拉普拉斯变换的基本定理

拉普拉斯变换的基本定理

本节介绍拉普拉斯变换（也称为拉⽒变换）的基本性质，了解掌握了这些性质，可以更加⽅便地求解各种拉普拉斯正反变换。

⼀、线性定理设

则：

（式9-2-1）

式中例9-2-1 求解：

为常系数。

、

和

的拉⽒变换。

同理：

⼆、微分定理设

，则：

（式9-2-1）

同理可推⼴得到

的⾼阶导数的拉⽒变换式：

例9-2-2：

已知，求。

解：由于，由（式9-2-2）得：

同理：

三、积分定理设

，则：

（式9-2-3） 例9-2-3 求解：斜坡函数。是单位阶跃函数的积分，由（式9-2-3）得：四、时域位移（延时）定理设，则： （式9-2-4）例9-2-4：求图9-2-1所⽰函数的拉普拉斯变换式。解：由图可知：五、复频域位移定理设，则： （式9-2-5） 例9-2-5：已知求：和的拉普拉斯反变换。解：利⽤复频域位移定理：六、卷积定理：设，则：

（式9-2-6）

例9-2-6．求的拉普拉斯反变换式。

解：已知，利⽤卷积定理得：

同理可推得：

七、初值定理设

例9-2-7．设解：

，则

，验证初值定理。

⼜：

，所以，得证！

⼋、终值定理：设

例9-2-8．仍设解：

，则

，验证终值定理。

，⼜

所以，得证!

注意：利⽤终值定理求

的前提条件是

必须存在，且是唯⼀确定的值。