椭圆典型例题

椭圆典型例题

一、椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。

解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.

y2x2

所以椭圆的标准方程是4＋3＝1.

2．椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．

x2y2

2

解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为25＋24＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例：1. 椭圆的一个顶点为A2，0为长轴端点时，a2，b1， 解：〔1〕当A2，x2y21； 椭圆的标准方程为：410为短轴端点时，b2，a4， 〔2〕当A2，x2y21； 椭圆的标准方程为：

416

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

x2y2

例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有一样焦点的椭圆的标准方程．

94x2y292

解：因为c＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为a2＋2＝1.由点(－3,2)在椭圆上知a2＋

a－5

4x2y2

2

＝1，所以a＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

1510a2－5

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，

OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22解：由题意，设椭圆方程为2y1，

axy102221ax2ax0， 由x2，得22y1ax1x21a212，yM1xM∴xM， 22a1a. . 文档.

- - -.

kOMyM112，∴a24， xM4ax2y21为所求． ∴4

五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a21132∴3c2a2，∴e解：2c． c333x2y211的离心率e，求k的值． 例 椭圆

k2解：当椭圆的焦点在x轴上时，ak8，b9，得ck1．由e2221，得k4． 2当椭圆的焦点在y轴上时，a9，bk8，得c1k．

22211k15，得，即k． 29445∴满足条件的k4或k．

4由e

六、由椭圆的三角形周长、面积有关的问题

例：1.假设△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。

解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，

x2y2

故顶点C的轨迹方程为25＋9＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以

x2y2x2y2

y≠0.所以顶点C的轨迹方程为25＋9＝1(y≠0)答案：25＋9＝1(y≠0)

x2y2

2．椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．

因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.

x2y2

3．设F1、F2是椭圆9＋4＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2

的面积．

解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面

. . 文档.

11

积为2PF1·PF2＝2×2×4＝4.

- - -.

七、直线与椭圆的位置问题

x211y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程． 例 椭圆222分析一：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．

11解法一：设所求直线的斜率为k，那么直线方程为ykx．代入椭圆方程，并整理

22得

132kxk2k0．

222k22k由韦达定理得x1x2． 212k1∵P是弦中点，∴x1x21．故得k．

2所以所求直线方程为2x4y30．

11解法二：设过P，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，那么由题意得

2212kx2k222x122y，①1122x22② y21，2③x1x21，④y1y21.2x12x22y12y20．⑤ ①－②得

2yy211，即直线的斜率为． 将③、④代入⑤得1x1x222所求直线方程为2x4y30．

八、椭圆中的最值问题

x2y21的右焦点为F，过点A1，3，点M在椭圆上，当AM2MF为最小例 椭圆

1612值时，求点M的坐标．

1解：由：a4，c2．所以e，右准线l：x8．

2. . 文档.

- - -.

过A作AQl，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ2MF．显然AM2MF的最小值为

AQ，即M为所求点，因此yM3，且M在椭圆上．故xM23．所以M23，3．



双曲线典型例题

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

x2y21表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论

25k9k分析：由于k9，k25，那么k的取值围为k9，9k25，k25，分别进展讨论．

22解：〔1〕当k9时，25k0，9k0，所给方程表示椭圆，此时a25k，b9k，c2a2b216，这些椭圆有共同的焦点〔－4，0〕，〔4，0〕．

2〔2〕当9k25时，25k0，9k0，所给方程表示双曲线，此时，a25k，b29k，c2a2b216，这些双曲线也有共同的焦点〔－4，0〕，〕〔4，0〕．

〔3〕k25，k9，k25时，所给方程没有轨迹．

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其

图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

二、根据条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程．

1516，5且焦点在坐标轴上．

43〔2〕c6，经过点〔－5，2〕，焦点在x轴上．

〔1〕过点P3，，Qx2y22 1有一样焦点，且经过点32，〔3〕与双曲线

1x2y21 解：〔1〕设双曲线方程为

mn∵P、Q两点在双曲线上， 92251m16m16n∴解得

n92562519mnx2y21 ∴所求双曲线方程为169说明：采取以上“巧设〞可以防止分两种情况讨论，得“巧求〞的目的． 〔2〕∵焦点在x轴上，c6，

. . 文档.

- - -.

y21〔其中06〕 ∴设所求双曲线方程为：

6254∵双曲线经过点〔－5，2〕，∴1

6∴5或30〔舍去〕

x2y21 ∴所求双曲线方程是5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

x2x2y21016 〔3〕设所求双曲线方程为：

1641842，∴∵双曲线过点32，1

164∴4或14〔舍〕

x2y21 ∴所求双曲线方程为

128x2y2x2y21有公共焦点的双曲线系方程为1后，说明：〔1〕注意到了与双曲线

1164便有了以上巧妙的设法．

〔2〕寻找一种简捷的方法，须有结实的根底和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

三、求与双曲线有关的角度问题。

x2y21的右焦点分别为F1、F2，例3 双曲线点P在双曲线上的左支上且PF1PF232，916求F1PF2的大小．

分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P在双曲线的左支上 ∴PF1PF26

∴PF1PF22PF1PF236 ∴PF1PF2∵F1F222222100

4c24a2b12100

∴F1PF290

说明：〔1〕巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．

〔2〕题目的“点P在双曲线的左支上〞这个条件非常关键，应引起我们的重视，假设将这一条件改为“点P在双曲线上〞结论如何改变呢？请读者试探索．

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

x2y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290，求例4 F1、F2是双曲线4. . 文档.

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F1PF2的面积．

分析：利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积．

x2y21上的一个点且F1、F2为焦点． 解：∵P为双曲线4∴PF1PF22a4,F1F22c25

∵F1PF290

∴在RtPF1F2中，PF1PF2∵PF1PF222F1F220

22PF1PF22PF1PF216

22∴202PF1PF216 ∴PF1PF22 ∴SF1PF21PF1PF21 2说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．

五、根据双曲线的定义求其标准方程。

0、F25，0，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 例5 两点F15，分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．

解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵c5，a3

∴bca53416

222222x2y21为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． ∴所求方程

916x2y21上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF例P是双曲线求PF2的值． 117，36分析：利用双曲线的定义求解．

x2y21中，a8，b6，故c10． 解：在双曲线

36由P是双曲线上一点，得PF1PF216．

∴PF21或PF233．

又PF2ca2，得PF233．

说明：此题容易无视PF2ca这一条件，而得出错误的结论PF21或PF233．

说明：〔1〕假设清楚了轨迹类型，那么用定义直接求出其轨迹方程可防止用坐标法所带来的繁琐运算．

〔2〕如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解． 六、求与圆有关的双曲线方程。

. . 文档.

例6求以下动圆圆心M的轨迹方程：

2- - -.

x2y22切，且过点A2，0 〔1〕与⊙C：x3y9外切，且与⊙C2：x3y1切． 〔3〕与⊙C1：分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆

222222〔2〕与⊙C1：xy11和⊙C2：xy14都外切．

22心距离．如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1r2，那么当它们外切时，O1O2r1r2；当它们切时，O1O2r1r2．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．

解：设动圆M的半径为r

〔1〕∵⊙C1与⊙M切，点A在⊙C外 ∴MCr2，MAr，MAMC2

∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：

27222，c2，bca 222y221x2 ∴双曲线方程为2x7〔2〕∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切 a∴MC1r1，MC2r2，

MC2MC11

∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：

a13222，c1，bca 24∴所求的双曲线的方程为：

4x234y1y

34〔3〕∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2切

2∴MC1r3，MC2r1，MC1MC24 ∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：

a2，c3，b2c2a25

∴所求双曲线方程为：

x2y21x2 45说明：〔1〕“定义法〞求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． 〔2〕巧妙地应用“定义法〞可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．

〔3〕通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．

. . 文档.

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抛物线典型例题

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．

〔1〕x4y 〔2〕xay(a0) 分析：〔1〕先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．

〔2〕先把方程化为标准方程形式，再对a进展讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．

解：〔1〕p2，∴焦点坐标是〔0，1〕，准线方程是：y1

22〔2〕原抛物线方程为：y①当a0时，

211x，2p

aap1，抛物线开口向右， 24a11∴焦点坐标是(． ,0)，准线方程是：x4a4ap1②当a0时，，抛物线开口向左，

24a11∴焦点坐标是(． ,0)，准线方程是：x4a4a综合上述，当a0时，抛物线xay的焦点坐标为(211． ,0)，准线方程是：x4a4a

二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 假设直线ykx2与抛物线y8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法〞求k．

2解法一：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么由：ykx22y8x∵直线与抛物线相交，k0且0，那么k1．

xx24k82， ∵AB中点横坐标为：122k解得：k2或k1〔舍去〕． 故所求直线方程为：y2x2．

可得：kx(4k8)x40．

22解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么有y18x12y28x2．

2. . 文档.

- - -.

y1y28．

x1x2y1y2x1x24y1y2kx12kx22k(x1x2)44k4，

8故k2或k1〔舍去〕． k4k4那么所求直线方程为：y2x2．

两式作差解：(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，即

三、求直线中的参数问题

例3〔1〕设抛物线y4x被直线y2xk截得的弦长为35，求k值．

〔2〕以〔1〕中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．

分析：〔1〕题可利用弦长公式求k，〔2〕题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．

2y24x22解：〔1〕由得：4x(4k4)xk0

y2xkk2设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点．那么有：x1x21k,x1x2

4AB(122)(x1x2)25(x1x2)24x1x25(1k)2k25(12k)AB35,5(12k)35，即k4

〔2〕S9，底边长为35，∴三角形高h∵点P在x轴上，∴设P点坐标是(x0,0) 那么点P到直线y2x4的距离就等于h，即

2965 53565 52x0042212x01或x05，即所求P点坐标是〔－1，0〕或〔5，0〕．

四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线yx上移动，求AB的中点到y轴的距离

2的最小值，并求出此时AB中点的坐标．

分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可．

解：如图，设F是yx的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线

2的垂线为MN，C、D和N是垂足，那么

. . 文档.

- - -.

1113MN(ACBD)(AFBF)AB．

22221315设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MNx，那么x．

4244等式成立的条件是AB过点F．

512当x时，y1y2P，故

44122(y1y2)2y1y22y1y22x2，

22y1y22，y．

2525)，此时M到y轴的距离的最小值为． 所以M(,424说明：此题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．

例 点M(3,2)，F为抛物线y2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PMPF取最

2

小值时，点P的坐标为__________．

分析：此题假设建立目标函数来求PMPF的最小值是困难的，假设巧妙地利用抛物线定义，结合图形那么问题不难解决． 解：如图，

由定义知PFPE，故PMPFPFPMMEMN3．

取等号时，M、P、E三点共线，∴P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，

. . 文档.

12- - -.

P点坐标为(2,2)．

. . 文档.

所以