常微分方程的边值问题

本科科研训练论文

常微分方程的边值问题

学生姓名：郭骏 学 号：********** 专 业：数学及其应用数学 年 级：08级 学 院：理学院

【摘 要】边值问题是微分方程问题的一个类型。在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。

【关键词】常微分方程 边值问题 研究

目录

第一章 引言

1.1 常微分方程的起源和发展 1.2 常微分方程的内容 1.3 常微分方程的应用 1.4 常微分方程的实例 第二章 常微分方程边值问题的研究 2.1 边值问题的提出

2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性 2.3 特征值问题 参考文献

第一章 引言

1.1 常微分方程的起源

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=ƒ(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。

常微分方程在我国的发展

中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。

1.2 常微分方程的内容

定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。

定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

1.3 常微分方程的应用

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

1.4 常微分方程的实例

下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数)： (1) y= kx, k 为常数；

(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv (t) = mg - kv(t)；

第一章 常微分方程边值问题的研究

2.1 边值问题的提出

求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即，设常微分方程为

对区间I上的点α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(α

给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的i)(i=1,2,…,k,k>1)，

问题。这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi) 称为边值或边界值。当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。

2.2 二阶线性微分方程边值问题的可解性

我们将重点研究试射法。

二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：

y(x)f(x,y,y)， axb (2.1)

边值条件有如下三类： 第一类边值条件

y(a)， y(b) (2.2)

第二类边值条件

y(a)， y(b) (2.3)

第三类边值条件[19]

0y(a)1y(a)， 0y(b)1y(b) (2.4)

其中010， 010， 010， 010。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理 设方程(2.1)中的函数f及

ff，在区域 yy{(x,y,y)|axb,y,y}

内连续，并且 (ⅰ)

f(x,y,y)0, (x,y,y)； yf(x,y,y)在内有界，即存在常数M，使得

y(ⅱ)

f(x,y,y)My， (x,y,y)，

则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。

（1）试射法

为了描述试射法的基本思想，先给出初值问题的概念。 由(2.5)中的二阶常微分方程以及初始条件

y(a)， y(a)s (2.6)

构成的定解问题

yp(x)yq(x)yr(x),y(a),y(a)saxb (2.7)

称之为初值问题。

对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复调整初始时刻的斜率值ys，使得初值问题(2.7)的积分曲线yy(x)能“命中”y(b) .

设能够提供s的两个预测值s1，s2，我们按这两个斜率“试射”， 通过求解相应的初值问题(2.7)可以得到y(b)的两个预测值分别为1，2。若1和2都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正s1，s2得到新的斜率值

s3s1s2s1(1) (2.8)

21然后再按斜率s3试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果y(b)3.若3或3，则可将s3作为s的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果y(b)与相当符合为止。

基于叠加原理的试射法

设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子

L：Ly:yp(x)yq(x)y. (2.9)

我们考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：

axbLur(x), ' (2.10) u(a),u(a)0和

axbLv0, ' (2.11) v(a)1v(a)0,设u(x)和v(x)分别为问题(2.10)和(2.11)的解，不难验证

y(x)u(x)是问题(2.5)的解，其中v(b)0.

u(b)v(b)v(x) (2.12)

通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：

1. 根据边值问题(2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)；2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解u(x)和v(x)；3. 将u(x)和v(x)按(2.12)式做组合，所得的函数y(x)就是边值问题(2.5)的解.

(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。如令：

u1u,v1v,则(2.10)式可以写成

u2u

(2.13) v2v

u2,u1p(x)u2q(x)u1r(x), (2.14) u2u(a),u(a)0,21(2.11)式可以写成

v2,v1p(x)v2q(x)v1, (2.15) v2v(a)0,v(a)1,21这样就可以利用Runge-Kutta方法求解(2.14)和(2.15)。

对于更一般的线性边值问题：

Lyyp(x)yq(x)yr(x),axb (2.16) 0y(a)1y(a),010,y(b)y(b),0,0101000用基于叠加原理的打靶法的步骤为：

1. 根据(2.16)式，构造两个相应的初值问题：

axbLur(x), (2.17) u(a)cu(a)c,01和

axbLv0, (2.18) v(a)v(a),01其中c0和c1是满足条件c01c101的两个任意的常量.

2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为u(x)和v(x). 3. 将u(x)和v(x)做线性组合y(x)u(x)[0u(b)1u(b)]v(x)

0v(b)1v(b)由此计算得到的函数y(x)就是(2.16)式的解。

（2）有限差分法

将区间[a,b]进行等分：h=(b-a)/(n+1), xi=a+ih,i=0,1,…,n+1,设在x=xi,i=0,1,…,n+1处得数值解为yi。用中心差分近似微分，即

{𝑦𝑖′yi\"≈

2ℎ

yi+1−2yi+yi−1,i=0,1,…,n

h2yi+1−yi−1

2h

≈

𝑦𝑖+1−𝑦𝑖−1

则离散化成差分方程 yi+1−2yi+yi−1=h2f(xi,yi,

),i=0,1,…,n

对应的边界条件也离散成ẏ(a)-α0y(a)=α1,ẏ(b)+β0y(b)=β1; 第一类边界问题:y0=α,yn+1=β

第二类边界问题：y1-y0=hα,yn+1-yn−1=hβ 第三类边界问题：y1-(1+α0h)y0=α1h, (1+β0h)yn+1-yn=β1h

若f(x,y,y’)是y，y’的线性函数时，f可以写成 f(x,y,y’)=p(x)y’(x)+q(x)y(x)+r(x)

其中p(x),q(x),r(x)为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过变量替换总是可以消去方程中的y’项，不妨假设变换后的方程为

y”(x)-q(x)y(x)=r(x);y(a)=α,y(b)=β 则近似差分方程成离散差分方程为

yi+1−2yi+yi−1

h2-qiyi=ri;y0=α,yn+1=β

其中q i=q(xi) ,ri=r(xi),i=0,1,…,n 将以上方程合并同类型整理得方程组 y0=α

{yi−1−(2+qih2)yi+yi+1=rih2 yn+1=β

其中只要qi≫0，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵，方程组为三对角线方程组，可以用追赶法求解。 2.3 特征值问题

一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ 的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ 称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。 最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)

式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。

对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ0<λ1<λ2<…,对应于每一个λn,有一个非零解yn(x)（特征函数）。{yn(x)}组成(α，b)上的完备正交系。对任意函数ƒ(x)，有特征展开式

(10)

式中ƒn是ƒ(x)的广义傅里叶系数, 等于ƒ(x)与yn(x)的乘积沿(α,b)的积分。当ƒ(x)满足边界条件,且ƒ┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。当ƒ(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。

C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)(11)

式中

(12)

φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)

为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形，展开式为

(13) (14)

式中【ρij(λ)】称为谱矩阵；φ1，φ2则是方程的线性无关解组。

奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。

SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。

参考文献：

· 二阶常微分方程边值问题数值方法- 山东师范大学数学科学学院，道客巴巴 2011-03-15 · 葛渭高/李翠哲/王宏洲，常微分方程与边值问题，科学出版社，2008-06-01 · 籍利平，边值问题长盛不衰，科学网，2007-9-3 · 百度百科