混沌学

简介

混沌学（英文：Chaos） 在科学上,如果一个系统的演变过程对初态非常敏感,人们就称它为混沌系统。研究混沌运动的一门新学科,叫作混沌学。混沌学发现,出现混沌运动这种奇特现象,是由系统内部的非线性因素引起的。

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混沌学的起源和发展

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。今天，伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研

究似乎总是把人们对“ 正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。如果用 Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗杰斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn(k是依赖于生态条件的常数）可以用于在给定Po，k条件下，预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后， “罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹（E.N.Lorenz）教授于1963年《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的 “蝴蝶效应”。

混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。这是由它的成立的目的——解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。它的基本观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，

适用面最广的科学。

混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。

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混沌学的应用进展：

天文学方面：先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。

气象学：Massachusetts理工学院的Edward Lorenz 1963年混沌行为的实验证明使今天的气象学家承认大气的混沌使超过三两周到未来的精确的天气预报成为不可能。但是一些人希望混沌模型最终可使它有可能预报长期的天气趋势。

生理学：Berkeley的California的Walter Freeman说脑子利用混沌作为等待状态，他说：人类脑电图（EFG）的研究表明，当一位受试者在接受或处理信息时，脑电波图会变得有序，其余的脑研究者正在通过分析混沌的脑电图的图形寻找预报癫痫发作的方法。

国际政治学：Wayne州立大学为敌对的两个国家之间的军备竞赛编制了一个模型，一个两国都有反导弹防御系统模型实验表明，局势是混沌和不稳定的，最终将导致战争。

运输：混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速公路上，那你就把责任推给混沌。

艺术上：科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌，则却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术公司的董事长Kevin说，他支持“艺术或科学上的古怪或不同寻常的努力”。Kaos公司在95年主办了混沌芝家哥艺术节。艺术家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内容带回到了装饰术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来。95年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸引子：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸引子：混沌的奇观”轰动美国。

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混沌学对经典科学世界图景的变革

公文易文秘资源网 柏瑞平 2009-1-22 7:23:22 我要投稿 添加到百度搜藏

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摘 要：继相对论和量子论之后的混沌学对以牛顿经典力学为核心的经典科学世界图景进行了又一次深刻的变革，本文着重强调了混沌在机械确定性、线性、简单有序性几个方面的突破，确立了复杂性、非线性和随机性在现代科学中的地位，从而描绘了一幅充满生机与活力的丰富多彩的世界图景

摘 要：继相对论和量子论之后的混沌学对以牛顿经典力学为核心的经典科学

世界图景进行了又一次深刻的变革，本文着重强调了混沌在机械确定性、线性、简单有序性几个方面的突破，确立了复杂性、非线性和随机性在现代科学中的地位，从而描绘了一幅充满生机与活力的丰富多彩的世界图景。

关键词：混沌；经典科学；世界图景

从人类浩瀚的科学发展史来看，科学是在不断地突破以前正确理论的基础上大踏步前进的。以牛顿经典力学为核心的经典科学世界图景曾一度在科学发展史上树立至尊的地位，然而相对论和量子论却一次又一次地打破了经典科学一统天下的局面，而随后的混沌学更是出手不凡，对经典科学世界图景进行了全方位的变革。

混沌学作为探索复杂性的新学科，修正了经典科学只有必然性没有偶然性、只有运动没有发展的观念，突破了经典科学只有线性没有非线性的思维模式，超越了经典科学只有简单性还原性没有整体复杂性的图式。混沌学的出现解决了许多经典科学所无法解释的问题，使许多看似矛盾的现象奇迹般地“和谐相处”，从而为现代世界描绘了一幅崭新的图景。

一、混沌学打破了经典科学的机械式图景，描绘了一幅动态随机的多彩画面

在经典力学中，简化的力学模型人为地排除了偶然性，把必然性强烈地体现出来。根据牛顿的动力学方程，可以从物体的初始状态准确地计算出在此之前或以后的任一时刻的运动状态，这些运动状态之间具有确定的、必然的因果联系。拉普拉斯虽然对牛顿的一些错误观点作了尖锐的批判，但他却像牛顿一样积极宣传机械论，并把机械决定论推到了极端。他在《概率论》引言中说：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据，由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运

动都包括在同一个公式里。对于这个精灵来说，没有不确定的东西。过去和未来都会呈现在它的眼前。”［1］可见，从牛顿力学直到拉普拉斯决定论，一直都认为只要给定了认识对象一个初始条件，确定了某一质点的时空坐标的精确位置，就可以推算出它在以后任意时刻的空间位置以及所发生的一切，一切，比如对哈雷彗星出现的时刻和空间位置的推算。即使对于一片正在下落的树叶，只要给定足够的初始条件，这片树叶何时落在何处都能给出确切的答案。这就是机械决定论，即线性逻辑发展对未来的预测。这种确定性可以无限精确地定量化表述，给出关于认识对象完全精确的确定性知识。

但在混沌理论中，人们却认识到，有序和无序，完全确定性和不确定性之间，有着复杂的关系。 “混沌意味着决定论的随机性。”“混沌是非周期的有序性。”［2］ 由此可见，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性——不可重复、不可预测，这就是混沌现象。例如你点燃一支烟，那向上升腾的烟柱的运动轨迹和路径，就复杂得无法描述和追踪。在这里，完全确定性运动的初始状态，却演化出无法预测的结果。基因突变也是混沌的，但混沌不归结为纯粹的随机性和偶然性；混沌是有结构的，隐藏着某种深层的秩序，当条件适合时，这种秩序必以某种方式显现出来。从混沌理论看进化是随机性加反馈。［3］混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种 “奇异吸引子”现象等。混沌的随机性是内在的，是确定性系统的内在随机性，确定性与随机性相互对立共存于同一系统，控制空间中出现混沌的位置是确定的，奇怪吸引子是相空间中确定的点集合，吸引域中任一轨道都要进入吸引子是确定的。同时，随机性存在于确定性之中，确定性自身能够产生随机性，确定性自己规定自己为随机不确定性。因此，可以说，混沌架起了沟通确定性与随机性的桥梁。

经典科学只讲吸引不讲排斥，而混沌学则集偶然性和必然性于一身。由于混沌吸引子是一种奇异吸引子，它不仅有被吸引的一面，还有被排斥的一面。系统的运动在吸引子之

外的状态都向吸引子靠拢，从而保持“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是相互排斥的，这就对应着“不稳定”的一面。混沌就是通过吸引与排斥的对立统一，说明了非稳定性的起源、放大，以及和稳定性相互协调的机制，进而揭示了事物自己运动的原因。并在此过程中通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。可见，在混沌理论中，稳定性和不稳定性可以相互转化。倍周期分叉小周期失稳被大周期取代，直至一切周期失稳进入混沌。混沌是稳定与不稳定的统一体，是整体稳定与局部不稳定相统一。与经典科学的稳定和不稳定相对立相反，混沌学描绘的是一幅动态、演变的稳定和不稳定的辩证统一的世界图景。

二、混沌学突破了经典科学单调的线性图景，为非线性涂上浓墨重彩的一笔

经典科学广泛采用线性的研究方法，因此也被叫做线性科学。所谓线性，是指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动。当经典科学面对非线性现象时，总是设法略去非线性因素，或者把非线性问题简化为线性问题来处理。牛顿力学的巨大成功，直至爱因斯坦的广义相对论，甚至量子力学，一直都在运用线性逻辑作为科学描述的有效工具，并且一直是成功的。但混沌理论的创立

混沌学对经典科学世界图景的变革

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摘 要：继相对论和量子论之后的混沌学对以牛顿经典力学为核心的经典科学世界图景进行了又一次深刻的变革，本文着重强调了混沌在机械确定性、线性、简单有序性几个方

面的突破，确立了复杂性、非线性和随机性在现代科学中的地位，从而描绘了一幅充满生机与活力的丰富多彩的世界图景

却极大地动摇了这一信念。真实自然的联系更多的是非线性联系，像牛顿质点那样可以简化的对象，对于大多数自然现象来说是并不存在的。因为线性逻辑的联系，仅仅是大自然中的一种局部现象。大多数自然现象都有着与整个宇宙自然背景的非线性联系，而它与其它事物的关系，也不能简化为线性逻辑的关系。

进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。因为非线性是指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两只眼睛的视敏度是一只眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，而实际却是 6～10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。由于非线性具有横断各个专业、渗透各个领域等特性，因此可以说混沌无处不在，无时不有。 如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己也是非线性的。医学研究表明，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的。因此，可以说，混沌正是生命力的表现。

由于经典科学几乎是线性律的一统天下，因此在那里没有运用自我放大的正反馈手段达到自我创新的过程。而混沌理论中，涨落放大的机制是“对初始条件的敏感性”。涨落是由系统内部产生出来的与外因无关的非稳定，它与耗散一样，总是无法完全排除的。因此，彭加勒认为，初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差。因此，预言变得不可能。洛仑兹还用“蝴蝶效应”来形象地描绘这种现象，也就是说，虽然我们可以用一个完全确定的模型来描述大气运动，但是，只要一进入混沌状态，哪怕是一只蝴蝶扇动翅膀所造成的影响，也足以使一个地区的整个天气为

之改观。“对初始条件的敏感性”丰富了我们对非线性作用的认识，它“是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的结果” ［4］。

三、混沌学揭开了经典科学的简单面纱，绘制了一幅简单与复杂相交织的立体图景

简单性一直是经典科学追求的目标。经典科学认为，复杂性只是现实的表面现象，追求结果的简单性和统一性则构成了它的本质特征。牛顿就努力从所有可能的合理中去寻找宇宙万物运动最简单的原因，决不“追求多余的原因”。但在混沌理论中，简单与复杂的关系呈现出种种深刻的关联。正如莫兰所说：“复杂性是简单性和复杂性的统一。”［5］简单系统在运动过程中可能产生复杂行为。比如，1963年建立的洛仑兹动力学方程，是一个描述大气对流状况的数学模型，这个方程描述的系统只有三个变量，但其运动却是混沌的。此外，复杂的行为最终可能以简单的形式表现。混沌中能够生出秩序、产生规则、创立新结构，各式各样的涡旋可以看作是从杂乱无章的世界中产生结构化形式的范例。比如台风，即热带气旋就是一种涡旋，它在空气的剧烈扰动中生成，其结构却能够稳定地维持一周左右。另外，引起复杂行为的原因并不一定复杂，也可能简单。表面上看来，混沌显得高深莫测、极为复杂，但是，它形成和产生的机理却可以是极其简单的，只需要某种非线性作用的不断重复便能够构造出来。比如，数学分形具有无限的细节、无穷无尽的复杂性，但究其原因，只是一个很简单的数学规则在计算机中反复应用的结果。还有复杂得令人叹为观止的白蚁巢穴，也不过是成千上万个白蚁不断重复同一个简单动作的结果。

因此，混沌是一种有规律的复杂现象，这种复杂的事物具有分形结构，虽然形式上很复杂，但本质上却很简单，只用几条规则便可破译它的奥秘。因为分形恰巧有这样的特点：看上去好像全无规则、复杂混乱，却可以用极少的信息表述出其全部信息。换句话说，分形具有一种从简单进入复杂的能力，是一个能够在简单中孕育复杂、将无限融于有限之中

的统一体。莫兰认为：“复杂性思想不是简单性思想的对立面，它把后者加以整合。”［6］如果只从简单性的观念来看，简单性和复杂性是彼此排斥、互不相容的。然而，由于复杂性观念是包容其对立面的，所以如果从它出发来看，混沌学中复杂性是把简单性加以相对化而包含于自身之中。混沌使人们原来限于简单系统的观念发生了性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂的内在联系。

总之，混沌学突破了经典科学所描绘的确定性、可还原性、线性有序性、因果决定性、简单性等科学世界的图景，呈现出一幅动态随机、非线性，寓简单与复杂、有序与无序于一体的多彩多姿的生动画卷。 难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学。

参考文献：

［1］弗兰克. 科学的哲学［M］. 许良英，译. 北京: 人民出版社, 1985: 282.

［2］李曙华.从系统论到混沌学［M］.南宁：广西师范大学出版社，2002：242.

［3］杨家富,杨家宽. 试论混沌理论对现代科学技术的影响和作用［J］. 南京林业大学学报：人文社会科学版， 2003，3（3）：23.

［4］易知行.

混沌学中的简单与复杂

何谓简单？何谓复杂？

我们对于简单的理解有很多，比如说，当组成系统的要素只有有限的个数，最好是可以搬着手指数得过来，就说这样的系统是简单的，这是构成的简单。如果系统总是在不断重复中运行，像钟摆、像绕太阳运动的行星一样周而复始，就说这是简单的周期运动，这是行为的简单。如果物体的形状用有限个直线和圆就可以描述，外观舒展整齐、线条洗练，就说它是几何化的（当然是欧几里得几何），这是形状的简单。还有作用的简单，如果系统中要素间的相互作用是线性的、可叠加的，……

对应着简单，对于复杂的认识也有不少，比如说，要素众多、盘根错节的运动轨迹、难以描述的图形、多变的结构、非线性作用，等等，都是从不同角度理解复杂。迂回一点的话，我们还可以从解决问题所需要花费时间的多少、所编计算机程序的长短等，判断事情复杂与否。

在上个世纪70年代之前，人们对简单或复杂的看法很明确，简单就是简单，复杂就是复杂，因此，简单系统的行为必然简单，复杂行为的原因肯定复杂。然而，在混沌学中简单与复杂的关系可不简单，呈现种种深刻的关联。

首先，简单系统能够产生出复杂行为。混沌可以出现在一些极简单的确定性系统中，具体地说，它只要求构成要素不低于三个，因此只有三个要素的系统就可能具备极复杂的行为。比如说我们已经习惯了地球年复一年地绕太阳运行，这是个简单力学系统中的简单周期运动。但如果让地球绕两个太阳运行，虽然仍是简单力学系统，只不过由两个天体增加到了三个，地球的运动便将复杂到无法想象的程度，就像一只被无数只大脚乱踢的足球。需要注意的是，这时 “地球”的运动仍是严格遵循力学规律的。

1963年建立的洛仑兹动力学方程，一个描述大气对流状况的数学模型，也向世人展示了这一现象。这个方程描述的系统只有三个变量，其运动却是混沌的。我们可以试着感受

它的复杂：想象天空中有一只美丽的蜻蜓，它不是在自由的飞翔，而是按照一个极为确定的指令——洛仑兹动力方程——飞翔，那么它所留下的轨迹就正好是洛仑兹动力学方程描绘的运动轨迹，结果你就看到了一种奇特的形状——像一只展开了双翼的蝴蝶（见图），有着永不相交、永不重复的高深莫测的圈和螺线。这样，我们便见识了非常简单的系统里出现极其复杂运动的实例。

其次，复杂的行为可能表现为简单的形式。混沌中能够生出秩序、产生规则、创立新结构，各式各样的涡旋可以看作是从杂乱无章的世界中产生结构化形式的范例。每年都会光临我国沿海地区的台风即热带气旋是一种涡旋，它在空气的剧烈扰动中生成，其结构却能够稳定地维持一周左右。木星上的大红斑是两股强大气流之间的巨大漩涡，自16年发现它的存在以来，其形状、结构一直没有什么大的变化。而将盛有牛奶的平底锅放在热源上缓慢加热，被加热的奶则会自发地形成稳定的蜂窝状的涡旋——著名的贝纳德花纹。

第三，复杂行为的原因未必复杂。混沌的性质显得高深莫测、极为复杂，但是，它形成和产生的机理却可以是极其简单的，只需要某种非线性作用的不断重复便能够构造出一些来。比如，数学分形具有无限的细节、无穷无尽的复杂性，却只是一个很简单的数学规则在计算机中反复应用的结果；像大师傅制作千层饼一样不断交替进行拉伸和折叠动作也可构造出一种混沌；就连复杂得令人叹为观止的白蚁巢穴，也不过是成千上万个白蚁不断重复同一个简单动作的结果。显然，复杂性可能产生于非常简单的事物之中，混沌学更为重视这一发现，并把它看作是复杂性研究的最大收获之一。

在混沌学看来，客观世界中的复杂事物可以分为两种：一种是无规可循造成的复杂即无序的混乱，这种复杂的特点是，如果图景是复杂的，那么影响这个系统的规则必定很多；一种是有规律的复杂即混沌，这种复杂的事物具有分形结构，虽然形式上很复杂，但本质上却很简单，只用几条规则便可破译它的奥秘。因为分形恰巧有这样的特点：看上去好像

全无规则、复杂混乱，却可以用极少的信息表述出其全部信息。换句话说，分形具有一种从简单进入复杂的能力，是一个能够在简单中孕育复杂、将无限融于有限之中的统一体。

混沌学的研究还表明，大自然似乎异常偏爱分形，证据是自然界中以第二种复杂事物居多数。想一想道理也很简单，因为有了分形，大自然就不必运用无穷多的信息去构筑极度复杂的世界了，她只需使用有限的、少量的信息，通过简单的迭代过程，便可“创造”出丰富多彩、精美绝妙的万物。于是我们看到，大自然中有许多精巧绝伦的分形奇迹，比如说，蜿蜒曲折的海岸线、沟壑相连的水系、凹凸不定的浮云、枝繁叶茂的大树、动物身上斑驳的花纹、人体内的血管体系等等。

我们人类及其活动应该是最具复杂性的，现已发现在人类社会中也存在各种各样的分形结构。比如说，正常发育的股票市场上股票的变化曲线就是一种分形，它实际上是诺亚效应和约瑟效应同时起作用的结果。诺亚效应意味着不连续的跳跃，比如相邻的股价，一个极高，一个极低，相差悬殊。约瑟效应则意味着持续性，涨或跌可能持续地发生，股市经历牛市（或熊市）越久，其势头就越有可能持续。在它们的共同作用下，股市存在持续涨（或跌）的趋势，但是这种趋势的来临或消失却可能是突然的。而且，这种持续和跳跃并存的规律会在不同的时间跨度上同样地表现出来，不论是一天、一月、还是一年。

混沌学展示了看问题的崭新视角，让我们窥见了客观世界精心藏匿的一角。这也许会使我们对混沌学产生更高的期望，希望它能够提供具体地解决我们身边问题的方法，不过遗憾的是作为一门发展中的科学，它尚不能满足我们。

混沌学研究现状与展望

非线性系统在一定参数范围内所表现出的内在的随机性已经渐渐受到更多学者的注

视。本文旨在用尽量浅显的语言概述有关混沌理论的主要内容，使那些没有接触过混沌的人尽快地了解、认知它，同时本文的作者还想通过此种形式与广大非线性动力系统的研究者们相互交流、切磋，以期对混沌学的更深入的探索。

关键词： 非线性 混沌 确定性 内在随机性 自相似结构 奇怪吸引子 分形 分岔

一、引言

１.１、混沌与非线性科学

本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。 混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。 \"线性系统\"是我们熟知的。如函数 就是一个最简单的线性函数，此函数在（x,y）平面中的图象是一条直线，函数y=f (x)对自变量x的依赖关系是\"一次\"多项式。但如果函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就象抛物线函数 （其中 项是非线性项），那么这个函数所描述的系统就是\"非线性系统\"。可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比\"线性系统\"更多、更普遍。 \"线性系统\"与\"非线性系统\"的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能！第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。可以用一个不太准确的例子来说明这种现象──非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度（可以是各个方向的）的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去；而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡；在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点（鞍点）和椭圆不动点。

正是非线性系统的这种特有的对初值的敏感性，使得我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。非线性系统往往错综复杂，对它的进一步研究呼唤着新的方法和思维方式。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。混沌理论（chaos theory）作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学。

１.２、混沌的含义

正像给\"生命\"下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。对此，专家们的观点是──哈肯：\"混沌性为来源于决定性方程的无规运动。\"费根包姆：\"确定系统的内在随机运动。\"洛仑兹：\"确定性非周期流。\"赫柏林：\"没有周期性的有序。\"钱学森：\"混沌是宏观无序、微观有序的现象。\"...... 综上所述，我们可以做出如下的理解：混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；其不可确定性或无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的\"非线性交叉耦合作用机制\"，这种\"非线性交叉耦合作用\"的数学表式是动力学方程中的非线性项，正是由于这种\"交叉\"作用，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。 在这里我们谈到了确定性，所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给定了初始条件，它的解（或称为运动轨道）就是唯一确定的。在

某些情况和给定的控制参数下，解会呈现出无序的混乱状态，也就是上面所说的混沌状态。这种确定性系统的混沌现象本质上不同于不受确定性方程约束的所谓完全随机的混乱状态。 混沌现象是\"确定性系统\"的一种\"内在的随机性\"，它是有别于可能由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声）而产生的外部随机性。\"确定性\"是因为它有内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生；而\"随机性\"指的是不规则的不能预测的行为。为了与类似于大量分子热运动的这种随机性和无序性加以区别，称我们所研究的混沌为非平衡混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态混沌。平衡态混沌与非平衡混沌的另一个差别在于：平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定；非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。只有经过长期演化，结果才是不确定的，不可预知的。 在分析力学问题时，我们通常是在相空间内研究它的运动轨道。所谓相空间就是由所要研究的物理量本身（位移、速度、压力和温度等）作为坐标分量所构成的广义空间，最常见的相空间是由位移和速度分量构成的相空间。在每一个确定时刻，所有这些物理量的取值在广义相空间内代表一个点，这些物理量随时间的演变就是在相空间内从一个给定的初始点开始的一条动力学轨道，而混沌状态就是相空间运动轨道所表现出来的无序和不规则性。 就我们考虑的物理系统而言，根据它在相空间内随着时间的演变相体积是否收缩可以把系统区分为两大类──保守系统和耗散系统。这两个系统中出现的混沌现象有着非常明显的本质差别，它们所遵循的物理规律也完全不同，我们必须分别加以讨论。所谓保守系统是指在相空间内其相体积随时间的变化始终保持不变的动力学系统。与此相反，耗散系统是指在它的相空间内其体积随时间的变化不断减小的动力学系统。人类认识混沌现象的过程也渐渐由保守系统混沌走向耗散系统混沌。正像现实生活中非线性现象远远多于线性现象一样，耗散系统的混沌现象比起保守系统的混沌更加普遍，对耗散系统混沌的更深一步研究将使物理学真正走进人们的日常生活中，在更大的范围内得到统一与和谐。

二、混沌学简史

\"混沌\"一词译自英文\"chaos\"，\"chaos\"一词来自希腊文\" \"，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的宇宙。 我国自古就有用\"混沌\"状态来描述万物伊始的宇宙。《老子》一书中所说\"有物混成，先天地生。\"就是一例。而《庄子》三十三篇中关于浑（混）沌的论述则更赋哲理，《庄子》内篇七未尾有这样一段话：\"南海之帝为倏。北海之帝为忽。之帝为浑沌，倏与忽时相迂於混沌之地，浑沌待之甚善。倏与忽谋报混沌之德，曰：人皆有七窍。以视听食息，此独无有，当试凿之。日凿一窍，七日而混沌死。\"可见，《庄子》一书中的浑沌是一位君主的名字。此人无眼、无鼻、无口、无耳，但对南、北方君主很好，他们为了报答，试图帮助浑沌进行手术，开七孔于头部，一天一个手术，七天便使浑沌这位君主死掉了。 倏忽是迅速灵敏的意思，混沌则表示无知愚昧。虽然上文的混沌也代表一种无序，但这与当代混沌科学是信息的起源恰恰相反。当代混沌的含义是指非平衡态的混沌，是无序中的有序，是\"活\"的无序，而庄子的混沌是平衡态的混沌，是\"死\"的无序。庄子的文章主要是通过自然现象来隐喻哲理，他认为为人处事不应一触即跳，有时不如伪装成一个闭目塞听的人。这是对人类行为具备混沌的必要性的最早哲学观点，另外《庄子》的文章也论及了混沌的重要性：\"万物云云，各复其根，各复其根而不知，浑浑沌沌，终身不知，若彼知之，乃是离之。\"这段文字表达了这样一个观点：认为混沌是介乎可知（如确定论）与不可知（如概率论）之间的潜在的\"万物云云\"的根源。庄子为研究个人在政治生活中的策略而引入混沌的思想，可谓是一大贡献。然而，我们看到，它的结论毕竟没有任何数学或政治经济学的模型。当代混沌学概念则是建立在严格慎密的数学框架中的。 自从牛顿三大定律及万有引力定律问世以来，确定论的思想就在人们心中根深蒂固，这种观点是伟大的法国数学家和自然哲学家拉普拉斯强烈主张的。他认为如果我们能够知道宇宙中所有质点的位置和速度以及它们之中所有的力的性质，则我们就可以给出宇宙在所有时间中的行程。简单地讲，从初始状态的精确知识可以导出最终状态的精确知识。在牛顿力学中，这种信念是正确的，并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真实世界里，初始状态的精确知识是得不到的，一个量不管测量得多么精确，我们总能

要求测量得更精确些。尽管一般说来，我们可能认识到，我们没有能力知道这种精确知识，但通常我们假定，如果两个分别进行的实验的初始条件几乎相同，则最后结果亦将几乎相同。对于大多数具有光滑特性的\"常规\"系统，这种假设是正确的，但对于某些非线性系统，它是错误的，并且结果是确定性的混沌。 早在上世纪末，伟大的法国数学家庞加莱就已经深刻地了解了这种可能性以及定量的结果。在他的《科学与方法》一书中写道：\"初始条件中的微小差别会在最后现象中产生非常大差别的情况也可能发生，前者的微小误差将在后者中产生巨大的误差。预言变为不可能，而我们就有了偶然现象。\"尽管庞加莱有惊人的洞察力，但直到本世纪６０年代初期，确定性混沌实际上仍然没有被仔细考察过。 交互式计算机的诞生终于为细致研究混沌提供了有力的工具。１９６３年，气象学家洛仑兹根据牛顿定律建立了温度压强、压强和风速之间的非线性方程 （下划直线的是非线性项，x代表对流的强度，y表示所考虑的气体薄层中气体向上流或向下流的温度差，z表示温度分布的非线性）他将该方程组在计算机上进行模拟实验，因嫌那些参数小数点后面的位数太多，输入时很繁琐，便舍去了几位，尽管舍去部分看来微不足道，可是结果却大大出乎意料：该气象模型竟与没有舍去几位小数所得的气象模型大相径庭，变得完全不同。因此，洛仑兹断言：\"长时期\"天气预报是不可能的。在澳大利亚的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北美佛罗里达洲的一场龙卷风。这就是天气系统的\"蝴蝶效应\"。洛仑兹的论文发表在大气科学杂志上，当时并没有引起注意。而真正最早给出混沌的第一个严格数学定义的人是李天岩。他和约克教授受到洛仑兹论文的启发在１９７５年１２月份那期《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为\"周期３意味着混沌\"，在这篇文章中，他们正式提出混沌（chaos）一词，并给出它的定义和一些有趣的性质。此后由于著名生态学家梅( May)的大力宣传，chaos一词不胫而走，渐渐被广大学者所认知。紧接着在１９７８年，费根鲍姆（Feigenbaum）利用梅的模型发现了倍周期分叉进入混沌的道路，并获得了一些普适性常数，这更引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特（Mandelbrot）用分形（fractal）一词来描述自然界中传统的欧几里德几何所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象，使混沌现象中的奇怪吸引子有了对应的数学模型。８

０年代后，混沌理论的研究一下子成为了热点，不仅是数学家、物理学家，而且生物学家、化学家、医学家、经济学家都不约而同地寻找不同形式的无规则性之间的联系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因为它提供了把复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然的行为。混沌是一种关于过程的科学，而不是关于状态的科学；是关于演化的科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力。

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三、混沌理论

#1

３.１、混沌产生的数学模型

科学中有一些简单而并不平庸的典型问题，围绕它们可以叙述和掌握相当广泛的科学内容。一个例子是二体问题，从经典力学中的开普勒问题、相对论力学中的水星近日点进动，到量子力学中的氢原子和量子场论中的兰姆谱线位移，贯穿了经典和近代物理学的全部发展史。另一个例子是花粉颗粒在液体中的布朗运动，从爱因斯坦的直观处理和朗之万方程、福克─普朗克方程、到涨落耗散定理的现代表述和随机过程的连续积分表示，引出了整个物理学中的概率论描述体系。这两个例子，一属确定论，另一个则为概率论。恰好对于确定论系统中的随机性，即混沌现象，也存在着这样的代表性模型，这就是一维迭代过程。可以说，天体力学，尤其是严格求解的二体问题是确定论思想的精华和典范，概率论的发展史可以认为是对布朗运动的理解史，而一维迭代在混沌理论研究中的地位则绝对不亚于前两者。

３.１.１、一维迭代

迭代是研究非线性方程演化过程的有力工具。为了研究一个物理系统，我们可以把系统的状态用一组变量x,y,z...描述，它们都是时间t的函数，同一个系统还受某些可以调节的\"控制参量\"a,b,c...的影响。最简单的情景是固定一组参量，把时间变化成等间隔的t,t+1,t+2...，看下一个时刻的系统状态如何依赖于当前状态。在只有一个状态变量x时，这个演化过程可以由一个非线性函数描述。（此处略）

3.1.2二维非线性系统

一维非线性映射都是不可逆的，只对应于耗散系统，而二维映象在许多方面起着从一维到高维的衔接作用。二维系统的混沌现象，不仅会出现在耗散系统中，而且它也可能出

现在保守系统中。 对于保守系统来说，由于系统的哈密顿函数Ｈ＝常数，系统存在一个能量积分，所以一维保守系统不可能出现混沌。 二维哈密顿系统中研究较多的是所谓\"标准映象\" 它出现在许多自由度为２的非线性振子理论中，是带电粒子在环行磁场中运动的一种模型。 二维耗散系统中研究最多的一例是所谓埃农（Ｈénon）映射， 只要b≠0，变换就是可逆的，b＝１时，它保持相体积不变，是一种保守系统。b<１对应耗散系统，b＝０则回到一维映射。埃农等人研究发现对于某些控制参数和初值，迭代结果迅速收敛到（x,y）平面上接近一维的\"吸引子\"上。这个吸引子很像是平滑曲线，但它具有宽度。如果取来吸引子的一小段不断放大，可以看到越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构。这是第一个实际观察到的具有非整数维的\"奇怪吸引子\"，我们在下一节中还要重点介绍。 二维映象中在某些方面表现出了与一维线段映象不同的性质，比如：对b=1的埃农映象的研究给出的结构普适常数δ＝8.7210和标度因子α＝4.018均与一维单锋映象有所不同。但我们看到一维非线性迭代的普适特点在高维映象中仍然保持下来。

3.2奇怪吸引子与分形

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

3.2.1平庸吸引子

我们来考虑常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道 时的极限行为。极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。 如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，

这就是不动点。不动点是零维的吸引子。一维以上的系统原则上就可能具有不动点。 如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子──极限环。只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。通常极限环是由不动点发展起来的。当某个不动点在参数变变化过程中由稳定而失稳，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，这个过程称为霍普夫分岔(hopf)。 由不动点到极限环的霍普夫分岔可以形象的理解如下：一个稳定的不动点附近，代表系统运动状态的流线如图８(a)所示，从四面汇聚到不动点；不稳定的不动点是流线的源，所有的流线都向外散开，如图８(b)所示。假定控制参数的微小变化，使不动点由稳定而失稳，不动点附近的局部形势就要由图８(a)变到(b)，但一般说来，参数的这种微小的变化还不足以使整个流域内\"河水倒流\"，距不动点较远处的流线仍应是向汇聚的。近处向外，远处向内，两种流向统一的办法，就是在中间出现一条封闭曲线，成为内外两套流线的共同极限，如图８（c），这就是极限环。以后我们将知道，霍普夫分岔是通向混沌的一条重要途径，类似的还有一维极限环到二维环面的霍普夫分岔。 二维环面是三维及高维耗散系统经常出现的一种吸引子。其表现为相空间中相应维数的环面。二维环面上两个运动方向的频率呈有理比例关系时，才会有周期运动，如图９；若是无理数，那么其运动可用在一个环面上移动而自身永远不封闭的螺旋线来表示，这种运动叫做准周期运动，如图10 综上所述，非线性系统可能具有0,1,2...等各种维数的平庸吸引子。高维吸引子最可能有准周期运动，而不是周期振动。然而自吕勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以来，人们越来越清楚地看到，一般说来准周期轨道成为吸引子的可能性不大，更可能出现的是所谓奇怪吸引子。

3.2.2奇怪吸引子

奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征：

（1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中\"添满\"有限的区域，形成奇怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质： （2） 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母\"d\"表示。 维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘以2，就得到另一个线段，长度为 =2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体 ，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为 ,两边取对数，得维数 。 一旦把上式的定义加以推广，我们就完成了一次概念上的飞跃，d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母\"Ｄ0\" 表示。对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为： 上式定义的分维称为容量维Ｄ0，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。 可以证明，拓扑维d和分维Ｄ0满足如下关系： d≤Ｄ0 式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。参见图11 考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三

等分，舍弃中段，剩下的两段再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维Ｄ0。当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当 时，N= 。于是可得康托集合的容量维为 由此可见康托集合满足关系d≤Ｄ0 在解决实际问题时，容量维往往不能非常准确的反映不规则度，因此，又有人提出了信息维和关联维等，有关它们的具体定义及运算方法，我们在此将不做细致讨论。 奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。

3.3研究混沌的主要方法

对于混沌现象的客观反映就需要更严谨的数学描述以及更直观的物理现象。在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析已是研究混沌的最有效、最直观的工具。

3.3.1功率谱

周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现\"噪声背景\"和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。 在很多实际问题中（尤其是对非线性电路的研究）常常只给出观测到的离散的时间序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子（零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子）的不同状态的信息呢？ 我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将Ｎ个采样值加上周期条件Xn+i=Xi，则自关联函数（即离散卷积）为 然后对Cj完成离散傅氏变换，计算傅氏系数。 Ｐk说明第k个频率分量对Xi的贡献，这就是功率谱的定义。当采用快速傅氏变换算法后，可直接由Xi作快速傅氏变换，得到系数 然后计算 ，由许多组{Xi}得一批{Pk'}，求平均后即趋近前面定义的功率谱Pk。 从功率谱上，四种吸引子是容易区分的，如图12 (a)，(b)

对应的是周期函数，功率谱是分离的离散谱 (c)对应的是准周期函数，各频率中间的间隔分布不像(b)那样有规律。 (d)图是混沌的功率谱，表现为\"噪声背景\"及宽锋。 考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端。

3.3.2李亚普诺夫（Lyapunov）指数

确定混沌区后，需要进一步对吸引子进行刻划。功率谱分析仍然有用，但更重要的是计算李亚普诺夫指数。 对初始条件的敏感依赖性是确定性系统混沌的关键特性。这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时间的推移，它们将指数性的运动开。就拿差分方程或离散映射所描述的系统Xn+1=f(Xn)来讲，若初始值X01和X02相差d 0=X01-X02，那么n次迭代后 (3.6) 其中λ称为李亚普诺夫指数。代表相邻点之间距离的平均辐射率。又因为 故 从（3.6）式可以清楚的看出，系统要产生混沌必须具有正的李亚普诺夫指数。 图13反映的是一维迭代(3.3)式的李亚普诺夫指数随参数μ的变化图 从上图我们看到，对于周期轨道，指数λ小于零，在分岔点处，λ＝０，而在混沌区中，λ是一个正数，但对于混沌区中的周期窗口，λ又忠实的小于零。 李亚普诺夫指数的大小刻划了吸引子的动力学，反映了系统产生或消除不确定因素的速率。初始不确定性经多少时间将覆盖整个吸引子由最大的指数决定，而对吸引子摄动的渐近消失则由最小的指数控制。

3.3.3其它方法

描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的还有如确定奇怪吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫熵、对周期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自相似

结构的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫(Melnikov)函数也是确定混沌的一个重要方法。由于牵扯的知识点过于繁杂，本文将不得不以粗线条形式略述，具体内容请参阅有关文献。

3.4通向混沌的道路──分岔

了解如何通向混沌是很有意义的。有时候我们需要人为地制造混沌，如保密通讯，但一些时候，我们又不允许系统出现混沌，这都要求我们对通向混沌的道路了如指掌。 目前，公认的通向混沌的道路有三条：倍周期分岔，阵发混沌和准周期进入混沌。与之对应的是非线性方程中三种不同类型的分岔━━倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。 对于倍周期分叉（又称叉形分岔）如何进入混沌，大家在一维迭代中已经有了很深的认识。，切分岔道路实际上可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式，比如在一维迭代（3.3）中， 从大于1.75渐渐减小到小于1.75时，系统从原来的周期轨道进入混沌。对照3.1.1中的图６，我们也可以了解到， 从大变小的过程中，迭代函数也由原来的与角平分线有两个交点渐渐变到一个交点（相切），直至无交点。但注意到整个过程中，稳定不动点仅有一个，而叉形分岔则与此有本质的不同，在变化过程中，始终有两个稳定不动点。即这两点满足S≥1（见3.5式的推导），图（14）形象地反应了这种情况。（其中s表示稳定轨道，u表示不稳定）。 hopf分岔同样可以导致混沌。吕勒、塔根斯最初证明了只需经过四次hopf分岔就可以产生混沌，那就是：不动点→ 极限环→ 二维环面→奇怪吸引子（混沌）。后来，他们又和纽豪斯（Newhause）一齐放松了数学条件，指出只需前三部分就够了，即二维环面上的准周期运动，可以直接失稳而成为奇怪吸引子。 综上所述，确定性系统中的混沌是这样一种运动，它的运动落在一个称为奇怪吸子的分维几何体上，相应的功率谱为连续谱，而且至少有一个正的李亚谱夫指数……一共有三种通向混沌的道路，而且这些非线性系统中存在某种普适性。

四、混沌学的哲学思考

哲学是自然科学、社会科学和思维科学的概括和总结。自然科学的发展对哲学发展的促进作用是有目共睹的。本世纪６０年代以后，混沌理论的兴起导致一系列在\"紊乱\"现象背后的惊人发现，引起人们广泛的注意。混沌不仅是个科学问题，也涉及到许多重要的哲学问题。特别是在有序和无序、稳定和非稳定、简单和复杂、局部和整体、决定论和非决定论等矛盾关系和辩证转化的条件和机制方面，给人以新的启迪。 我们看到，对混沌学的研究为人类开辟了一个新空间，很多原有的概念在此空间中将被深化，将进一步地反映出其本质。就像波和粒子的概念在量子力学中得到统一一样，在混沌领域中，原有的很多经典的概念在此也得到了统一。我们可以说混沌反映的是一种无序中的有序，它是确定论中不确定性，是整体的方向性与局部的非方向性，是在稳定与失稳中不断演化，原因非常简单，而结果又是错综复杂的一类现象。它深刻地反映了对立统一的哲学思想。 混沌学的诞生直接导致了对确定论与概率论的讨论。确定论的思想自牛顿以来就根深蒂固，过去随机性只是和不可逆联系在一起的。现在，在确定性的、可逆的牛顿方程内部，出现了内在的随机性。可见，确定性和随机性之间的界限并不是不可逾越的。确定论和概率论描述之间存在着由此及彼的桥梁，这座桥梁或许将是混沌所表现出的决定性的内在随机性。 对于一个非线性系统，我们依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。在这一系列相变过程中，系统的有序程度不断提高，对称性不断减少，不断增加有序性是对无序的不断否定，而出现混沌是有序程度增加到了最高程度，是系统最有序的表现，也是系统呈现一种新的无序，是对有序的更否定；通过有序程度的不断增加，经过倍周期分岔达到非平衡混沌，不同于原来系统平衡态时呈现的无序的混沌，它有分数维数，有奇怪吸引子，有无穷嵌套的自相似结构，它在一个尺度上的表现的随机现象，会以同样的形式在不同尺度上重复出现。平衡态混沌与非平衡态混沌之间的相似与区别，以及它们之间通过有序程度的不断改变而发生的联系，具体形象地体现了哲学上的否定之否定的原则，使我们对这一原则有了更深刻的认识。 然而混沌这门新科学毕

竟对当代哲学思想尤其是物理哲学有着不小的冲击。对以下两个问题的诠释相信不是１－２个小时可以解决的，当然也不是千八百字就能说得清楚的，在此，我仅仅提出，对它们的解决或许是建立在对混沌理论更深入、更本质的理解上的。 （1）.标度不变性对应的守恒律是什么？ 就像空间的均匀性对应着动量守恒，空间的各向同性对应着角动量守恒，时间的均匀性对应着能量守恒一样，混沌系统（尤其是保守系统）的标度不变性对应着什么守恒呢？ （2） .混沌系统的时间箭头又该如何解释？ 原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 方向和沿 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发。

五、混沌学的发展趋势及应用前景

分岔与混沌决不只是一堆有趣的数学现象，它们在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。 我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。 如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的\"蝴蝶效应\"，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改

善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术。 同时，混沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。 符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种从一维向 空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。 另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。 在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。对混沌的控制和同步的实验研究将有另文介绍，在此就不做赘述。 混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想的一场？──只有事实才能说明一切。