椭圆的常见题型及解法一

椭圆的常见题型及其解法(一)

椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.

一、椭圆的焦半径

椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导

设P（，）是椭圆上的任意一点，别是椭圆的左、右焦点，椭圆

，

证法1：

。 因为∴又因为

分，求证

。

，所以

，所以

2

∴，

，，。

PF1d1证法2：设P到左、右准线的距离分别为由椭圆的第二定义知所以∴

2.公式的应用

e，又

，而

，

。

例1 椭圆（

）、C（

12上三个不同的点A（）、B

）到焦点F（4，0）的距离成等

254差数列，则xx . 解：在已知椭圆中，右准线方程为B、C到右准线的距离为

、∵

，

成等差数列。 ∴

12x，设A、

、

，则

。 ，

，而|AF|、|BF|、|CF|

，即

x2y214，。

例2.F,F是椭圆动点，求

的两个焦点，P是椭圆上的

的最大值和最小值。

3

解：设

P，则PF123332x0,PF22x0.PF1PF24x0.224212

在椭圆上，2x0，PFPF的最大值为4，

最小值为1.

变式练习1：. 求过椭圆斜角为的弦AB的长度。 解：由已知可得设

，则 ，从而

变式练习2. 设Q是椭圆

21的左焦点，倾

，所以直线AB的方程为

，代入椭圆方程得

x2y21(ab0)a2b2上任意一

点，求证：以QF（或QF）为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。 证明：设半径为r

，圆C的

即

也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故

4

两圆相内切

同理可证以圆相内切。

3.椭圆焦半径公式的变式 P是椭圆

x2y21(ab0)a2b2为直径的圆与以长轴为直径的

上一点，E、F是左、

右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）（2）

b2|PF|accosb2|PE|accos；

。

上一点，E、F是上、

P是椭圆

y2x21(ab0)a2b2下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）（4）

b2|PF|acsinb2|PE|acsin；

。

证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有

cos|EQ|xPc|PE||PE| 由椭圆焦半径公式（1）得

|PE|aexP。

P消去x后，化简即得（1）

b2|PE|accos。

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而当大于90°时，在三角形PEQ中，有

cos()|EQ|cxP|PE||PE|

cosxPc|PE|， 以下与上述相同。（2）、（3）、

（4）的证明与（1）相仿，从略。

4.变式的应用

对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例1. （2005年全国高考题）P是椭圆

x2y21(ab0)a2b2上一点，E、F是左右焦点，过P

作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。

解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得

b2b2|PF|accos90°a。再由题意得

＋

b2|EF||PF|2ca2c22acc22aca20e2a2e10。

21注意到0e1解得e。

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例2. P是椭圆

x2y21100上且位于x轴上方的

一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为43，求三角形PEF的面积。

解：设PF的倾斜角为，则：

143tan43，cos，sin77。因为a＝10，b＝8，c

＝6，由变式（2）得

|PF|821106×()77 所以三角形PEF的面积

的左焦点

S1143|PF||EF|sin×7×2×6×243227变式训练1.经过椭圆

x2y221(ab0)2abF1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若|AF|2|BF|，求椭圆的离心率。

11解：由题意及变式（2）得

b2b22×accos60°acos(60°180°)

1c2化简得2aca2c3c2ae。 a3变式训练2.设F是椭圆

y2x122的上焦点，

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PF与FQ共线，

MF与FN共线，且

PF·MF＝0。求四边

形PMQN面积的最大值和最小值。

解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而a由题意及（3）式得

|PQ||PF||FQ|112sin2sin(180°)222sin22，b1，c1，

2同理得|MN|22cos。由题意知四边形PMQN2面积

S1|PQ||MN|2

12222··22sin22cos24162sin2cos284sin2cos216328sin2217cos4

当

Smincos41时，

Smax322171；当cos41时，

3217(1)＝16。 9二 椭圆的焦点弦

设椭圆方程为

x2y221(ab0,c2a2b2)2ab过椭

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圆右焦点且倾斜角为()的直线方程为2ysin(xc)cos，此直线交椭圆于A,B两点，求焦点弦AB的长.

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距FF11242，

过椭圆的焦点F作一直线交椭圆于P、Q两点，设

PF1X(0)，当取什么值时，PQ等于椭圆的

短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且

a4，c22，从而b22，故由焦

2ab2F1F22ac2cos2点弦长公式

24(22)2422168cos及题设可得：，即arccos22，解得cos22或

arccos22

。

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例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E3截得的线段的长度为16，求椭圆E的方程。 5分析：由题意可设椭圆E的方程为

(xc3)2(y1)2122ab，又椭圆E相应于F的准线为Y （1）， 又由焦点弦长公式有

a2b2c2轴，故有

2ab2a2c2cos2a2c3c165 （2）又 （3）。解

23由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：ac14，b23，

，从而所求椭圆E的方程为

(x4)2(y1)2143。

变式训练1、已知椭圆C：

1x2y21a2b2（ab0），

xy直线l：a1被椭圆C截得的弦长为22，过椭b圆右焦点且斜率为3的直线l被椭圆C截得的弦

22长是它的长轴长的5，求椭圆C的方程。

分析：由题意可知直线l过椭圆C的长、短

1轴的两个端点，故有a弦长公式得

2b28， （1）又由焦点

2ab2a2c2cos2=45a， （2） 因tan=3，

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得，（3） 3又

a2b2c2 （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）

2联列的方程组得：a的方程为

x2y21626，b22，从而所求椭圆E

。

的左右焦点分别为F,F，过F1221例3.已知椭圆

x2y2132的直线交椭圆于B,D两点，过F的直线交椭圆于A,C两点，且ACBD，求四边形ABCD的面积的最小值.

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