1.3空间向量及其运算的坐标表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

知识梳理

1、在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA{i唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OAxiyjzk。在单位正交基底,j,k}下

与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标

2、空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量表示 坐标表示 ab ab (a1b1,a2b2,a3b3) (a1b1,a2b2,a3b3) (a1,a2,a3)，R a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a ab ab（b0,R） ab0（a0,b0） 模 |a| a,ba0,b0 cosa,b＝22a21＋a2＋a3 夹角

a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3 3、设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点，则P1P2(x2x1,y2y1,z2z1)，

222|P1P2|(x2x1)(y2y1)(z2z1)，这是空间两点间的距离公式

知识典例

题型一 空间向量的坐标运算

例1 设x,yR，向量a(x,1,1),b(1,y,1),c(2,4,2)，ac，b//c，则|ab|（ ） A．22 【答案】C 【分析】 根据ac,b【详解】

B．10

C．3

D．4

c，结合向量的坐标运算可求得参数x,y的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解

bc,2y41,y2,b(1,2,1)ac,ac2x14+20,

x1，a(1,1,1),ab(2,1,2)，|ab|22(1)2223，

故选：C.

巩固练习

1、已知点B2,3,1，向量AB3,5,2，则点A坐标是（ ） A．1,2,3 【答案】D 【分析】

设点Ax,y,z，由点A和点B表示出向量AB，构造等式求解即可. 【详解】

设点Ax,y,z，则向量AB2x,3y,1z3,5,2，

B．1,2,3

C．5,8,1

D．5,8,1

2x3x5所以3y5y8，

1z2z1所以点A5,8,1. 故选：D

2、（多选）对于任意非零向量ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，以下说法错误的有( ) A．若ab，则x1x2y1y2z1z20 B．若a//b，则

x1y1z1 x2y2z2x1x2y1y2z1z2222x12y12z12x2y2z2C．cosa,b

D．若x1y1z11，则a为单位向量 【详解】

对于A选项，因为ab，则abx1x2y1y2z1z20，A选项正确； 对于B选项，若x20，且y20，z20，若a//b，但分式

x1无意义，B选项错误； x2对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cosa,bx1x2y1y2z1z2222x12y12z12x2y2z2，C选项正确；

对于D选项，若x1y1z11，则a1212123，此时，a不是单位向量，D选项错误. 故选：BD.

题型二 向量坐标求解直线关系

例 2 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF；

（2）求EF与CG所成角的余弦值； （3）求CE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】

建立空间直角坐标系，得出D,E,C,F,G的坐标，由坐标运算得出EF,CF,CG,CE的坐标，根据数量积公式证明

155. ；（3）215EF⊥CF；由数量积公式求出EF与CG所成角的余弦值；再由模长公式得出CE的长. 【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

则D(0,0,0),E0,0,1111,C(0,1,0),F,,0,G1,1, 2222所以EF1111111,,,CF,,0,CG1,0,,CE0,1,

22222221111100，所以EFCF，即EF⊥CF. 22222222（1）证明：因为EFCF113111111（2）因为EFCG10,EF 22222422251 CG120222cosEF,CGEFCGEFCG=14352215. 15251（3）CE021

2222

巩固练习

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cosEAF____，EF=____.

【答案】【分析】

26 52建立空间直角坐标系，利用向量法得出cosAE,AF，从而得出cosEAF，最后由模长公式得出EF. 【详解】

以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系

设正方体棱长为1，则E0,,1,F1,0,121 21111AE0,,1,AF1,0,,EF1,,

2222cosAE,AFAEAFAEAF=1255222 5222611. cosEAF,EF|EF|125222故答案为：

26； 522、如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB4，AD2，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）

A．0 【答案】A 【分析】

B．10 5C．

2 2D．15 5建立空间直角坐标系，表示A，然后利用空间向量的夹角公式计算即可. 1E,GF【详解】 如图

A12,0,4，E0,0,2,F2,2,0,G0,4,2

所以A1E2,0,2,GF2,2,2

所以异面直线A1E与GF所成角的余弦值

A1EGFA1EGF0

故选：A

巩固提升

1、已知向量m1,1,1，n2,2,3，若mnmn，则__________ 【答案】7

【分析】

根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得mn和mn,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得的值. 【详解】

向量m1,1,1,n2,2,3 则mn32,3,4,mn1,1,2

所以mnmn0,代入可得32,3,41,1,20

因为mnmn 即23380,解得7 故答案为: 7

2、b是异面直线，b上的单位向量，已知a、且a⊥b，e1,e2分别为取自直线a、且a＝2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为___. 【答案】6 【分析】

根据向量垂直其数量积为0，转化为基底的运算，即可得答案； 【详解】

由ab，得ab＝0，又e1,e2分别为取自直线a、b上的单位向量，

e1e20

(ke14e2)＝0，∴2k120，∴k6. ∴(2e13e2)·故答案为：6.

3、在空间直角坐标系Oxyz中，O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足

|CO||CB|3，若

A．9

cosEF,BCB．7

16，，则OCOF（ ）

C．5

D．3

【解析】设C(x,y,z)，B(2,2,0)，

OC(x,y,z)，BC(x2,y2,z)，EF(22,22,0)，

由cosEF,BCEFBCEFBC(22,22,0)(x2,y2,z)1，

436整理可得：xy22， 由|CO||CB|3，得x2y2(x2)2(y2)2， 化简得xy2，

以上方程组联立得x2324,y4， 则OCOF(x,y,z)0,22,022y3. 故选：D.

4、设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( ) A.AB→·C→1A＝a2 B．AB→·A→

1C1＝2a2 C.BC→·A→1D＝a2 D．AB→·C→1A1＝a2

【答案】 C

【解析】 建系如图．

则→AB·C→a)＝－a2

1A＝(a,0,0)·(－a，－a，－， →AB·A→

1C1＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2， →BC·A→

1D＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，

→AB·C→1A1＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．

5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量A→E＝AA→1＋xAB→＋yAD→

，则实数x，y的值分别为(A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝12

) 111

C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1

222【答案】 C

→→→→

【解析】AE＝AA1＋xAB＋yAD=

1

,所以x=y=

2

→→→→→→→

6、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于( ) A．5 C．4 【答案】 A

→→→→→→【解析】 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，|AC1|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.故选A.

7、如图，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标为(B．6 D．8

310)，，，点D在平面yOz上，且BDC90，22DCB30．

（1）求向量CD的坐标．

（2）求AD与BC的夹角的余弦值．

1033. 【答案】（1）(0,,)；（2）225【解析】 【分析】

（1）过D作DEBC于E，求得DE,OE的值，得到点D的坐标，进而求得CD的坐标； （2）分别求得向量AD,BC的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】

（1）过D作DEBC于E， 则DECDsin30113，OEOBBDcos601，

222所以D的坐标为D(0,13,)， 2233又因为C(0,1,0)，所以CD(0,,)．

22（2）依题设有A点坐标为A(3133,,0)，所以AD(,1,)，BC(0,2,0)， 2222则AD与BC的夹角的余弦值为cosAD,BCAD·BCAD·BC10． 5