简洁地求一类非线性偏微分方程的特解1

山西师范大学学报(自然科学版)JournalofShanxiTeacher󰀁sUniversity

NaturalScienceEdition

Vo.l19󰀁No.4

Dec.2005

文章编号:1009-4490(2005)04-0018-04

简洁地求一类非线性偏微分方程的特解

刘󰀁辉

(湖南人文科技学院物理与信息工程系,湖南娄底417000)

摘󰀁要:巧妙地引入一个变换,并将其中的试探函数表示为双曲正、余弦函数的形式,只需进行简单的求偏导数运算,就可将难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,最后得到了一类非线性偏微分方程的某些特解,所得结果与已有结果完全吻合.不难看出,这种方法特别简洁.本方法可望进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.关键词:非线性偏微分方程;试探函数;双曲函数;待定系数法;特解中图分类号:O175.2󰀁󰀁󰀁文献标识码:A

0󰀁引言

随着科学技术的发展,非线性现象在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要,物理、化学、生物、

工程技术、甚至社会的经济问题等都存在着大量的、重要的非线性问题,这些问题的研究最终可用非线性常微分方程或非线性偏微分方程来描述,因此,如何求解这些非线性方程成为广大数学和物理工作者致力于研究的一个重要课题.近年来,人们提出和发展了许多求解非线方程的有效方法,如齐次平衡法

[3󰀁6]

[7󰀁8]

[9]

[10]

[1󰀁2]

、双

曲正切函数展开法、试探函数法、非线性变换法、sine~cosine法、Jacobi椭圆函数展开[11󰀁12][13]法、双曲函数法等等,并用这些方法求解了许多非线性方程,然而,非线性方程(尤其是非线性偏微分方程)的求解是那么的困难,而且求解非线性方程没有也不可能有统一而普适的方法,以上一些方法也只能具体应用于某个或某些非线性方程的求解,因此,继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分重要的工作.当前,求解非线性偏微分方程的发展趋势主要有以下三方面:其一,继续寻找一些新的方法求解各种非线性偏微分方程;其二,用已有的方法求解那些还没有得到解析解的非线性偏微分方程;其三,对已求得解析解的非线性偏微分方程寻找更简单的求解方法.本文的工作属于第三方面的内容.

1󰀁基本方法

考虑如下一类非线性偏微分方程

󰀁u󰀁u󰀁u󰀁u󰀁u+u+󰀁2+󰀁3+󰀁4+󰀁=0󰀁t󰀁x󰀁x󰀁x󰀁x

为了求解上述方程,引入变换

u=

󰀁v󰀁󰀁v=v(󰀁)󰀁󰀁󰀁=kx-󰀁t+󰀁0󰀁x(2)

2

3

4

(1)

其中v(󰀁)为试探函数,k(波数),󰀁(频率)为待定常数,󰀁0为任意常数,引入变换(2)后,只要选准试探函数v(󰀁)的表达式,则u可由u=

收稿日期:2005-04-01

作者简介:刘辉(1970󰀁

研究.

󰀁v进行简单的求偏导数的运算就可获得,因此,关键是找准试探函数v(󰀁)󰀁x),男,湖南娄底人,湖南人文科技学院物理与信息工程系副教授,主要从事非线性物理方面的

󰀁第4期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁刘辉:简洁地求一类非线性偏微分方程的特解󰀁19󰀁

的形式.受文[13]采用双曲函数方法求解非线性偏微分方程的启发,笔者拟将v(󰀁)选取为双曲正、余弦函数的函数形式,即v(󰀁)=v(cosh󰀁,sinh󰀁),因为双曲正、余弦函数有许多󰀁良好󰀁的性质,如(sinhx)󰀁=

22

coshx,(coshx)󰀁=sinhx,coshx-sinhx=1,(sinhx+coshx)󰀁=sinhx+coshx,(sinhx+coshx)󰀁=sinhx+coshx,󰀁,(sinhx+coshx)

(n)

=sinhx+coshx,等等,利用这些󰀁良好󰀁的性质可使求解特别简单.至于

v(󰀁)=v(cosh󰀁,sinh󰀁)的具体函数形式则应根据具体的非线性偏微分方程灵活选择.下面是用该方法具体求解出的几个非线性偏微分方程的特解,以下为了行文简洁,简记S=sinh󰀁,C=cosh󰀁.

2󰀁应用举例

2.1󰀁Burgers方程

Burgers方程的一般形式为

󰀁2

󰀁ut+u󰀁󰀁ux-󰀁󰀁u󰀁x

2=0选取试探函数v(󰀁)为

v=aln[1+

12

(C+S)]其中a为待定常数,注意:C=cosh󰀁,S=sinh󰀁,以下不再一一说明由(2)、(4)式不难求得

u=

󰀁v󰀁x=ka(C+S)

2+C+S󰀁uka󰀁󰀁t=-(C+S)(2+C+S)

2

󰀁u2k2

a󰀁x=(C+S)(2+C+S)

2󰀁2

u3

󰀁x2=2ka(C+S)(2-C(2+C+S)

2-S)将(5)~(8)式代入(3)式,并考虑到cosh󰀁󰀁0,sinh󰀁󰀁0,得如下一组代数方程

󰀁+󰀁k2

=0

󰀁-(a+󰀁)k2

=0

联立(9)、(10)式解得

󰀁=-󰀁k2

,a=-2󰀁

将(11)式代入(5)式解得

u=-2󰀁k(C+S)2+C+S=-󰀁k(1+tanh12

󰀁)

将(2)式代入上式得

u=-󰀁k[1+tanh

1

2

(kx-󰀁t+󰀁0)]由(11)式还可求得波速为

c=

󰀁

k

=-󰀁k2.2󰀁KdV方程

KdV方程的一般形式为

󰀁3

󰀁ut+u󰀁󰀁ux+󰀁󰀁u󰀁x

3=0选取试探函数v(󰀁)为

2

v(󰀁)=b(C+S)4+(C+S)

2(3)

(4)

(5)(6)(7)(8)

(9)(10)(11)(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

󰀁20󰀁山西师范大学学报(自然科学版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2005年󰀁

其中b为待定常数.

由(2)、(16)式易于求得

󰀁v2kb(C+S)

u==22

󰀁x[4+(C+S)]󰀁u=16kb󰀁(C+S)[(C+S)-4]23󰀁t[4+(C+S)]󰀁u16bk(C+S)[(C+S)-4]=23󰀁x[4+(C+S)]

󰀁u4kb(C+S)[32-176(C+S)+176(C+S)-(C+S)]3=25󰀁x[4+(C+S)]

将(17)~(20)式代入(15)式,并考虑到cosh󰀁󰀁0,sinh󰀁󰀁0,得如下一组代数方程

󰀁-4󰀁k=0

32

󰀁+44󰀁k-2bk=0

联立(21)、(22)式解得

󰀁+4󰀁k,󰀁󰀁b=24󰀁k

将(23)式代入(17)式求得

192󰀁k(C+S)22

u=ksech󰀁22=12󰀁

[4+(C+S)]

将(2)式代入上式得

u=12󰀁ksech(kx-󰀁t+󰀁0)

由(23)式还可求得波速为

c=

2.3󰀁KdV-Burgers方程

󰀁󰀁KdV-Bugers方程为

󰀁u󰀁u󰀁u󰀁u+u-󰀁2+󰀁3=0󰀁t󰀁x󰀁x󰀁x

选取试探函数v(󰀁)为

v(󰀁)=mln[1+

其中m、n为待定常数.

仿照前面相同的方法可求得

232

󰀁=-󰀁k+󰀁k,m=-12󰀁,n=12󰀁,c=-󰀁k+󰀁k

5

2

u=3󰀁{4-[1+tanh󰀁(kx-󰀁t+󰀁0)]}

25󰀁10󰀁k

2

2

3

2

2

2

2

3

3

3

4

2

2

4

6

2

2

2

2

22

(17)(18)(19)(20)

(21)

(22)(23)(24)

(25)(26)

󰀁2

=4󰀁kk

(27)

1n(C+S)(C+S)]+22+C+S

(28)

(29)(30)

不再赘述.

以上一些结果与文

[14]

的结果完全一样,但显然用本文的方法求解比较简洁.

3󰀁结论

本文通过巧妙地引入一个变换,并将其中的试探函数表示为双曲正、余弦函数的形式,利用双曲正、余

弦函数的󰀁良好󰀁性质简洁地求得了几个非线性偏微分方程的特解.利用本文的方法,只要准确地找到了试探函数v(cosh󰀁,sinh󰀁)的关系,原则上就可求出非线性偏微分方程的特解.

参考文献:

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SeekingParticularSolutionstoaClassofNonlinearPartial

DifferentialEquationsinaSimpleFastMethod

LIUHui

(DepartmentofPhysics&InformationEngineering,

HunanUniversityofHumanitiesandScienceandTechnology,Loudi,Hunan417000,China)

󰀁󰀁Abstract:Byintroducingatransformationandutilizinghyperbolicfunction󰀁sgoodproperties,thenonlinearpartialdifferentialequationthatishardtobesolvedbymakinguseoftheregulartechniquecanbereducedtoa

setofnonlinearalgebraicequations,whichcanbeeasilysolved,andtheirrelatedcoefficientscanbeeasilyde-terminedbyusingtheapproachofundeterminedcoefficients.Finally,thespecialsolutionstoaclassofnonlinearpartialequationsaresuccessfullypresented.Theresultsobtainedinourpaperareinverygoodagreementwiththosegiveninsomeexistingreferences.Itisnotdifficulttoseethatthismethodusedhereinisverysimpleandconcise.Wefirmlybelievethatthisapproachmaybegeneralizedtoconstructthesolutionstoothernonlinearpar-tialdifferentialequations.

󰀁󰀁Keywords:Nonlinearpartialdifferentialequations;Trialfunction;Hyperbolicfunction;Approachofun-determinedcoefficients;Particularsolution