直线和圆的方程复习讲义

一、直线方程

1. 直线的倾斜直角和斜率:

(1) 倾斜角:一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫直线的倾斜角.范围

为0,

(2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即k=tana(a≠90°). (3) 过两点P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=tana=2. 直线方程的五种表示形式：

斜截式：y=kx+b； 点斜式：y-y0=k(x-x0)； 两点式：

y2y1

x2x1yy1xx1 y2y1x2x1截距式：

xy1； 一般式：Ax+By+C=0 ab3. 有斜率的两条直线的平行期、垂直的充要条件：

若L1: y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 则: (1) L1∥L2k1=k2且b1≠b2; (2) L1⊥L2k1×k2 = -1 4. 两条直线所成的角的概念与夹角公式

两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是，且90 则有夹角公式：tan=

0k1k2

1k1k25. 点到直线的距离公式：点P（x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的距离

d=Ax0By0CAB22

题型1 直线的倾斜角与斜率

1.（2004.湖南）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a，且sin+cos=0,则a,b满足（ ） A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0

2.（2004.启东）直线经过点A（2.1），B（1，m2）两点（mR），那么直线L的倾斜角取值范围是（ ） A.0, B0,, .C 420, . D 4,, . 4223.（2004.上海）函数y=asinx+bcosx的一条对称轴方程是x=

，那么直线ax+by-c=0的倾斜4角为 。 题型2 直线方程

4.（2001.新课程）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是（ ）

A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D2x+y-7=0

5.(2003.河南)在同一直角坐标系中, 表示直线y=ax与y=x+a正确的是( ) Y Y Y Y

O X O X O X O X

A B C D 题型3 两直线的位置关系

6.(2001.上海)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的（ ） A.充分非和要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 7.（1998.上海）设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinA.x+ay+c=0与bx-xinB.y+sinC=0的位置关系是（）

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

8.（2004.黄冈）已知P1（x1.y1）是直线L：f(x.y)=0上的一点，P2（x2.y2）是直线L外的一点，由方程f（x.y）+f(x1.y1)+f(x2.y2)=0表示的直线与直线L的位置关系是（） A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.互相斜交

9.(2005.海淀)ABC中，a,b,c是内角A，B，C的对边，且lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，则下列两条直线L1：（sin2A）x+(sinA)y-a=0,L2(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是（） A.重合 B.相交（不垂直） C.垂直 D.平行 题型4 直线与直线所成的角

10.（2005.唐山市）过坐标原点且与点（3，1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（） A.90° B.45° C.30° D.60° 题型5 点到直线的距离

11.（2004.黄冈）点（sin.cos）到直线xcos+ysin+1=0的距离小于1/2，则的取值范围是（ ） A．2k55,2k,(kZ) B．k,k,(kZ) 66121221,2k,(kZ) D．k,k,(kZ) 3336C．2k12.（2004.海淀）在平面直角坐标系内，将直线L向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线L，L与L间的距离为13，则直线L的倾斜角为（ ） A. arctan

2323 B. arctan C. arctan D. arctan 3232题型6. 对称问题

13. (2004.安徽) 已知直线L: x-y-1=0, L1: 2x-y-2=0, 若直线L2与直线L1关于L对称,则L2的方程是( )

A. X-2Y+1=0, B. X-2Y-1=0, C. X+Y-1=0, D. X+2Y-1=0

14. (2005.长春) 直线L1的方程为Y=-2X+1,直线L2与直线L1关于直线Y=X对称,则直线L2经过点( )

A. ( -1, 3 ) B. ( 1, -3 ) C. (3, -1 ) D.（－３，１） 题型７： 直线方程的综合问题 15．（２００４．天津）已知下列曲线：

y y y y x x x x (1) (2) (3) (4) 以及编号为①,②,③,④的四个方程:①.xy0;②xy0;③xy0;④.

xy0,按曲线(1),(2),(3),(4)的顺序,依次与之对应的方程的编号是( )

A. ③②①④ B . ,④②①③ C. ②④①③ D. ①②③④

二、圆的方程

1. 圆的标准方程.

(x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为O ( a, b ),半径为r的圆. 2. 圆的一般方程 X2+Y2+DX+EY+F=0

(1) 当D2+E2-4F>0时,表示圆心为( -D/2 , -E/2 ),半径为(2) 当D2+E2-4F=0时,表示一个点( -D/2 , -E/2 ); (3) 当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形. 3. 圆的参数方程.

1D2E24F的圆. 2xarcosybrsin,(为参数).表示圆心为(a,b),半径为r的圆.

4. 直线和圆.

判定直线和圆的位置关系主要有两种方法:方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式△来讨论位置关系: △>0 直线和圆相交

△=0 直线和圆相切 △<0 直线和圆相离

方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较 dd=R 直线和圆相切 d>R 直线和圆相离

5. 圆和圆

(1) 代数法: 解两个圆的方程所组成的二元二次方程组,若方程组有两组不同的实数解,

则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,则两圆相离. (2) 几何法: 设两圆的半径分别为R1,R2,两圆心分别为C1 , C2 则 当∣C1C2∣> R1+R2时,两圆相离; 当∣C1C2∣= R1+R2时,两圆外切; 当∣C1C2∣=∣R1-R2∣时,两圆外切;

当∣R1-R2∣<∣C1C2∣<∣R1+R2∣时,两圆相交; 当∣C1C2∣<∣R1-R2∣时,两圆内含;

题型1 圆的方程

1. (2004.海淀)圆X2+Y2 –2X+2MY=0的圆心在直线X+Y=0上,则实数M的值为__________ 2. (2004.重庆) 若直线2AX –BY+2=0,( A>0, B>0)始终平分圆X2+Y2+2X-4Y+1=0的周长,则

11的最小值是( ) ABA. 4. B. 2 C. 1/4 D. 1/2 3. (2003.咸阳)圆心在曲线y1(x0)上,且与直线y=x+1相切的面积最小的圆的方程为x( )

A. (X+1)2+(Y-1)2=1/2 B. (X+1)2+(Y-1)2=1 C. (X+2)2+(Y-1/2)2=1/2 D. (X+1/2)2+(Y-2)2=1

4. (2005.威海) 已知圆的半径为2,圆心在X轴的正半轴上,且与直线3X+4Y+4=0相切,则圆的方程是( )

A. X2+Y2-2X-3=0 B. X2+Y2+4X=0 C. X2+Y2+2X-3=0 D. X2+Y2-4X=0

题型2 直线与圆的位置关系

5. (2004.天津) 若过定点M( -1, 0)且斜率为K的直线与圆X2+4X+Y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则K的取值范围是( )

A. 06. (2004.天津) 若P( 2, -1)为圆 (X-1)2+Y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A. X-Y-3=0 B. 2X+Y-3=0 C. X+Y-1=0 D. 2X-Y-5=0

7. (2004.安徽) 若直线AX+Y=1与圆(X-3)2+(Y-2)2=1有两个不同的交点,则A的取值范围是( ) A. ( 0 ,

3) B. (-3,0) C. (3, +) D. (- , -3) 8. (2005.东北) 过点( 2, 3 )的直线L与圆C:x2+y2+4x+3=0 交于A,B两点,当弦长︱AB︱取最大值时,直线L的方程为 ( )

A .3x-4y+6=0 B. 3x-4y-6=0 C. 4x-3y+8=0 D. 4x+3y-8=0

9. (2005.江苏) 曲线y=1+4x2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点时,实数的取值范围是( ) A. (53135, B. (, C. , D. 124241250, 1210. (2004.福州) 直线xsin+ycos=2=sin与圆(x-1)2+y2=4的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都可能 题型3 圆的切线

11. (2004.全国) 圆x2+y2 –4=0在点P ( 1 ,

3 )处的切线方程是( )

A. x+3y-2=0 B. x+3y-4=0 C. x-3y+4=0 D. x-3y+2=0 12. (2005.辽宁) 若直线2x-y+c=0 按向量a=( 1 , -1 )平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为

( )

A. 8或-2 B. 6或-4 C. 4或-6 D.2或-8

13. (2005.全国)设直线L过点( -2 , 0 ),且与圆x2+y2=1相切,则L 的斜率是( ) A. ±1 B. ±1/2 C. ±3/3 D. ±3 14. (2005.全国) 已知直线L过点( -2 , 0 ),且与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率K的取值范围是( )

A . ( -22, 22) B. (-2,2) C. (-2/4 , 2/2) D. ( -1/8 , 1/8 )

15. (2005.全国) 圆心为( 1, 2 )切与直线5X-12Y-7=0相切的圆的方程为___________

16. (2004.全国) 有动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA, PB ,切点分别为A, B , ∠APB=600,则动点P的轨迹方程为____________ 题型4. 圆与圆的位置关系

17. (2004.湖北) 两个圆C1;X2+Y2+2X+2Y-2=0与C2;X2+Y2-4X-2Y+1=0的公切线有且仅有( )条

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

18. (2004.黄岗) 实数x, y ,m ,n 满足x2+y2-4x-8y+19=0,m2+n2+8n+8m+28=0,则(x-m)2+(y-n)2的最大值和最小值分别为_____________________ 题型5. 圆的综合问题

19.(2005.济南) 不等式x4x24x1a的解集是4,0,则a的取值范围是( ) 3A. (,5 B. , C. ,5, D. ,0

3320. (2005.济南) 已知A(-2, 0) , B ( 0 , 2 ) , C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的

最大值是( )

A. 3+2, B. 3-2 C. 6. D. 4.

55

参考答案

直线的方程 1. D 4. B 5.

3 6. A 7. C 13 C 14. C 17. B 19 A 24.D 29. B 30 B 31. 4B 33. C 40 B 圆的方程

3. A 4. (x-2)2+(y+3)2=5 7. A 8. D 9 A 10 A 11. B 17 A 18. C 20. B

22. D 23. A 25. C 26. C 27. (x-1)2+(y-2)2=4 28. x2+y2+4 31. B 33. 169; 49 36. A 37. A