复变函数题库（包含好多试卷-后面都有答案）

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（⼀）⼀、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平⾯为常数. ( )3.若}

{n z 收敛，则} {Re n z 与}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任⼀简单闭曲线C0)(=?Cdz z f . ( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）⼆.填空题（20分）1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz

__________.（n 为⾃然数） 2.=+z z 2

2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤⽴奇点有__________.

5.幂级数nn nz∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平⾯上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)

21______________.8.=)0,(Re n z

z e s ________，其中n 为⾃然数.9. z

z sin 的孤⽴奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .

三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||?=z dz z

3. 设?-++=C d z z f λλλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =

0Re 1z ≤≤的z 平⾯内能分出两个单值解析分⽀,

并求出⽀割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那⽀在1z =-的值.《复变函数》考试试题（⼆）⼀. 判断题.（20分）

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )

2. cos z 与sin z 在复平⾯内有界. ( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →⼀定不存在. ( )

6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )

7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任⼀简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f .( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在⼀个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )

⼆. 填空题. (20分)

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________. 3.=-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为⾃然数）4. 幂级数0

n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.

7. ⽅程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=

，则)(z f 的孤⽴奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1

(Res 4=-z

z . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3

z 的幂级数展开式. 2. 在复平⾯上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z

在正实轴取正实值的⼀个解析分⽀，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：?-=iiz z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ?=-22)2(sin π.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

2. 试⽤儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）⼀. 判断题. (20分).

1. cos z 与sin z 的周期均为πk

2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满⾜柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域

D 内为常数. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则

)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）

8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是

)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )⼆. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=

z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________. 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=

，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.

=-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为⾃然数）6. 幂级数∑∞=0

n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11

)(2+=z z f ，则f (z )的孤⽴奇点有__________.8. 设1-=ze

，则___=z .9. 若0z 是

)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .

10. ____)0,(Res =n zze .

三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z

f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z n

n ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：-C z z z z

e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数

)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是⼀整函数，

并且假定存在着⼀个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，

证明)(z f 是⼀个⾄多n 次的多项式或⼀常数。《复变函数》考试试题（四）⼀. 判断题. (20分)

1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满⾜柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （ ）3. 函数z sin 与z cos 在整个复平⾯内有界. （ ）

4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任⼀简单闭曲线C 都有0)(=?Cdz z f .（ ）5. 若)(lim 0z f zz

→存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （ ）

6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （ ）7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz

→⼀定不存在. （ ）

8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （ ）

9. 若

)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内⼀⼩弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）10. 若

)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （ ）⼆. 填空题. (20分)1. 设i

z -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞

→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)

21______________.

3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(zz f +=

的幂级数展开式为__________

5. 若函数f (z )在复平⾯上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________. 7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-?Cdz z .8. z

z sin 的孤⽴奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. =)0,(Res n zz

e _____________.三. 计算题. (40分)1. 解⽅程013=+z .2. 设1

)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3.

.))(9(2||2?=+-z dz i z z z.

4. 函数()f z =z e z1

11--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数

)(z f 在上半平⾯解析，则函数)(z f 在下半平⾯解析.2. 证明0364=+-z z ⽅程在2||1<《复变函数》考试试题（五）⼀. 判断题.（20分）

1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（ ）

3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （ ）

4. 若幂级数的收敛半径⼤于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ）5. 若函数f (z )在z 0处满⾜Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （ ）6. 若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （ ）

7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数)(z f 在复平⾯上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （ ）9. 若0z 是

)(z f 的⼀级极点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→. （ ）10. 若

)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内⼀⼩弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）

⼆. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=ze ，则___=z .4.

z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-?Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .

7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 8. 函数211)(z z f +=

的幂级数展开式为_________. 9. zz sin 的孤⽴奇点为________.

10. 设C 是以为a ⼼，r 为半径的圆周，则___)(1

=-?C n dz a z .（n 为⾃然数）

三. 计算题. (40分)1. 求复数1

1+-z z 的实部与虚部.2. 计算积分：z z I Ld Re ?=，

在这⾥L 表⽰连接原点到1i +的直线段. 3. 求积分：I =+-πθθ

202cos 21a a d ，其中04.

应⽤儒歇定理求⽅程)(z z ?=，在|z|<1内根的个数，在这⾥)(z ?在1||≤z 上解析，并且1|)(|

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微.2. 设

)(z f 是⼀整函数，并且假定存在着⼀个正整数n ，以及两个数R 及M ，