北工大电磁场作业题答案

（2）球坐标中的坐标。

解：（1）x cos4cos232ysin4sin33

（2） r x2y2z25 3 arccos(z/x2y2z2)arccos5

2

arctg(y/x)arctg(3) 3

习题1.16: 2 、 已知矢量Eexx2axzeyxy2byezzz2czx2xyz,试确定常数

a,b,c使E为无源场。

解：若E为无源场，则E＝0 E2xaz2xyb12zcx2xy0

则：a2,b1,c2 3、 习题1.18:

222223(1)求矢量Aexexye24xyz的散度；xyz (2) 求A对中心在原电的一个单位立方体的积分；22zz3 求矢量A对此立方体表面的积分，验证散度定理。(3) ：(1)A2x2x2y72x2y2z2解

(2)A对中心在原电的一个单位立方体的积分为：

2222AdV2x2xy72xyzdxdydz VV 111111111222222222222 1dy1dz12xdx1ydy1dz12xdx721ydy1zdz21xdx22222222 211 002424

222223(3)AdSexexye24xyzexdydzeydxdzezdydxxyz SS222223 Sxdydzxydxdz24xyzdydx 1122211111112222222 11dydz11dydz11xdxdz2222222 222331111111111 2222121xdxdz242121xydxdz242121x2y2dxdz2224 2222222

1.12 已知标量函数 u  x 2  2 y 2  3 z2  3 x  2 y  (1)求6z；（2）在那些点上等于0

解：（1）

uuu uexeyezex(2x3)ey(4y2)ez(6z6)xyz （2）解

=0 方程得到：在点（-3/2,1/2,1)处，

=0

1．15 一球面S的半径为5，球心在原a3sinds点上，计算Sr。 解：a3sindsrS22dsr2sindd, 223sin5sinddd75sind75001.23证明：R3,R0,ARA,Rxexyeyzez.

A为一常量。

RxRyRZxyz 解：R1113,xyZxyz

exeyez

0,设AA1exA2eyA3ez,则ARA1xA2yA3z, Rxyz

xyz

ARARAReyezA1exA2eyA3ezA (AR)exxyZ 习题2.5：一个半径为a的球形带电体内均匀分别者总电荷量为q的电荷，

当球体以均匀角速度绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。 ： 解(1)

根据书上公式（2.1.10）,公式（2.1.9）

didq Je , i 其中en时dS的法线方向ndSdt

ddqddV

J＝enen dSdtdSdt 球面坐标系体积元：dVr2sindrddrsindrdrd

见教科书9页图， rdrd就是dS

ddSd J＝ersin＝ersin＝ersindtdSdt





q3q 

434a3a

3

ez,球面坐标系：＝ezercosesin

设球面内任一点P的位置矢量为r,且r与z轴夹角为，则P点线速度为： rrsine 3q3qrsin rsinee334a4a 2.7： 在真空中，点电荷q0.3C位于点A（25，-30，15）；点电荷q0.5C习题12

位于点B（-10，8，12）。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点P(15,20,50)处

的电场强度；

解： （1）设题目中坐标单位为m，则点电荷q1在原点产生的电场强度为：

q1 E1cos1excos1eycos1ez40r12

30ey25ex15ez0.3106 1222248.8510253015252302152252302152252302152 0.95ex1.14ey0.57ez V/mq2 E2cos2excos2eycos2ez24r02

8ey 10ex12ez0.5106 22222222248.85101210282122 108121081210812 8.38ex6.76ey10.1ez V/m

EE1E29.3ex7.9ey9.5ez

（2） AP1525ex2030ey5015ez10ex50ey35ezq1

EAPcosAPexcosAPeycosAPez0.1ex0.6ey0.4ez V/m2 40AP

AP25ex12ey38ez

q2 EBPcosBPexcosBPeycosBPez1.1ex0.5ey1.7ez V/m240BP

EEE1.2e0.1e1.3e V/mPAPBPxyz

解(2)： 球内电荷体密度为：J

一个直径旋转时，如图所示，求球心处的磁感应强度B。

q ,解： 由题意知， 电荷分布在导体球表面导体球的面电荷密度S24a 在球面上任取点P，OP与z轴的夹角为，z

则在P点的线速度为：

rasine

Jqasineqsineb 2S4a4a dsa 把球面划分为无限小宽度的细圆环:dlad，y

则：整个球面就是将所有细圆环叠加，x

即将d积分，从0到

借助于教科书例2.3.1的结果，设此时圆环半径为b

0Ib2ez 每个小细圆环在球心产生的磁感应强度为：B1223/2 2(bz)0a2sin2JSdl0qsin3edez 3z对应于本题，basin,zacos dB8a2a2sin2a2cos22 220dIasinezd B12(a2sin2a2cos2)3/20q30q

BdBesindezz0利用教科书公式（2.1.12） 8a6adI JsdlJsad 2.19：两平行于无限长直线电流I1和I2，间距为d，习题

试求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 0I解： 无限长直导线在距离r处产生的磁感应强度为：Be 2r I 直导线电流I，在直导线电流IB101e12处产生的磁感应强度为：2d

此时，直导线电流I2的电流元 I2dl2受到的磁场力为：

dFIdlB0I1I2dle0I1I2dle 21x2d2d

II 012ex 直导线电流I2单位长度受到的安培力为：2d

0I1I2同理可得：直导线电流I单位长度受到的安培力为：ex1 2d2.21下面的矢量函数中那些可能是磁场？如果是，求出其源量 J 1)Hea,BH(3)Hexaxeyay,B0H(0

(4)Hear,B0H(球坐标系）(2)Hex(ay)eyax,B0H

1(0a)2a0 1解：）B ＝0ea所以此矢量函数不是磁场。

2）B ＝(e(ay)eax)0exeyez0x0y J2aez 此矢量函数可能是磁场,其原量 xyz习题2.16：一个半径为a的导体球带电量为q，当球体以均匀角速度绕ayax0

1ar4 ）B ＝(0ear)00此矢量可能是磁场，其源量J为rsin

errersine

1J rr2sinr

00ar

2.22通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图2.22所示，试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。

解：将小圆柱中视为通过的电流密度为- J ，则空间任一点的磁场强度为两平行圆柱所产生磁场的叠加：

J在r=a的圆柱中产生磁场Ba J在r=b的圆柱中产生磁场Bb 0Jr000Jr'''Jre rbJre ra 2222BbBa2222 0bJr0Jbe rb''0b0Ja2Jre ra 2r2r2r22r'

0b2a2BJ(2r2r')在大圆柱外时：

2rr'

在空腔和大圆柱之间时：在空腔内时：

 0a2B0J(rr')0JdBJ(r2r') 222r' 由于d是一常数，所以空腔内的磁场是均匀的

习题2.27：同轴线的内导体半径a＝1mm,外导体半径b＝4mm，内外3 ）B ＝(0exax0eyay)0ex此矢量可能是磁场，其源量J为Jxaxeyyayez0z0actge2ae导体间为空气，如图所示，假设内、外导体间的电场强度为Ee100cos108tkzV/m。求：(1)求与E相伴的H;(2)确定k的值；(3)求内导体表面的电流密度；(4)求沿轴线0z1m区域内的位移电流。解：（1） 由麦克斯韦方程有： EeeezHH0(介质为空气） Ett100cos108tkzH1100kEsin108tkzet00H100k106k8对积分得： H＝cos10tkze＝cos108tkze8t0100 （2）对于自由空间，传导电流为0 DEH0 tt

eeez 106kEsin108tkze0  106kcos108tkz0

D 1000108sin108tkzet  106k2两边对比得：＝01010 0 1k2＝101600k10800(rad/m)3

(3)把内导体看为理想导体，由导体表面的边界条件： enHJS得：

106k106k8 JSecos10tkzecos108tkzez00

265cos108t1zeA/mz  3  、  D 100 8 思考题：2.16试从产生的原因，存

(4)由位移电流：Jd010sin108tkze 在的区域以及引起的效应等方面比  t  1 较传导电流和位移电流。 10088i J d dS  10sin1020 t  kz  dz 答：传导电流： I ，传导电流密 S0 10 1 8

 10sin10tkzdz 0 0 度： J ( r )，位移电流密度：

 10 10 1 相同点：传导电流和位移电 80 cos10t kz 流都可以在空间激发磁场，但两者质 k0 10 不同。（1）传导电流是电荷的定向运 10 cos 8  cos 10 8 t  k 而位移电流的本质是变化着的电  动， 0 10t k 场。（2）传导电流只能存在于导体中，

10410 k   而位移电流可以存在于真空、导体、 10 8 t  k 8 1  0 sinsin0.55sin10tA  电介质中。3）传导电流通过导体时 k 2  2 6

会产生焦耳热，而位移电流不产生焦

解：   E 

0

球坐标中散度的表达式

121 1E2(rEr)(sinE)(E) rsinrsinrr 12123225r4Ar[r(rAr)](rEr) ra时E2当0r2rrr

2  Ar ( r ) 0 ( 5 r  4 ) 此为球内电荷分布。



当ra时E12(r2Er)12[r2(a5Aa4)r2]0

rrrr(r)0

球外无电荷分布。

0习题：2.24一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场Bex5costmT之中，滑片的位置由x0.351costm确定，轨道终端接有电阻R＝0.2，试求感应电流i.解： 变化的磁场产生电场，根据法拉第电磁感应定律，能够求出感生电动势，进而可以求出感应电流。in ddtdBdS5cost*0.2*0.7xSdt 0.35cost1cost  in id0.35sint12costdt1.75sint12costmAinR习题3.3：电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为： 1＝0 aa2 2＝Acos a(1)求圆柱体内、外的电场强度；(2)这个圆柱体是什么材料制成的，其表面上有电荷分布吗，试求之。解： 已知了电位函数，能够通过电位函数的定义求解E(1) 由E得：a时，E0， a2a时，EAcos需要在柱面坐标系下求梯度。a2EAcosa2a21cos Aecosea2a2 A12cose21sine(2)由于圆柱体内部电场为0，所以圆柱体材料是导体。a2s00A12cos2A0cos由电位边界条件得：a其表面有电荷分布。习题3.5： 一个半径为R0的介质球，介电常数为=r0，其内均匀分布着体密度为的自由电荷，试证明该介质球2r＋12中心点的电位为R0。2r30S证明： 由电介质高斯定理DdSq,得：34R0当rR0时， D2dSS3334R0R02 D24r D22,33r33R0R0D22er, E12er3r3r4r3当r