函数连续性例题习题(一)

函数的连续性的例题与习题

函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？

一．函数的连续

例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）

设f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)在x0连续。证明：f(x)在任意点x处连续。

分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么

在本题里，要证的是“f(x)在任意点x处连续”，那么我们就先固定一个点x，用函数连续的定义来证明在x处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件f(xy)f(x)f(y)，也就是f(xy)f(x)f(y)，你的脑海里就要想到，如果设yx，那么就有

yf(xx)f(x)f(x)；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：

limf(0x)f(0)f(x)在x0连续！它意味着：x0。

证明的思路就此产生！

证明：因为 f(xy)f(x)f(y)，取y0，则有 f(x)f(x)f(0)，所以f(0)0。 （#）

对于固定的x（任意的！），若取yx，有

yf(xx)f(x)f(x)， （+）

在（+）式两边取x0的极限，那么

x0limylim(f(xx)f(x))limf(x)x0x0 ， （&）

limf(0x)f(0)f(x)x0由已知条件：在连续，所以x0，代入（#）的结果，就有

x0limf(0x)limf(x)f(0)0x0，

但从（&）知，x0limylimf(x)x0，所以

x0limy0。

根据函数连续的定义E，f(x)在任意点x处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。

x2n1(a1)xn1f(x)limna0x2naxn1，求f(x)的分段表达式，例1.2（例1.21（一））设常数，

欲使f(x)连续，试确定a的值。

分析：首先要注意，函数f(x)不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出f(x)的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。

n2n2n1x,x,xf(x) 中出现了几个幂函数 ，根据幂函数的性质，x的大小对幂函数的变化

趋势有根本性的影响，所以要分为|x|1,|x|1,x1,x1进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。

n2n2n1x,x,x|x|1（1）： 都趋于零（当n时），所以

f(x)111。

n2n2n1x,x,x|x|1（2）： 此时都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，

约去相应的部分，来简化函数f(x)：

1(a1)x2n11n12n1xxxf(x)limna1x2n1n2nxx 。

（3）x1：

f(x)a11aaa；

1(a1)(1)n12(a1)(1)nf(x)limlimnnnn1a(1)1a(1)x1（4）： ， 极限不存在。

x,1a,f(x)a1,x,故得

x1x1|x|1x1。

1a11a2。 欲使f(x)连续，即使f(x)在x1连续，等价于a，故

例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设f(x)在xx0处连续，且f(x0)0，那么存在0，当|xx0|时，f(x)0。

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为f(x)在xx0处连续，所以对任给的0，总存在0，使得当|xx0|时，恒有|f(x)f(x0)|，也就是 f(x)f(x0)。（+）

若取 f(x0)0，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 f(x)0；

11f(x0)0f(x)f(x0)22，那么就有 。 （不过，此时的|xx0|中的要

若取



变小）

当然，你也可以取不同的0，当然要变。如果我们只需要证实f(x)的值为正，那么取f(x0)0就已经够了。

1例1.4（例1.23（一）） 设f(x)在区间[a,b]上连续并大于零，证明f(x)在[a,b]也连续。

分析：我们需要证明的是：在[a,b]上任取点x0，对任给的0，存在一个0，使当

|xx0|时，

有

11f(x)f(x0)。

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：

|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|112f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x0)

注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在x0的一个邻域中有

f(x)1f(x0)2！

至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一x0[a,b]，f(x0)0，x0是f(x)的连续点。由局部保号性，存在x0的邻域

N(x0,1)

，使得

f(x)1f(x0)2。所以在这个邻域中，

|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|11f(x)f(x0)f(x)f(x0)f2(x0)；

由f(x)在区间[a,b]上的连续性知，对于任给0，存在20，使得当|xx0|2时，有

f2(x0)|f(x)f(x0)|2 。

我们取min(1,2)，那么在这个更小的邻域中，（即|xx0|）有

|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|11f(x)f(x0)f(x)f(x0)f2(x0)，

11则有函数的连续的定义知， x0是函数f(x)的连续点；又由x0的任意性，得f(x)在区

间[a,b]也连续。

x12x0f(x)e,sin(axb),x0在(,)内连续。 例1.5 确定a,b之值，使函数

解：在x0和x0两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使f(x)在整个实数域中连续，只需确定在x0的连续性条件。

f(x)在x0有定义，所以我们只需考虑它在x0的极限。

x0limf(x)limsin(axb)sinbx0

1x2x0limf(x)limex0limx01111x00ex2limex2；

由此得方程 sinb0， 容易解得： bk,k0,1,2,，

而对参数a，连续性条件对它没有任何，所以a可取任何实数。

x1ex,b,x0g(x)f(x)3ax,x01x,x1，求a,b之值，使f(x)g(x)在实数例1.6 设，

域上连续。

解：两个函数的定义域不同，所以它们之和f(x)g(x)这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需要考虑3个区间：x0,0x1,x1：

exb,x0f(x)g(x)axb,0x131xax,x1。 

现在可以对2个分界点x0,x1处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：

x0lim(f(x)g(x))lim(exb)1bx0，

x0lim(f(x)g(x))lim(axb)abx0，

故有方程 ab1b， （1）

又

x1lim(f(x)g(x))lim(axb)a1bx1，

x1lim(f(x)g(x))lim(1x3ax)2a1x1，

又有方程 a1b21a， （2）

联立（1）（2），解得 a1,b2。

练习题1 设f(x)满足条件：x1,x2，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(x)在x0处连续。求证f(x)在整个实数域连续。

x,x1b,x0f(x)g(x)a,x1，x1,x0，求a,b之值，使f(x)g(x)在实数域上练习题2 设

连续。

二．函数的间断点

这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。

1arctan,x0f(x)xx00,例2.1 考察函数 的间断点，判别其类型。

解： 函数在x0有定义，但是

f(0)arctan()2，

f(0)arctan()2，所以在x0的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。

例2.2 考察函数

11exsin,x0f(x)x0,x0 的间断点，判别其类型。

解：函数在x0有定义，但

xn0f(0)limesinx01x11xn,n1,2,x不存在，这是因为n时，

，

sin1xn不存在；

111uxf(0)limesin0sinlimelime0x0uxxx0又，这是因为在极限过程中是有界量，。

1x所以 x0是函数的第二类间断点。

例2.3 求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。

11cosxyxx111y22x(x1)； （2）x1x。 （1）

解：（1） x0,x1都是使函数y没有定义的点，故是间断点。

x12lim22lim2limx0x(x1)x0xx0(x1)由于 ，所以x0是函数的无穷间断点（第二类）。

cosxcos又

limx12lim22limx1x1(1x)x2(x1)x2(1x)2，

cosxsin(1x)(1x)

是个确定的值，极限存在，所以x1是可移去间断点，加以补充定义：

cosx2,x1yx2(x1)x1,2

后函数在x1连续。

但是要注意的是，x0仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在x0仍然间断。

（2）显然，x1,0,1是使函数没有定义的点，所以是间断点。

11x(x1)(x1)limf(x)limxx1limlimx1x111x1x(x1)x1(x1)x1x，

故 x1是无穷间断点（第二类）。

11x(x1)(x1)limf(x)limxx1limlim1x0x011x0x(x1)x0(x1)x1x，

故 x0 是可去间断点（第一类），补充定义 f(0)1后，函数在x0连续。

x(x1)(x1)lim0x1x(x1)(x1)，

limf(x)limx1x1

可见 x1 也是可去间断点（第一类），补充定义 f(1)0后，函数在x1连续。

例2.4 讨论下列函数的间断点：

y11e11x（1）

3x2,x0ysin3x,x0x； （2）。

1解：（1）x1 使函数无定义（对1x无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。

x1lim11e11x0， （因为

x1lime11x）

x1lim11e11x1， （因为x1lime11xe0）

左，右极限存在，却不相等，故x1是跳跃型间断点（第一类）。

（2）x0处没有定义，故为间断点。

x0limylim(3x2)3x0，

x0limylimx0sin3xsin3xlim33x0x3x，

可见，x0处函数的左，右极限都存在，且相等，故x0是可去间断点（第一类）。

例2.5 根据,的不同数值，讨论f(x)在x0处的连续性，若间断，判别属于何种间断点：

1xsin,x0f(x)xex,x0 。

010,limf(x)limxsinx0x0x不存在，0， （请你讲出理由） 解：



x0limf(x)lim(ex)1x0，

且 f(0)1

所以，当0，且 1时，f(x)在x0的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在x0连续；

当0，且1时，f(x)在x0间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点；

当0时，f(x)在x0左连续，右间断，故x0属于第二类间断点。

x例2.6 （1998年考研题数二）求函数 f(x)(1x)判别其类型。

tan(x)4在区间(0,2)内的间断点，并

解： 当断点；

x43,37tan(x)x,22时，使4成为无穷大，没有定义，故44是f(x)的间

因为

3x4limxtan(x)40limf(x)1， 故

x34；

7x4limxtan(x)40limf(x)1， 故

x34，

所以，在间断点

x37,44，函数f(x)的极限存在，是第一类间断点。

x又因当

x40,xtan(x)tan(x)04没有定义，从而函数f(x)在这些点4时，，使得

,4也是函数f(x)的间断点。

54没有定义，因此

limxxtan(x)4

4limf(x)， 故

x4；

5x4limxtan(x)4limf(x)， 故

54,x54

所以，间断点

x4属于第二类间断点。

xsintsinxsintlimtxsinx例2.7 （2001年考研题数二）求极限

，记此极限为f(x)，求出f(x)的

间断点，并指出其间断点的类型。

分析：本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数f(x)。

sintlimtxsinx解：

xsintsinxsintlim11txsinxxsintsinxsintsinxlim1txsinxxsintsinx

至此，可以看出这是一个1型的极限。这是我们已经很熟悉的问题了，做下去——

sintsinxlim1txsinxxsintsinxsintsinxlim1txsinxsinxxsintsinxsinxexsinxf(x)。

所以下面我们讨论函数 f(x)exsinx的间断点。

显然，使sinx0的点x是使得f(x)没有定义的点，即xk,k0,1,2,断点。

x1x0sinx，

是f(x)的间

因为

limf(x)limx0

xklimf(x)limx,k1,2,xksinx，

所以，x0是第一类间断点，而xk,k1,2,是第二类间断点。

ae2x,x0tanxy1e,x0arcsinx2练习题3 设 在x0处连续，求参数a之值。

练习题4 设

f(x)xlimf(x)0aebx在(,)上连续，且 x，则常数应满足（ ）：

A．a0,b0； B. a0,b0; C. a0,b0; D. a0,b0.

练习题5 （1995年考研题数二） 设f(x)和g(x)在(,)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，

g(x)有间断点，则（ ）：

2[g(x)]g(f(x))A． 必定有间断点； B. 必定有间断点；

B．

g(x)f(g(x))必定有间断点； D. f(x) 必定有间断点。

（请你举出例子来验证你的结论）

1xn1x2n，讨论f(x)的间断点，结论为

练习题6 （1998年考研题数四）设函数（ ）

f(x)limA．不存在间断点； B. 存在间断点x1； C. 存在间断点x0； D. 存在间断点x1