2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编专题27 相似

专题27 相似

1．（2016•哈尔滨）点（2，﹣4）在反比例函数y=

的图象上，则下列各点在此函

数图象上的是（ ） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 2．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 3．（2016•达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2016•贵港）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论： ①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=成立的个数有（ ）

：6；④S△OCF=2S△OEF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2016•南充）如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN=AM•AD；③MN=3﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（ ）

2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2016•哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

第 1 页 共 1 页

A．

=

B．

C．

D．

7．（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

A． B． C． D．

8．（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）

A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 9．（2016•巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 10．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为

，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

第 2 页 共 2 页

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 11．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为边长为6，则C点坐标为（ ）

，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 12．（2016•十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 13．（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）

A．4 B．4C．6 D．4 14．（2016•咸宁）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论： ①

=

；②

=

；③

=

；④

=

其中正确的个数有（ ）

第 3 页 共 3 页

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 16．（2016•）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（ ）

A．

B．

C．

D．

17．（2016•）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）

A．DE=

BC B．

=

C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2 18．（2016•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：

①AC=FG；②S△FAB：S四边形CEFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD=FQ•AC， 其中正确的结论的个数是（ ）

2

第 4 页 共 4 页

A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2016•湘西州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）

A．3 B．5 C．6 D．8 20．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

第 5 页 共 5 页

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编

专题27 相似

参与试题解析

1．（2016•哈尔滨）点（2，﹣4）在反比例函数y=

的图象上，则下列各点在此函

数图象上的是（ ） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）

【解析】由点（2，﹣4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论． 【解答】解：∵点（2，﹣4）在反比例函数y=

的图象上，

∴k=2×（﹣4）=﹣8．

∵A中2×4=8；B中﹣1×（﹣8）=8；C中﹣2×（﹣4）=8；D中4×（﹣2）=﹣8， ∴点（4，﹣2）在反比例函数y=

的图象上．

故选D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键． 2．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似

【解析】根据平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质进行判断即可． 【解答】解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”； 旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；

轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；

位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选：D．

【点评】本题考查的是平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换，理解“等距变换”的定义、掌握平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质是解题的关键． 3．（2016•达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）

第 6 页 共 6 页

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=

AB=AD=BD=5且∠ABF=

∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．

【解答】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°，

∵AB=10，D为AB中点， ∴DF=

AB=AD=BD=5，

∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， ∴

=

，即

，

解得：DE=8， ∴EF=DE﹣DF=3， 故选：B．

【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键． 4．（2016•贵港）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论： ①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=成立的个数有（ ）

：6；④S△OCF=2S△OEF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱②正确，及直角三角形得到AC=

ABCD

=AC•BC，故

BC，于

BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=

第 7 页 共 7 页

是得到OE：AC=

OCF

：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到=，求得S△

=2S△OEF；故④正确．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵CE平分∠BCD交AB于点E， ∴∠DCE=∠BCE=60°

∴△CBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确； ∵AC⊥BC，

∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=BC，

∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=

BC，

∴OE：AC=，

∴OE：AC=：6；故③正确； ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF， ∴

=

，

=

，

∴S△OCF：S△OEF=

∴S△OCF=2S△OEF；故④正确； 故选D．

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键． 5．（2016•南充）如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN=AM•AD；③MN=3﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（ ）

2

第 8 页 共 8 页

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到

，等量代换得到AN=AM•AD；根据AE=AM•AD，列方程得到MN=3﹣

，得到BH=

BC=1，根据勾股定理得到

2

2

；

在正五边形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+EH=

=

，根据三角形的面积得到结论．

【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°， ∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确； ∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°， ∴∠AEN=∠ANE， ∴AE=AN， 同理DE=DM， ∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°， ∴△AEM∽△ADE， ∴

2

，

∴AE=AM•AD；

2

∴AN=AM•AD；故②正确；

2

∵AE=AM•AD，

2

∴2=（2﹣MN）（4﹣MN）， ∴MN=3﹣；故③正确； 在正五边形ABCDE中， ∵BE=CE=AD=1+， ∴BH=∴EH=∴S△EBC=故选C．

BC•EH=BC=1，

=×2×

，

=

，故④错误；

第 9 页 共 9 页

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键． 6．（2016•哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A．

=

B．

C．

D．

【解析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解答】解；A、∵DE∥BC， ∴

，故正确；

B、∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴

，故错误；

C、∵DE∥BC， ∴

，故错误；

D、∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴

，故错误；

故选：A．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键． 7．（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

第 10 页 共 10 页

A． B． C．=

D．

【解析】由△DAH∽△CAB，得，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可

解决问题．

【解答】解：∵DH垂直平分AC， ∴DA=DC，AH=HC=2， ∴∠DAC=∠DCH， ∵CD∥AB，

∴∠DCA=∠BAC，

∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°， ∴△DAH∽△CAB， ∴∴

==

， ， ，

∴y=

∵AB＜AC， ∴x＜4，

∴图象是D． 故选D．

【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型． 8．（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）

第 11 页 共 11 页

A．1：

B．1：

C．1：2 D．2：3

，根据三

AB，过C作CE⊥AB，CE=

AB，

【解析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到角形的角平分线定理得到

=

，求出AD=

AB，BD=

AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴

，

∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴∴AD=

=

， AB，BD=

AB，

过C作CE⊥AB于E，连接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴

=

，

∴OE⊥AB， ∴OE=

AB，CE=

AB， AD•OE）：（

BD•CE）=（

）：（

）

∴S△ADE：S△CDB=（=2：3．

故选D．

【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

第 12 页 共 12 页

9．（2016•巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1

【解析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=

BC，

证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．

【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=

BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE的面积：△ABC的面积=（

）=1：4，

2

∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3； 故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 10．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为

，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

【解析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．

【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩小，

，

第 13 页 共 13 页

∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，

即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．

故选D．

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 11．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为边长为6，则C点坐标为（ ）

，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【解析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．

【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为∴

=

，

，

∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，

∴△OAD∽△OBG， ∴∴

=

， =

，

解得：OA=1， ∴OB=3，

∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A．

【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键． 12．（2016•十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）

第 14 页 共 14 页

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9

【解析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．

【解答】解：∵OB=3OB′， ∴

，

∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴

=

．

∴=，

故选D

【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 13．（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）

A．4 B．4

C．6 D．4

=

，

【解析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出求出AC即可．

【解答】解：∵BC=8， ∴CD=4，

在△CBA和△CAD中， ∵∠B=∠DAC，∠C=∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴

2

=，

∴AC=CD•BC=4×8=32， ∴AC=4；

第 15 页 共 15 页

故选B．

【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据AA证出△CBA∽△CAD，是一道基础题． 14．（2016•咸宁）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论： ①

=

；②

=

；③

=

；④

=

其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断． 【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=

BC，即

=

，

DE∥BC，

∴△DOE∽△COB， ∴

=（

）=（

2

）=

2

，

===，

故①正确，②错误，③正确； 设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC=∵△ODE中，DE=∴S△ODE=

×

BC×

BC，DE边上的高是AF=

BC•AF，

BC•AF，S△ACD=×

AF=

AF，

S△ABC=

BC•AF，

∴==，故④错误．

故正确的是①③． 故选B．

第 16 页 共 16 页

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式证明△ODE和△ADC之间的关系是关键． 15．（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25

【解析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到

=

，

=

=

，结合图形得到

=

，得到答案．

【解答】解：∵DE∥AC，

∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25， ∴

=

，

∵DE∥AC， ∴∴

==

=，

，

∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选：B．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 16．（2016•）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（ ）

第 17 页 共 17 页

A． B． C． D．

求出AE的长，由GF∥BN可得

，将AE的长

【解析】由DE∥BC可得

代入可求得BN．

【解答】解：∵四边形DEFG是正方形， ∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1， ∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB， ∴

①，

②，

，解得：AE=

，

由①可得，

将AE=代入②，得：

，

，

解得：BN=

故选：D．

【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键． 17．（2016•）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）

A．DE=

BC B．

=

C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2

【解析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC，DE=定理和相似三角形的性质即可判定．

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE=∴∴

∴A，B，C正确，D错误； 故选：D．

=

BC，

，△ADE∽△ABC，

，

BC，再根据平行线分线段成比例

第 18 页 共 18 页

【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明． 18．（2016•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：

①AC=FG；②S△FAB：S四边形CEFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD=FQ•AC， 其中正确的结论的个数是（ ）

2

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确； 证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=

FB•FG=

S

四边形CEFG

，②正确；

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确； 证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD=FQ•AC，④正确． 【解答】解：∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG⊥CA，

∴∠C=90°=∠ACB， ∴∠CAD=∠AFG， 在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC=FG，①正确； ∵BC=AC， ∴FG=BC，

∵∠ACB=90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC，

∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90°，S△FAB=

FB•FG=

S

四边形CEFG

2

，

，②正确；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

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∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=FE：FQ，

∴AD•FE=AD=FQ•AC，④正确； 故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 19．（2016•湘西州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）

2

A．3 B．5 C．6 D．8

【解析】根据相似三角形的判定与性质，可得△ABC的面积，根据面积的和差，可得答案．

【解答】解：由DE∥BC，DB=2AD，得 △ADE∽△ABC，

=

．

由，△ADE的面积为1，得

=

，

得S△ABC=9．

SDBCE=SABC﹣S△ADE=8， 故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ABC=9是解题关键． 20．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【解析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF=

=

=2

，根据平行线分线段成比例定理得到OH=

AE=

，由相

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似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到

==，求得AN=AF=，即可得到结论．

【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2 ∵BF=2FC，BC=AD=3， ∴BF=AH=2，FC=HD=1， ∴AF==

=2

，

∵OH∥AE， ∴

=

=， ∴OH=

AE=

，

∴OF=FH﹣OH=2﹣=

，

∵AE∥FO，

∴△AME∽FMO， ∴

=

=

，

∴AM=AF=，

∵AD∥BF，

∴△AND∽△FNB， ∴

=

=，

∴AN=

AF=

， ∴MN=AN﹣AM=﹣

=

，

故选B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．

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股定理，例的性勾比