQ＝20， △BC＝20

，

，20

．

故答案为：15

三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10分）（1）计算：

﹣|﹣2|+（

）0﹣（﹣1）．

15

（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．

【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1+1 ＝2；

（2）（x﹣1）2﹣x（x+7） ＝x2﹣2x+1﹣x2﹣7x ＝﹣9x+1．

18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，△B＝△DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB△DE．

（1）求证：△ABC△△DCE．

（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABC△△DCE；

（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解． 【解答】证明：（1）△AB△DE， △△BAC＝△D，

又△△B＝△DCE＝90°，AC＝DE， △△ABC△△DCE（AAS）； （2）△△ABC△△DCE， △CE＝BC＝5， △△ACE＝90°， △AE＝

＝

＝13．

19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．

（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．

（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．

16

【分析】（1）由要评价两家酒店月盈利的平均水平，即可得选择两家酒店月盈利的平均值，然后利用求平均数的方法求解即可求得答案；

（2）平均数，盈利的方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好． 【解答】解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值； ＝＝

＝2.5， ＝2.3；

（2）平均数，方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．

理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是A酒店比较大，故A酒店的经营状况较好． 20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．

（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝

MN．

【分析】（1）根据题意画出线段即可； （2）根据题意画出线段即可．

【解答】解：（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求； （2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．

17

21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）． （1）求a，b的值．

（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值． 【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论； （2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论． 【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，解得：

；

，

（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1， 把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6， △y2＝12﹣y1＝6， △y1＝y2， △对称轴为x＝2， △m＝4﹣5＝﹣1．

22．（10分）如图，C，D为△O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是＝△G．

（1）求证：△1＝△2．

（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan△1＝，求△O的半径．

上一点，△ADC

18

【分析】（1）根据圆周角定理和AB为△O的直径，即可证明△1＝△2；

（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出△O的半径． 【解答】解：（1）△△ADC＝△G， △

＝

，

△AB为△O的直径， △

＝

，

△△1＝△2；

（2）如图，连接DF，

△

＝

，AB是△O的直径，

△AB△CD，CE＝DE， △FD＝FC＝10，

△点C，F关于DG对称， △DC＝DF＝10， △DE＝5， △tan△1＝， △EB＝DE•tan△1＝2， △△1＝△2， △tan△2＝， △AE＝

＝

，

19

△AB＝AE+EB＝△△O的半径为

， ．

23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？

（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． △用含a的代数式表示b．

△已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

【分析】（1）根据4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T恤衫多少件；

（2）△根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于a、b的方程，然后化简，即可用含a的代数式表示b； △根据题意，可以得到利润与a的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值． 【解答】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，

，

解得，x＝150，

经检验，x＝150是原分式方程的解， 则2x＝300，

答：4月份进了这批T恤衫300件；

（2）△每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），

（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b） 化简，得 b＝

；

△设乙店的利润为w元，

w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）＝54a+36b﹣600＝54a+36×600＝36a+2100，

△乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， △a≤b，

20

﹣

即a≤，

解得，a≤50，

△当a＝50时，w取得最大值，此时w＝3900， 答：乙店利润的最大值是3900元．

24．（14分）如图，在四边形ABCD中，△A＝△C＝90°，DE，BF分别平分△ADC，△ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝为BF中点时，y＝

．

x+12，当Q

（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由． （2）求DE，BF的长． （3）若AD＝6．

△当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．

△连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

【分析】（1）推出△AED＝△ABF，即可得出DE△BF； （2）求出DE＝12，MN＝10，把y＝

代入y＝﹣x+12，解得x＝6，即NQ＝6，得出QM＝4，由FQ

＝QB，BM＝2FN，得出FN＝2，BM＝4，即可得出结果；

（3）连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF＝EM，求出△DEA＝△FBE＝△FBC＝30°，△ADE＝△CDE＝△FME＝60°，△MEB＝△FBE＝30°，得出△EHB＝90°，DF＝EM＝BM＝4，MH＝2，EH＝6，由勾股定理得HB＝2

，BE＝4

，当DP＝DF时，求出BQ＝

，即可得出BQ＞BE；

△（△）当PQ经过点D时，y＝0，则x＝10；

（△）当PQ经过点C时，由FQ△DP，得出△CFQ△△CDP，则（△）当PQ经过点A时，由PE△BQ，得出△APE△△AQB，则可得出x＝

，由图可知，PQ不可能过点B．

＝＝

，即可求出x＝，求出AE＝6

； ，AB＝10

，即

21

【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE△BF，理由如下： 如图1所示： △△A＝△C＝90°，

△△ADC+△ABC＝360°﹣（△A+△C）＝180°， △DE、BF分别平分△ADC、△ABC， △△ADE＝△ADC，△ABF＝△ABC， △△ADE+△ABF＝×180°＝90°， △△ADE+△AED＝90°， △△AED＝△ABF， △DE△BF；

（2）令x＝0，得y＝12， △DE＝12， 令y＝0，得x＝10， △MN＝10， 把y＝

代入y＝﹣x+12，

解得：x＝6，即NQ＝6， △QM＝10﹣6＝4， △Q是BF中点， △FQ＝QB， △BM＝2FN， △FN+6＝4+2FN， 解得：FN＝2， △BM＝4，

△BF＝FN+MN+MB＝16；

（3）△连接EM并延长交BC于点H，如图2所示： △FM＝2+10＝12＝DE，DE△BF， △四边形DFME是平行四边形， △DF＝EM，

△AD＝6，DE＝12，△A＝90°， △△DEA＝30°，

△△DEA＝△FBE＝△FBC＝30°， △△ADE＝60°，

22

△△ADE＝△CDE＝△FME＝60°， △△DFM＝△DEM＝120°， △△MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， △△MEB＝△FBE＝30°，

△△EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4， △MH＝BM＝2， △EH＝4+2＝6， 由勾股定理得：HB＝△BE＝

＝

＝＝4

＝2，

，

当DP＝DF时，﹣x+12＝4， 解得：x＝

，

＝

，

△BQ＝14﹣x＝14﹣△

＞4

，

△BQ＞BE；

△（△）当PQ经过点D时，如图3所示： y＝0， 则x＝10；

（△）当PQ经过点C时，如图4所示： △BF＝16，△FCB＝90°，△CBF＝30°， △CF＝BF＝8， △CD＝8+4＝12， △FQ△DP， △△CFQ△△CDP， △△

＝

， ＝

，

解得：x＝；

（△）当PQ经过点A时，如图5所示：

23

△PE△BQ， △△APE△△AQB， △

＝

，

＝

，

＝6

，

由勾股定理得：AE＝△AB＝6

+4

＝10

△解得：x＝

，

＝，

由图可知，PQ不可能过点B； 综上所述，当x＝10或x＝

或x＝

时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．

24

25