北京市中考数学试卷含答案

2008年北京市中考数学试卷

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．6的绝对值等于（ ）A．6

B．

1 6

1C．

6D．6

【解析】 A

2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）

A．0.216105 B．21.6103 C．2.16103 D．2.16104 【解析】 D

3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【解析】 C

4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50 【解析】 C

5．若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】 B

6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）

1A．

5 B．

2 5 C．

1 2

3D．

5【解析】 B

7．若x2y30，则xy的值为（ ）A．8

B．6

C．5

D．6

【解析】 B

8．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） O

O O O O

P P P P P M M M M M D． B． A． C． 【解析】 D

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数y1中，自变量x的取值范围是 ． 2x1

【解析】 x1 210．分解因式：a3ab2 ．

11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE2cm，则BC cm． 【解析】 4

B b2b5b8b1112．一组按规律排列的式子：，3，3，4，…（ab0），其中第7个式子是 ，

aaaa第n个式子是 （n为正整数）．

3n1b20nb【解析】 7、(1)ana

三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

A D

E C

1计算：82sin45(2)．

3o011【解析】 82sin45o(2π)0

312222········································································· 4分 13 ·

222． ························································································ 5分

14．（本小题满分5分）

解不等式5x12≤2(4x3)，并把它的解集在数轴上表示出来．

0 1 2 3 【解析】 去括号，得5x12≤8x6． 1分

移项，得5x8x≤612． ································································· 2分 合并，得3x≤6． ············································································ 3分 系数化为1，得x≥2． ····································································· 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：

0 1 2 3

······································································································ 5分

15．（本小题满分5分） A 已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，ABCE，

C

B BCED．求证：ACCD．

【解析】 QAB∥ED，

··················································································· 2分 BE． ·D

E

在△ABC和△CED中， ABCE， BE，BCED，·········································································· 4分 △ABC≌△CED． ···················································································· 5分 ACCD． ·

16．（本小题满分5分）

如图，已知直线ykx3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【解析】 由图象可知，点M(21)，在直线ykx3上，1分

M 2k31．

解得k2． ···················································································· 2分 直线的解析式为y2x3．····························································· 3分 3令y0，可得x．

23直线与x轴的交点坐标为，···················································· 4分 0． ·

2令x0，可得y3．

直线与y轴的交点坐标为(0，····················································· 5分 3)． ·

y 1 O 1 x

17．（本小题满分5分）

2xy已知x3y0，求2g(xy)的值． 2x2xyy2xy【解析】 2g(xy)

x2xyy22xy·············································································· 2分 g(xy) ·

(xy)22xy． ······················································································· 3分 xy当x3y0时，x3y． ···································································· 4分

原式6yy7y7···································································· 5分 ． ·

3yy2y2

四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABAC，B45o，AD2，B BC42，求DC的长．

A D

C

【解析】 解法一：

如图1，分别过点A，D作AEBC于点E，

···························· 1分 DFBC于点F．

AE∥DF． 又AD∥BC，

四边形AEFD是矩形．

··························· 2分 EFAD2． ·

B

QABAC，B45，BC42，

oA D

E F

图1

C

ABAC． AEEC1BC22． 2DFAE22，

··········································································· 4分 CFECEF2 ·在Rt△DFC中，DFC90o，

········································ 5分 DCDF2CF2(22)2(2)210．

解法二：

如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F． ························ 1分 QABAC，

A D AEDBAC90o．

QAD∥BC，

E

DAE180oBBAC45o．

B C F 在Rt△ABC中，BAC90o，B45o，BC42，

图2

2························································· 2分 ACBCgsin45o424 ·

2在Rt△ADE中，AED90o，DAE45o，AD2，

DEAE1．

········································································ 4分 CEACAE3． ·

在Rt△DEC中，CED90o，

DCDE2CE2123210． ··················································· 5分

19．（本小题满分5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，点O在AB上，以O为圆心，C90o，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且CBDA．

C （1）判断直线BD与eO的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的长． D

【解析】 ⑴ 直线BD与eO相切． 1分

A B E O 证明：如图1，连结OD．

C QOAOD， AADO． DQC90， CBDCDB90． 又QCBDA， ADOCDB90．

ooo A O E 图1 B

ODB90．

直线BD与eO相切． ································································· 2分 ⑵ 解法一：如图1，连结DE．

oQAE是eO的直径， ADE90o． QAD:AO8:5，

AD4cosA．3分

AE5QC90o，CBDA，

BC4································································ 4分 cosCBD． ·

BD5QBC2， BD5． ························································ 5分 21AD． 2解法二：如图2，过点O作OHAD于点H． AHDHQAD:AO8:5，

AH4····· 3分 cosA． ·

AO5C D H A

O 图2 B

QC90o，CBDA，

BC4··················· 4分 cosCBD． ·

BD5QBC2， BD5．·················································································· 5分 2

五、解答题（本题满分6分）

20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分： “限塑令”实施后，使用各种 “限塑令”实施前，平均一次购物使购物袋的人数分布统计图

购物袋的人数统计图 用不同数量塑料 ．．其它

人数／位 5% 收费塑料购物袋

_______％ 40 37 35 30 押金式环保袋26 25 24%

20 15 11 9 10 4 3 5 自备袋

0 1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个 46%

图2 图1

“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表

处理方式 选该项的人数占 总人数的百分比 直接丢弃 5% 直接做垃圾袋 35% 再次购物使用 49% 其它 11% 请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护．．．．．．．．．．．带来积极的影响． 【解析】 ⑴ 补全图1见下图． 1分 “限塑令”实施前，平均一次购物使 用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ．． 人数／位

40 37 35 30 26

25 20 15 11 10 9 10 4 3 5

0 1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个

图1

913722631141054637300． 3（个）

100100这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ················ 3分 200036000．

估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ······················· 4分

⑵ 图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ·································· 5分

根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ····· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：

京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 【解析】 设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(x40)千米． 1分

3061························································· 3分 x(x40)． ·

602解得x200． ··················································································· 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ·················· 5分

22．（本小题满分4分）

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△ABC（即图中阴影部分）为“重叠三角形”． A A

依题意，得

D G D G

（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形ABC的面积；

（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形ABC存在．试用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． A A

C C B B

备用图 备用图

解：（1）重叠三角形ABC的面积为 ；

（2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为 ；m的取值范围为 ． 【解析】 ⑴ 重叠三角形ABC的面积为3．

1分

⑵ 用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为3(4m)2； ················ 2分

83七、解答题（本题满分7分）

m的取值范围为≤m4． ···························································· 4分

23．已知：关于x的一元二次方程mx2(3m2)x2m20(m0)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）．若y是关于m的函数，且yx22x1，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围

满足什么条件时，y≤2m．

【解析】 ⑴ Qmx2(3m2)x2m20是关于x的一元二次方程，

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x

[(3m2)]24m(2m2)m24m4(m2)2． Q当m0时，(m2)20，即0．

方程有两个不相等的实数根． ························································ 2分

⑵ 解：由求根公式，得xx(3m2)(m2)．

2m2m2或x1． ····································································· 3分 mQm0，

2m22(m1)1． mmQx1x2，

2m2． ··································································· 4分 my 2m22yx22x121．

4 mm3 2即y(m0)为所求． ·········· 5分

2 m1 ⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出

-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 2-1 y(m0)与y2m(m0)的图象．

m-2 -3 ············································· 6分

-4 由图象可得，当m≥1时，y≤2m．7分 x11，x2 x

八、解答题（本题满分7分）

24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，B两点点B的坐标为(3，0)，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经

y 过B，C两点．

4 （1）求直线BC及抛物线的解析式；

3 （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，

2 求点P的坐标；

1 （3）连结CD，求OCA与OCD两角和的度数．

-2 -1 O

-1 【解析】 ⑴ Qykx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，

-2 C(0，3)．

设直线BC的解析式为ykx3． QB(3，0)在直线BC上，

1 2 3 4 x

3k30． 解得k1．

直线BC的解析式为yx3． ··················································· 1分 Q抛物线yx2bxc过点B，C，

93bc0， c3．b4，解得

c3．

抛物线的解析式为yx24x3． ················································ 2分

⑵ 由yx24x3．

可得D(2，1)，A(10)，．

OB3，OC3，OA1，AB2． 可得△OBC是等腰直角三角形．

y 4 3 C 2 1 A P E B x

OBC45o，CB32．

-2 -1 O 如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F， -1 1AB1． 2过点A作AEBC于点E． AF-2 1 2 F 3 4 D 图1

AEB90o．

可得BEAE2，CE22．

在△AEC与△AFP中，AECAFP90o，ACEAPF， △AEC∽△AFP．

222AECE，． 1PFAFPF解得PF2．

Q点P在抛物线的对称轴上， 点P的坐标为(2，···················································· 5分 2)或(2，2)． ·⑶ 解法一：

如图2，作点A(1，0)关于y轴的对称点A，则A(1，0)．

连结AC，AD，

y 4 可得ACAC10，OCAOCA．

由勾股定理可得CD220，AD210．

1 又AC210， A B AD2AC2CD2． -1 O 1 2 F 3 4 o-1 △ADC是等腰直角三角形，CAD90， D -2 DCA45o．

OCAOCD45o． 图2

oOCAOCD45．

即OCA与OCD两角和的度数为45o． ··········································· 7分 解法二： y 如图3，连结BD．

4 同解法一可得CD20，AC10． 3 C 在Rt△DBF中，DFB90o，BFDF1，

2 1 -2 -1 O -1 -2 A 1 2 F 3 4 D B 3 C 2 x

DBDF2BF22． 在△CBD和△COA中，

x

CD20DB2BC322． 2，2，CAAO1OC310DBBCCD． AOOCCA图3

△CBD∽△COA． BCDOCA．

QOCB45o，

OCAOCD45o．

即OCA与OCD两角和的度数为45o． ··········································· 7分

九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段a(ab)(ab)的中点，连结PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D C D

P G F P

G

F

B A E A

B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG，PC．若ABCBEF60o，探究PG与PC的位置关系及

PG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

（3）若图1中ABCBEF2(0o90o)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件PG的值（用含的式子表示）． PC【解析】 ⑴ 线段PG与PC的位置关系是PGPC；

PG

················································································· 2分 3． ·

PC

不变，请你直接写出

⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG． QP是线段DF的中点， FPDP．

由题意可知AD∥FG．

D

H

P

C

G

GFPHDP．

QGPFHPD， △GFP≌△HDP．

GPHP，GFHD． Q四边形ABCD是菱形，

CDCB，HDCABC60o．

由ABCBEF60o，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上， 可得GBC60o． HDCGBC． Q四边形BEFG是菱形， GFGB． HDGB． △HDC≌△GBC．

CHCG，DCHBCG．

DCHHCBBCGHCB120o． 即HCG120o．

QCHCG，PHPG，

PGPC，GCPHCP60o． PG·············································································· 6分 3． ·

PC⑶

PGo······································································ 8分 tan(90)． ·

PC

1、题型与题量

全卷共有三种题型，25个小题，其中选择题8个，填空题4个，解答题13个。 选择题 题数 8 分值 32 4 填空题 题数 分值 16 13 解答题 题数 分值 72

2、考查的内容及分布

从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：函数、方程与不等式、三角形、四边形、圆、统计、概率都作了重点考查。

内容分布 分 数

数与代数 60 图形与空间 46 统计与概率 14