高考物理万有引力定律的应用解题技巧(超强)及练习题(含答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．如图所示,P、Q为某地区水平地面上的两点,在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.

(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),PQx,求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常;

(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.

GVdL2k. (2)V【答案】(1)22/3(dx2)3/2G(k1)【解析】 【详解】

(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,

GMmmΔg① r2式中m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量.M=ρV② 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=d2x2③

Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小｡Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影 Δg′=

dΔg④ r联立①②③④式得Δg′=

GVd⑤

(d2x2)3/2(2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为 (Δg′)max=

GV⑥ 2d(Δg′)min=

GVd⑦

(d2L2)3/2由题设有(Δg′)max=kδ,(Δg′)min=δ⑧

联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

L2kdV. 2/32/3G(k1)k1L

2．地球的质量M=5.98×1024kg，地球半径R=6370km，引力常量G=6.67×10－11N·m2/kg2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s，求： （1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h的表达式 （2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字） 【答案】（1）h【解析】

试题分析：（1）万有引力提供向心力，则

GMR（2）h=8.41×107m 2v

解得：hGMR 2v（2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m 考点：考查了万有引力定律的应用

3．已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的

1倍．地球表面的重力加速度2为g．在这个星球上用细线把小球悬挂在墙壁上的钉子O上，小球绕悬点O在竖直平面内做圆周运动．小球质量为m，绳长为L，悬点距地面高度为H．小球运动至最低点时，绳恰被拉断，小球着地时水平位移为S求：

(1)星球表面的重力加速度？

(2)细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？ (3)细线所能承受的最大拉力？

1s【答案】(1)g星=g0 (2)v044【解析】 【分析】 【详解】

1s22g0]mg0 (3)T[142(HL)LHLMmv2（1）由万有引力等于向心力可知G2m

RRGMmmg 2Rv2可得g

R则g星＝g0

（2）由平抛运动的规律：HL141g星t2 2sv0t

解得v0s42g0 HLv2（3）由牛顿定律，在最低点时：Tmg星＝m

L1s2解得：T1mg0

42(HL)L【点睛】

本题考查了万有引力定律、圆周运动和平抛运动的综合，联系三个问题的物理量是重力加速度g0；知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．

4．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为t.已知该行星半径为R，万有引力常量为G，求：

1该行星的第一宇宙速度； 2该行星的平均密度．

【答案】1【解析】 【分析】

2h3h． R? 2?22t2GtR根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用【详解】

M，从而即可求解． V1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度h1gt2

2解得：g2h t2v2则由mgm

R求得：星球的第一宇宙速度vgR2hR， 2t2hmgm2由GMm22

Rt2hR2有：M

Gt2所以星球的密度【点睛】

本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．

M3h V2Gt2R

5．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F0，及在北极上空高出地面0.1R处称量时弹簧秤的读数F1；

（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F2；

（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

MmFGMmMm42R【答案】（1）F0G2 1m2 2 （2）F2GR0.1RRR2T（3）

【解析】 【详解】

（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：

F0GmM 2R在北极上空高处地面0.1R处弹簧秤的读数为：F1GmM；

(R0.1R)2（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：

GmM42Rm F2R2T2（3）如图所示

6．某行星表面的重力加速度为g，行星的质量为M，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G．不考虑阻力和行星自转的因素，求： （1）行星的半径R；

（2）小石子能上升的最大高度． 【答案】(1)R=【解析】

（1）对行星表面的某物体，有：mg得：R=v02GM （2）h

2ggGMm- R2GM g（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：

0v022gh

2v0得：h

2g

7．我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013年12月2日凌晨1点30分在四川省西昌卫星发射中心发射，2013年12月6日傍晚17点53分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r，周期为T，月球半径为R．

(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小 (2)月球表面的重力加速度 (3)月球的第一宇宙速度多大．

232r42r34r【答案】(1) ；(2) 22； (3) 2TTRTR【解析】 【详解】

(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：

vr(2)由重力等于万有引力：

2r TGMmmg R2对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：

GMmm42r 22rT联立可得：

42r3g22

TR (3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：

GMmmv2 mg2RR可得月球的第一宇宙速度：

42r3 vgR2TR

8．我国在2008年10月24日发射了“嫦娥一号”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关注．

(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量

M月

2222vrgRT0【答案】(1)3；(2)． 2Gt4【解析】 【详解】

(1)设地球的质量为M，月球的质量为M月，地球表面的物体质量为m，月球绕地球运动的轨道半径R，根据万有引力定律提供向心力可得：

GMM月22M()R 月2RTmgGMm R2解得：

R3gR2T2 24gt 2(2)设月球表面处的重力加速度为g，根据题意得：

v0m0g解得：

GM月m0 2r2v0r2 M月Gt

9．2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射．标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平．飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求： (1)地球的质量；

(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期T．

(Rh)3gR2(2)T2【答案】(1)M 2gRG【解析】 【详解】

(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有GMmmg R2gR2解得：M

G(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rRh

Mm4π2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：G2m2r

rT(Rh)3解得：T2π 2gR

10．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求两颗星的质量之和．

42r3【答案】

GT2【解析】 【详解】

对双星系统，角速度相同，则：GMm22Mrmr2 12r2222解得：Gmrr1； GMrr2；

其中2，r=r1+r2； T42r3三式联立解得：Mm 2GT