整数划分问题

整数划分是一个经典的问题。希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。

Input

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

Output

对于每组输入，请输出六行。

第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。 第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。 第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。 第四行：将n划分成若干奇正整数之和的划分数。 第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。 第六行：打印一个空行。

Sample Input 5 2

Sample Output 7 2 3 3 3

Hint:

1、将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

2、将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1

3、将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2 4、将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1 5、将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

来源：http://acm.hit.edu.cn/ojs/show.php?Proid=1402&Contestid=0 最新评论发表评论

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评论人: KnightZLJ 发布时间: 2009-11-5 0:32:44 #include int Func_a(int n,int max) // 将n划分成最大数不超过max的划分数。 { int counter=0; int i; if(max<=1) { return 1; } else { for(i=1;i<=max;i++) { counter+=Func_a(n-i,(imin=n-(int)(n/k)*(k-1);

for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++) {

counter+=Func_b(n-i,k-1,i); }

return counter; } }

int Func_c(int n,int max) //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max<=1) {

return 1; } else {

for(i=1;2*i<=max+1;i++) {

counter+=Func_c(n-2*i+1,(ireturn counter;

} }

int Func_d(int n,int max) // 将n划分成若干不同整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max*(max-1)/2return 0; }else{

if(max*(max-1)/2==n||n==0) {

return 1; }else{

for(i=1;icounter+=Func_d(n-i,i); }

return counter; } } }

void main() { int n,k; cout<<\"输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)\\n\"; cin>>n>>k; cout< int Func_a(int n,int max) // 将n划分成最大数不超过max的划分数。 { int counter=0; int i; if(max<=1) { return 1; } else {

for(i=1;i<=max;i++) {

counter+=Func_a(n-i,(ireturn counter; } }

int Func_b(int n,int k,int max) //将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。{

int counter=0; int min,i;

min=(int)((n+k-1)/k); if(k==1||k==n) {

return 1; } else {

min=n-(int)(n/k)*(k-1);

for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++) {

counter+=Func_b(n-i,k-1,i);

}

return counter; } }

int Func_c(int n,int max) //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max<=1) {

return 1; } else {

for(i=1;2*i<=max+1;i++) {

counter+=Func_c(n-2*i+1,(ireturn counter; } }

int Func_d(int n,int max) // 将n划分成若干不同整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max*(max-1)/2return 0; }else{

if(max*(max-1)/2==n||n==0) {

return 1; }else{

for(i=1;icounter+=Func_d(n-i,i); }

return counter; } } }

void main() { int n,k;

cout<<\"输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)\\n\"; cin>>n>>k;

cout<cout< int Func_a(int n,int max) // 将n划分成最大数不超过max的划分数。 { int counter=0; int i; if(max<=1) { return 1; } else { for(i=1;i<=max;i++) { counter+=Func_a(n-i,(ireturn counter; } }

int Func_b(int n,int k,int max) //将n划分成k个不大于max的正整数之和的划分数。 {

int counter=0; int min,i;

min=(int)((n+k-1)/k); if(k==1||k==n) {

return 1; } else {

min=n-(int)(n/k)*(k-1);

for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++) {

counter+=Func_b(n-i,k-1,i); }

return counter; } }

int Func_c(int n,int max) //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。 {

int counter=0; int i;

if(max<=1) {

return 1; } else {

for(i=1;2*i<=max+1;i++) {

counter+=Func_c(n-2*i+1,(ireturn counter; } }

int Func_d(int n,int max) // 将n划分成若干不同整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max*(max-1)/2return 0; }else{

if(max*(max-1)/2==n||n==0)

{

return 1; }else{

for(i=1;icounter+=Func_d(n-i,i); }

return counter; } } }

void main() { int n,k;

cout<<\"输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)\\n\"; cin>>n>>k;

cout<cout<cout<cout<cout<cout< int Func_a(int n,int max) // 将n划分成最大数不超过max的划分数。 { int counter=0; int i; if(max<=1) { return 1; } else { for(i=1;i<=max;i++) { counter+=Func_a(n-i,(imin=(int)((n+k-1)/k); if(k==1||k==n) {

return 1; } else {

min=n-(int)(n/k)*(k-1);

for(i=min;(i<=n-k+1&&i<=max);i++) {

counter+=Func_b(n-i,k-1,i); }

return counter; } }

int Func_c(int n,int max) //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max<=1) {

return 1; } else

{

for(i=1;2*i<=max+1;i++) {

counter+=Func_c(n-2*i+1,(ireturn counter; } }

int Func_d(int n,int max) // 将n划分成若干不同整数之和的划分数。{

int counter=0; int i;

if(max*(max-1)/2return 0; }else{

if(max*(max-1)/2==n||n==0) {

return 1; }else{

for(i=1;icounter+=Func_d(n-i,i); }

return counter;

} } } void main() { int n,k; cout<<\"输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)\\n\"; cin>>n>>k; cout<4 4 + 2, 4 + 1 + 1

3 3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1

2 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。

递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，

1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;

2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系 (1) m > n

在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n); 可用程序表示为if(m > n) return split(n, n); (2) m = n

这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加 数为6和小于6的划分之和

用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1); (3) m < n

这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。

从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。 因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)

根据以上描述，可得源程序如下：

#include

int split(int n, int m) {

if(n < 1 || m < 1) return 0; if(n == 1 || m == 1) return 1; if(n < m) return split(n, n);

if(n == m) return (split(n, m - 1) + 1);

if(n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m), m)); }

int main() {

printf(\"12的划分数: %d\ return 0; }

将正整数划分成连续的正整数之和

如15可以划分成4种连续整数相加的形式： 15 7 8 4 5 6 1 2 3 4 5

首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么

结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1

将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。 满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。

如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。

当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。 当x = 5时，x = 1。

这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，

假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，

那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足

这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下

int split1(int n) {

int i, j, m = 0, x, t1, t2;

// 在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到， // 为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。 for(i = 1; (t1 = i * (i - 1) / 2) < n; i++) {

t2 = (n - t1); x = t2 / i; if(x <= 0) break; if((n - t1) % i == 0) {

printf(\"%d \ for(j = 1; j < i; j++)

printf(\"%d \ printf(\"\\n\"); m++; } } return m; }