分式难题类型及解题方法

一.分式的意义及分式的值

2xa例题1、当x=3时，分式的值为0，而当x=2时，分式无意义，则求ab的值时多

5x3b少？

例题2、不论x取何值，分式

1总有意义，求m的取值范围。 2x2xm二.有条件的分式的化简求值

(一)、着眼全局，整体代入

3a212ab12b2例3、已知a2b2006，求的值.

2a4b

例4、已知

112x3xy2y3，求的值. xyx2xyy

二、巧妙变形，构造代入

(x2)3(x1)21例5、已知x5x20010，求的值.

x22

例6. 已知a，b，c不等于0，且abc0， 求a()b(1b1c1111)c()的值. acab

三、参数辅助，多元归一 例7 、已知 .

xyzxyyzzx，求2的值。 22234xyz四、打破常规，倒数代入

1x2例8、已知x4，求4的值.

xxx21

例9. 已知

abcab1bc1ac1,,,求的值.

abacbcab3bc4ac5

(五)活用(完全平方)公式,进行配方.

x24y2x例10.设实数x,y满足xy8x6y250，求2的值。 x4xy4y2x2y22

(六)大胆消元,解后代入

例11.已知a＋b－c=0，2a－b+2c=0(c≠0),求

3a2b5c的值.

5a3b2c三. 无条件的分式的求值计算

例10.计算:

例题11、计算

1111＋＋＋…＋。

a(a1)(a1)(a2)(a2)(a3)(a2005)(a2006)222

(x1)(x3)(x3)(x5)(x2007)(x2009)

四.分式方程的无解及增根

(1)给出带参数的分式方程求增根

例12.关于x的方程

26x32有增根．则增根是( ) x2x4x2A 2 B.-2 C.2或-2 D. 没有

(2)已知分式方程的增根求参数的值

例13. 分式方程

xmx有增根x1，则m的值为多少？ x1x1x1

(3)已知分式的的有增根求参数值 例14. 已知分式方程

3ax32有增根，求a的值。 xx1

(4)已知分式方程无解求参数的值 例 15（2007湖北荆门）若方程

x3m=无解，则m=——————． x22xx3m解：原方程可化为=－．

x2x2方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．

2ax3例16.当a为何值时，关于x的方程①无解？ x2x24x2此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ②

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．

综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．

结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．

(5)已知分式方程解的情况求参数的范围

例17.已知关于x的方程

五.阅读理解型问题 例18.阅读下列材料 方程方程

xm2有负数解，求m的取值范围。 x33x11111111

－=－的解为x=1, 方程－=－的解为x=2,

xx1xx2x3x1x3x41111－=－的解为x=3,… x1x2x4x5(1) 请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并求出这个方程的解.

(2) 根据(1)中所求得的结论,写出一个解为－5的分式方程.

例19.阅读下列材料:

111=c＋的解是x1=c，x2=;

ccx11111x－= c－，即x＋=c+的解是x1=c，x2=－；

ccxxc222x＋=c＋的解是x1=c，x2=；

xcc333x＋=c＋的解是x1=c，x2=.

ccxmm(1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x＋=c＋(m≠0)与它的关系,猜想

xc关于x的分式方程x＋

它的解是什么,并利用方程解的概念进行验证.

(2) 由上述的观察,比较,猜想,验证可以的出结论;

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数.

那请你利用这个结论解关于x的方程:x＋

22=a+ x1a1

练一练: 1.已知 2.已知

112x3xy2y的值. 5,求

xyx2xyy11xy2xy的值 2,求分式xy3x3y3x3y2b22b)(1)的值 3. 若ab3ab,求分式(122abab22

4. 若ab1,求

11的值

1a21b211x3x22x15.已知x2,试求代数式的值

xx1x21x24x3ab3a2b2,求分式6.已知的值 ab2ab.7.已知

y3yxx=，求＋－的值. x4xyxyxyxx22,求分式48. 若2的值. 2x3x1xx111xx21)(2x)的值. 9.已知2,求(1x1xx1x212 10. 若

xyz，求x+y+z的值 abbccaabc1。

aba1bcb1acc111. 已知abc=1，求证：

关于x的方程

xm-2=有一个正数解，求m的取值范围。 x3x3x21121yfx1x22；18、如果记 ，并且f1表示当x=1时y的值，即f(1)=112f(2)

1()2121111151()22表示当x=2时y的值，即f(2)=；…那么f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+…

1+f(n)+f(n)= （结果用含n的代数式表示）。