人教课标版高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案(1)-新版

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，了解函数模型的应用实例，会利用一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型解决实际问题，在直观想象、数学建模中感受函数模型在实际生活中的具体应用． （二）学习目标

1．通过实例，感受一次函数的广泛应用． 2．通过实例，感受二次函数的广泛应用．

3．通过实例，来感受幂函数和分段函数的广泛应用． （三）学习重点

1．一次函数模型，二次函数模型，幂函数和分段函数模型中在实际生活的应用． 2．学会建立一些函数模型解决生活实际问题． （四）学习难点

将实际问题转变为数学模型． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

读一读：阅读教材第101页至第106页，找出疑惑之处． 观察如图所示内容,回答下列问题:

（1）问题1:解答应用题应按照怎样的步骤?

（2）问题2：在解决实际问题时可建立哪些函数模型? 【答案】问题1：建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：

(1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y分别表示问题中的变量.

(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.

(3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数解析式的结构特点,正确运用函数知识求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 2．预习自测

(1)长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少＝________．

【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【数学思想】

x时的面积最大，此时x＝________，面积S2xx21251【解题过程】S(4x)(3)x12=(x22x24)=(x1)2，

22222当x1时，Smax25． 2【思路点拨】由题意建立面积关于变量x的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x的值即可得到答案．

25． 2(2)某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，

【答案】1；

若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为( )

A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【解题过程】设每件商品定价为x，利润为y， 则有y(x40)50010(x50)

2化简后y10(x70)900，

当x70时，利润最大．

【思路点拨】由题意建立面积关于变量x的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x的值即可得到答案．

【答案】D

(3)某商品的市场需求量y1 (万件)、市场供应量y2 (万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：y1x70，y22x20．y1y2时的市场价格为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

①求平衡价格和平衡需求量；

②若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？ 【知识点】根据实际问题选择函数类型．

yx70x30【解题过程】①由解得，

y2x20y40平均价格为30元/件和平均需求量为40万件．

②设政府补贴t元/件，此时市场平衡价格为x元/件，则供货者实际每件得到(xt)元/件，由题

x7044x26意得解得．

2(xt)2044t6yx70【思路点拨】①联立即可；②设政府补贴t元/件，此时市场平衡价格为x元/件，则

y2x20x7044供货者实际每件得到(xt)元/件，由题意得，解得即可．

2(xt)2044【答案】①平均价格为30元/件和平均需求量为40万件；②6元/件补贴． (二)课堂设计 1．知识回顾

（1）如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c也就是方程

f(x)0的根．

（2）对在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． （3）当自变量很大时，指数函数（指数爆炸）比一次函数（直线上升）增长得快，一次函数与对数函数（对数增长）增长得快 ． 2．问题探究

探究一 一次函数模型★ ●活动① 回顾旧知 直线型的函数模型：

(1)我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化都一样. (2)解题时常设的模型:①常数函数型:y=c,(c∈R, c是常数)； ②正比例型:y=kx (k≠0) ③一次函数型: y=kx+b (k≠0)

形如ykxb的函数为一次函数模型,其中k0.

(3)在最优化问题中,如最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确立变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数解析式,则可以用一次函数模型来解决.

【设计意图】引导学生回顾直线型函数模型的几种基本类型与相关知识． ●活动② 探究新知★▲

例1 据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费用是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车次数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数解析式是( ) A．y0.3x800(0x2000) B．y0.3x1600(0x2000) C．y0.3x800(0x2000) D．y0.3x1600(0x2000) 【知识点】函数模型的选择与应用．

【解题过程】由题意知，变速车存车数为(2000x)辆次，则总收入

y0.5x0.8(2000x)0.3x1600(0x2000)．

【思路点拨】根据题意列方程化简即可． 【答案】D

变式1 据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )

A．y0.1x800(0x4000) B．y0.1x1200(0x4000) C．y0.1x800(0x4000) D．y0.1x1600(0x4000) 【知识点】函数模型的选择与应用．

【解题过程】y0.2x(400x)0.3=0.1x1200(0x4000)． 【思路点拨】根据题意列方程化简即可． 【答案】D

例2 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.

(1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A,B两地的总运费为y元,求y关于x的函数解析式. (2)若总运费不超过1000元,问能有几种调运方案? (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.

【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用． 【数学思想】

【解题过程】(1)甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8- x)台电脑至B地,运往A地12-(8- x)=( x +4)台电脑(0≤x≤6, x∈N)， 则总运费y=30 x+40(6- x)+50(8- x)+80(x +4)=20 x+960, y=20 x+960(x∈N,且0≤x≤6).

(2)若使y≤1000,即20 x +960≤1000,得x≤2. 又0≤ x ≤6, x∈N,所以0≤x≤2, x∈N. 所以x=0,1,2,即有3种调运方案.

(3) y=20 x+960是R上的增函数,又0≤ x ≤6且x∈N,所以当x=0时, y有最小值为960.

所以总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地,从乙地应调运8台电脑至B地,运4台到A地,运费最低为960元．

【思路点拨】根据题意列方程化简即可． 【答案】(1)y=20 x+960(x∈N,且0≤x≤6)；

(2)有3种调运方案；

(3)总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地,从乙地应调运8台电脑至B地,运4台到A地,运费最低为960元．

变式2 大气中的温度随着高度的上升而降低,温度的降低大体上与升高的距离成正比,根据实测的结果:上升12km为止,在12km以上温度不变,保持在-55℃.

(1)当地球表面大气的温度是a℃时,设x km上空的温度为y℃,求0≤ x ≤12时,y随x变化的函数解析式.

(2)当地球表面大气的温度是29℃时,3 km上空的温度是多少？ 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用． 【解题过程】(1)由题意知y-a=kx(0≤ x ≤12,k<0),即y=a+kx.当x=12时,y =-55, 则-55=a+12k,解得k=ya55a，故所求的函数解析式为 1255ax(0x12). 12(2)当a=29，x=3时,y2955a38， 12即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃． 【思路点拨】根据题意列方程化简即可． 【答案】(1)ya552ax(0x12)； 12(2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃．

【设计意图】一次函数模型是生产生活中常用的函数模型，与生活息息相关，用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式． 探究二 运用二次函数模型解决实际问题 ●活动① 回顾旧知 二次函数模型：

(1)二次函数常设成yax2bxc(a,b,c为常数,a≠0)的形式,其图象是抛物线,顶点坐标是

b4acb24acb2b(,)，当a > 0时,在x时,有最小值为，经常需用配方法来求最值. 2a4a4a2a(2)在实际中普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大,风险决策,最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型.

(3)在解决实际应用问题时,需要列出二次函数的解析式,常用的方法有待定系数法和方程法. 常用形式：一般式:yax2bxc(a0).

b24acb2顶点式:ya(x)(a0).

2a4a两点式:ya(xx1)(xx2)(a0).

【设计意图】引导学生回顾二次函数模型的几种基本类型与相关知识． ●活动② 探究新知★▲

例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).

(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域. (2)求羊群年增长量的最大值.

(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.

【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用，函数最值的应用． 【解题过程】解：（1）据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为

xx，由此可得：ykx(1)(0xm). mmkkmkm（2）对原二次函数配方，得y(x2mx)=(x)2.

mm24mkm即当x时，y取得最大值为.

24x，m故空闲率为1( 3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即

mkmmkm时，ymax，所以0m，解得2k2. 2424又因为k0，所以0k2. 0xym，因为当x【思路点拨】(1)由羊群的年增长量y与“实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积”成正比，比例系数为k(k0)根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)由(1)中给出的y关于x的函数关系式，我们使用配方法，易分析出羊群年增长量的最大值； (3)根据题意0mkmm，解不等式，即可得到结论． 24【答案】(1)ykx(1(2)当xx)(0xm)； mmkm时，y取得最大值为； 24(3)0k2．

变式1 若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10000只，实际蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为多少.

【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用． 【解题过程】由题意,可知ykx(1代入计算可得y18000（1-x)(0xm)，此时m10000，x8000，k1， m8000）=1600，故此时羊群的年增长量为1600只. 10000x【思路点拨】由题意列出ykx(1)(0xm)，代值求解即可．

m【答案】此时羊群的年增长量为1600只．

例2 某汽车城销售某型号的汽车,进货单价为25万元,市场调研表明:当销售单价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价-进货单价). (1)求y与x的函数解析式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围. (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数解析式. (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少？ 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用，函数最值的应用． 【解题过程】(1)因为y2925x，所以yx4 (0≤x≤4) ． (2)z =(8x4)y(8x8)(x4)8x224x32(0≤x≤4). 0.5(3)由(2)知，z8x224x32=8(x1.5)2+50 (0≤x≤4). 故当x=1.5时,zmax=50．

所以当销售单价为29-1.5=27.5(万元)时,每周的销售利润最大,最大利润为50万元.

【思路点拨】(1)原价为29万元，降价x万元，现售价为(29x)万元，又进货价为为25万元，根据销售利润=销售价-进货价，列出y关于x的关系式，再根据y0，写出x的取值范围； (2)根据销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，得现在的销售量，用y乘以销售量

表示出z，得到z关于x的函数解析式；

327.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元． 2【答案】(1) yx4 (0≤x≤4)；

(3)当定价为29(2) z =8x224x32(0≤x≤4)； (3) 当x=1.5时,zmax =50．

变式2 麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为200元，某种食品每份的成本价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价/元 日均销售量/份 6 440 7 400 8 360 9 320 10 280 11 240 12 200 请你根据以上数据作出分析，该麦当劳店怎样定价才能获得最大利润？ 【知识点】函数模型的选择与应用，函数最值的应用． 【数学思想】

【解题过程】设销售单价为x元，日均销售量为y元，则y6804x， 所以日均利润为(68040x)(x5)20040(x11)21240 因此，麦当劳店定价为11元时才能获得最大利润1240元．

【思路点拨】确定日均销售量与销售单价的关系，进而可得日均利润，利用配方法，可求最大利润．

【答案】(1) 麦当劳店定价为11元时才能获得最大利润1240元．

【设计意图】二次函数模型是生产生活中常用的函数模型，与生活息息相关，用二次函数模型解决实际问题时,可利用配方法、判别式法、换元法,以及函数的单调性等方法求最值． 探究三 幂函数与分段函数模型的应用 ●活动① 回顾旧知 幂函数模型：

(1)解析式:yaxb(a,b为常数，a0,1) (2)单调性:其增长情况由x中的的取值而定. 分段函数模型：

有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问

题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用. 【设计意图】引导学生回顾幂函数以及分段函数模型的相关知识． ●活动② 探究新知★▲

例1 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:cm3 /s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s,则该气体通过半径为r的管道时,其流量速率R的解析式为__________________. 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用． 【解题过程】解：由题意可设Rkr4(k0). 由r=3，R=400，可得kR4004004，则流量速率R的解析式Rr 48181r【思路点拨】设比例系数为k，气体的流量速率v与管道半径r的函数解析式为vkr4，由r=3，R=400，可得k【答案】RR400． 481r4004r 81变式1 已知（1）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体流量速率（结果保留整数）． 【知识点】函数模型的选择与应用． 【解题过程】当r5cm，R体的流量速率为3086cm3/s．

【思路点拨】将r5cm代入R的表达式中，计算可得到答案． 【答案】3086cm3/s

例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数解析式．

400453086(cm3/s)，即气体通过管道半径为5cm时，该气81

【知识点】函数模型的选择与应用，根据实际问题选择函数类型． 【数学思想】分类讨论思想．

【解题过程】（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内的行驶的路程为360km．

50t2004,0t180(t1)2054,1t2（2）由图可知，有S90(t2)2134,2t3．

75(t3)2224,3t465(t4)2299,4t5.【思路点拨】（1）根据矩形面积公式，易得阴影部分的面积，因为S速度时间，故可得所求面积的实际意义；（2）根据图像，分析出三小时内的速度分别为50，80，90，根据汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2008km，易得S与t的分段函数形式．

【答案】（1）阴影部分的面积为360km．阴影部分的面积表示汽车在这5小时内的行驶 的路程为360km． （2）见解题过程

变式2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,

12400xx,0x400,已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量. 280000,x400.(1)将利润表示为月产量的函数f(x).

(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元(总收益=总成本+利润). 【知识点】函数模型的选择与应用，根据实际问题选择函数类型． 【数学思想】分类讨论思想．

12(x300)25000,0x400,【解题过程】(1)f(x) =2

60000100x,x400.(2)当0≤x≤400时，f(x)=(x300)225000， 所以当x=300时，f(x)有最大值25000， 当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数，

f(x)<60000-100×400=20000<25000．

所以当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润为25000元．

【思路点拨】（1）根据题意，设总成本为20000100x，根据总收益=成本+利润，分段讨论即可得到结果；（2）根据（1）得到的结果，分段讨论函数的最大值，即可得到结果．

12(x300)25000,0x400,【答案】(1)f(x) =2；当月产量为300台时,公司所获利润最

60000100x,x400.大,最大利润为25000元．

【设计意图】幂函数和分段函数模型是生产生活中常用的函数模型，与生活息息相关，用分段函数模型解决实际问题时,要分得合理,不重不漏． 3.课堂总结 知识梳理

（1）①用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式；

②根据实际问题建立二次函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法,以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题且要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

③应用分段函数时的三个注意点：分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏；分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集；分段函数的值域求法为:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.

（2）用函数有关的知识建立数学模型，需理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型． 重难点归纳

（1）会利用一次函数、二次函数、幂函数及分段函数解决生活问题； （2）能够根据实际问题选择恰当的函数类型，将实际问题转化为数学模型． （3）建立数学模型一定要过好三关：

①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口． ②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数字关系．

③数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型． （三）课后作业 基础型 自主突破

1．x克a%盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（ ） A. y=

cacaacbcx B. y=x C. y=x D. y=x cbbcbcca【知识点】根据实际问题选择函数类型． 【数学思想】

【解题过程】由浓度=溶质质量/溶液质量可知 混合后的溶质为a%x+ b%y 混合后的溶液为x+y（g） 混合后浓度为c% 所以a%x+ b%y=(x+y) c% 故y=

cax． bc【思路点拨】主要考查公式：浓度=溶质质量/溶液质量． 【答案】B

2．A、B两家电器公司在今年1—5月份的销售量如下图所示，

则B相对于A其市场份额比例比较大的月份是（ ） A.2 月 B.3月 C.4月 D.5 月 【知识点】函数最值的应用． 【解题过程】2月：3月：

402120 ==603180303135 ==4041805511132 ==75151807071405月：==

9091804月：

最大的为5月．

【思路点拨】将每月是市场份额一一计算出来． 【答案】D

3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5×[m]+1）元给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 元．

【知识点】函数模型的选择与应用．

【解题过程】由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.5]=6 所以f（5.5）=1.06（0.5×[5.5]+1）=4.24．

【思路点拨】解决本题的关键在于对[m]是大于或等于m的最小整数的理解和应用，求出[5.5]=6． 【答案】4.24

4．随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m2)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时，y=108g/m3,则y与x的函数解析式为( ) A．y3x(x0) B．y3x C．y【知识点】根据实际问题选择函数类型．

【解题过程】由题意设ykx(k0)，将(36,108)代入解析式可得k3，故y3x，考虑到含氧量不能为负数,所以x0．

【思路点拨】设出函数解析式后进行赋值． 【答案】A

5．甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )

1133x D．yx 3311

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人速度相同 D．甲先到达终点 【知识点】根据实际问题选择函数类型．

【解题过程】由图象可知甲、乙两人一起出发,甲的速度比乙的速度快,甲先到达终点． 【思路点拨】观察图像得到结论． 【答案】D

6．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为：

4x,1x10,xNy2x10,10x100,xN

1.5x,x100,xN其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 D．130 【知识点】函数模型的选择与应用． 【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】令y=60，若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25．

【思路点拨】将y=60分别代入分段函数的每一分段． 【答案】C 能力型 师生共研

7．某农民计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的农药和化肥，根据需要，农药至少要3瓶，化肥至少要2袋，则不同的选购方式有( ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【知识点】函数模型的选择与应用．

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】设购买农药x瓶，化肥y袋，其中xN，yN，且x3，y2，

则60x70y500，即6x7y50，因此不同的选购方式有（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）共7种． 【思路点拨】设出函数方程分类讨论即可． 【答案】C

8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )

A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 【知识点】函数最值的应用．

【解题过程】依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，所以总利润： S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，

所以当x＝10时，S有最大值为45.6(万元)．

【思路点拨】利用甲乙两车的数量关系以及利润公式求解． 【答案】B 探究型 多维突破

9．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(d)的函数，且销售量近似地

11121满足g(t)t(1t100,tN)；前40天价格为f(t)t22，1t40，tN，后

334t60天的价格为f(t)52(41t100,tN)，试求该商品的日销售额S（t）的最大值与最

2小值．

【知识点】函数最值的应用，函数模型的选择与应用． 【数学思想】分类讨论思想．

1112125001tN时，【解题过程】当1t40，S（t）=g(t)f(t)=（t）（t22）=(t12)2，

3312342500所以768= S（40） S（t） S（12）=

31811121当41t100，tN时，S（t）=g(t)f(t)=（t）（t52）=(t108)2，

63332所以8= S（100） S（t） S（41）=所以S（t）的最大值为

1491 22500，最小值为8． 3【思路点拨】根据题意，可对t进行分类，分为1t40，和41t100，tN时两种情况下可分别求得S（t）=g(t)f(t)的表达式，利用二次函数的对称性与所给区间之间的关系利用函数的单调性即可求得该商品的日销售额S（t）的最大值和最小值．

2500，最小值为8． 310．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的

【答案】S（t）的最大值为

月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【知识点】函数最值的应用，根据实际问题选择函数类型． 【解题过程】(1)当每辆车的月租金定为3 600元时， 未租出的车辆数为

36003000＝12，所以这时租出了88辆车．

50(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

f(x)＝(100－

x3000x3000)(x－150)－×50， 5050x21整理得f(x)＝＋162x－21 000＝－ (x－4 050)2＋307 050.

550所以当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f (4 050)＝307 050，

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 【思路点拨】（1）严格按照题中的月租金的变化对能租出车辆数的影响列式可得出答案； （2）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则，作为应用题要注意下好结论． 【答案】（1）88；（2）307 050元． 自助餐

1．一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( ) A．y20x(0x10) B．y202x(0x20)

C．y40x(0x10) D．y402x(0x20) 【知识点】根据实际问题选择函数类型．

【解题过程】因为矩形的周长是40，所以2x+2y=40，则y=20-x(02．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以23.04元售出．此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况是( )

A．不亏不赚 B．亏5.92元 C．赚5.92元 D．赚28.96元 【知识点】根据实际问题选择函数类型．

【解题过程】设甲、乙两种产品原价分别为a，b， 则a(1＋20%)2＝23.04，b(1－20%)2＝23.04， ∴a＝16元，b＝36元．

若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利23.04－16＝7.04元， 乙产品亏36－23.04＝12.96元， ∴共亏12.96－7.04＝5.92元．

【思路点拨】根据实际问题选择恰当的函数类型． 【答案】B

3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( ) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)． 【知识点】根据实际问题选择函数类型． 【解题过程】y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)． 【思路点拨】根据题意列出函数表达式． 【答案】D

4．乙从A地到B地，途中前一半时间的行驶速度是v1，后一半时间的行驶速度是v2(v1【知识点】根据实际问题选择函数类型． 【解题过程】匀速行驶，图像为直线．

【思路点拨】因为v15．某种商品生产x吨时，所需费用为(这里p＝a＋

x (a，b是常数)． b12

x＋5x＋100)元，而出售x吨时，每吨售价为p元，10(1)写出出售这种商品所获得的利润y元与售出这种商品的吨数x之间的函数关系式； (2)如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是150吨时，所获利润最大，并且这时每吨价格是40元，求a，b的值．

【知识点】函数最值的应用，函数模型的选择与应用． 【解题过程】(1) y＝(a＋

x111)x－(x2＋5x＋100)＝(－)x2＋(a－5)x－100． b10b10a515011a452()(2)由题意，得解得． b10b3015040ab【思路点拨】（1）根据已知条件可得y＝(a＋

x1)x－(x2＋5x＋100)，接下来对其进行整理即b10可；（2）利用二次函数的性质，可以得到关于a，b的方程组．解方程组就可以求出a，b的值．

a4511【答案】（1）y＝(－)x2＋(a－5)x－100；（2）．

b10b306．有一批单放机原价为每台80元，在两个商场降价销售，甲商场优惠的办法是：买一台少收4元，买两台每台少收8元，买三台每台少收12元……依次类推，直到减到半价为止，乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售，某单位为每名职工买一台，问买哪一个商场的单放机

较合算．

【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数模型的选择与应用． 【数学思想】分类讨论思想．

【解题过程】设某单位职工为x人，即购买x台，则甲商场：该单位的花费为

(804x)x,0x10(x∈N*) y140x,x10乙商场：该单位的花费为y280x70%56x 若x10，则y2y1，购买甲商场的单放机合算；

若0x10，y1y280x4x256x=4x224x0,0x6 即0x6时，y1y2，购买乙商场的单放机合算；

6x10时，y1y2，购买甲商场的单放机合算； x＝6时，在两个商场购买单放机一样合算．

【思路点拨】根据甲乙商场的优惠办法，构造函数，进行分类讨论，即可得出结论． 【答案】0x6时，y1y2，购买乙商场的单放机合算；

6x10时，y1y2，购买甲商场的单放机合算； x＝6时，在两个商场购买单放机一样合算．