信号与系统 于敏慧(第二版)第三周作业答案

2.20 给定系统的微分方程、输出信号的起始条件以及激励信号，试分别求它们的完全响应（t≥0）,并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。

dy(t)d2y(t)5++6y(t)=x(t),y(0−)=y′(0−)=1,x(t)=u(t) （1）

dtdt2解：（1）特征方程：λ+5λ+6=0，特征根为：λ1=−2；λ2=−3 齐次解：yh(t)=C1e−2t2+C2e−3t

1 6特解也即强迫响应：yp(t)=B；代入原方程(1)解之：B=系统完全响应：y(t)=C1e−2t+C2e−3t+1 6yzi(t)=C1e−2t+C2e−3t

因为：yzi(0−)=C1+C2=1；y′zi(0−)=−2C1−3C2=1 解之：C1=4,C2=−3 故零输入分量：yzi(t)={4e下面求零状态响应：

−2t−3e−3t}u(t)

yzs(t)=C1e−2t+C2e−3t+yzs(0)=C1+C2+11C1=−,C2=

231=061 6y′zs(0)=−2C1−3C2=0

故零状态分量：yzs(t)={−161−2t1−3te+e}u(t) 23

其实零初始条件下应用求系统传递函数再求反变换方法得到零状态响应更简单： 对原方程两边同时求拉氏变换，得 因为输出的拉氏变换：y(s)=11111 ⋅2=−+ss+5s+66s2(s+2)3(s+3)故零状态分量：yzs(t)={−1−2t1−3te+e}u(t) 23178系统完全响应：y(t)=yzi(t)+yzs(t)={+e−2t−e−3t}u(t)

62316自由响应分量：(e−2t−728−3t1e)u(t)；强迫响应分量：u(t)；

632.22 求下列因果离散LTI系统的单位脉冲响应。

（1）y[n]=x[n]−3x[n−1]+3x[n−2]−3x[n−3]; （2）y[n]+51y[n−1]+y[n−2]=x[n] 66解：（1）令x[n]=δ[n]，则此题可直接写出： h[n]=δ[n]−3δ[n−1]+3δ[n−2]−3δ[n−3] （2）

方法一：

15y[n−1]+y[n−2]=δ[n]

6651 当n=0：y[0]+y[−1]+y[−2]=1

66因为对于因果系统必有：y[−1]=y[−2]=0。故y[0]=1

原式为：y[n]+5111λ+=0，特征根为：λ1=；λ2= 662311故有：y[n]=C1(−)n+C2(−)n

32代入初始条件y[−1]=0，y[0]=1，有

又因特征方程：λ2+11 y[−1]=C1(−)−1+C2(−)−1=0

32 y[0]=C1+C2=1 解之，得C1=3,C2=−2

11故得单位脉冲响应：h[n]=[3(−)n−2(−)n]u(n)

32方法二：假设输入为阶跃函数，求出阶跃相应然后求差分得到冲击相应。

原式为：y[n]+51y[n−1]+y[n−2]=u[n] 66 当n=0：y[0]+51y[−1]+y[−2]=1 66因为对于因果系统必有：y[−1]=y[−2]=0。故y[0]=1

当n=1：y[1]+151y0]+y[−1]=1。故y[1]= 666又因特征方程：λ2+5111λ+=0，特征根为：λ1=；λ2= 663211故有通解：y[n]=C1(−)n+C2(−)n

32再求特解：k+151k+k=1，特解为：y[n]= 662则对于系统的全解形式为：y[n]=C1(−)n+C2(−)n+12131 21，y[0]=1，有 2111 y[1]=C1(−)1+C2(−)1+=1

232代入初始条件y[1]= y[0]=C1+C2=1 解之，得C1=1,C2=−1 21211n1(−)+]u(n)

223故得单位阶跃响应：s[n]=[(−)n−而根据脉冲函数和单位阶跃的关系，得单位脉冲响应为：

11111111h[n]=s[n]−s[n−1]=[(−)n−(−)n+]u(n)−[(−)n−1−(−)n−1+]u(n−1)2232223213111111=[(−)n−(−)n+]u(n)−[−2(−)n+(−)n+](u[n]−δ[n])22232232

1n31n11n1n=[3(−)−2(−)]u(n)−[−2(−)+(−)+]δ[n]22323211=[3(−)n−2(−)n]u(n)322.23 解差分方程（n≥0），并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。

（假定系统为因果系统） (2) y[n]+3y[n−1]−y[n−2]=u[n],y[−1]=1,y[−2]=0 22解：因为系统特征方程：λ+1.5λ-1=0，特征根为： 所以方程的齐次解为：

λ1=-2，λ2=0.5

将方程的一个特解yP[n]=故，方程的全解：

yh[𝑛𝑛]=(𝐶𝐶1(−2)𝑛𝑛+𝐶𝐶2(0.5)𝑛𝑛)𝑢𝑢[𝑛𝑛]

D⋅u[n]代入原方程：n>=0时解得：D=2； 3由y[−1]=1,y[−2]=0，得到初始条件

2𝑦𝑦[𝑛𝑛]=�𝐶𝐶1(−2)𝑛𝑛+𝐶𝐶2(0.5)𝑛𝑛+�𝑢𝑢[𝑛𝑛]

3111y[0]=−,𝑦𝑦[1]= 24 𝐶𝐶1=−

代入通解方程后，可计算得到

161,C2=− 1510方程全解

𝑦𝑦[𝑛𝑛]=�−

1612(−2)𝑛𝑛−(0.5)𝑛𝑛+�𝑢𝑢[𝑛𝑛] 1510313 4零输入响应：

yzi[0]=−1.5𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[−1]+𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[−2]=−1.5

代入 得到

yzi[1]=−1.5𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[0]+𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[−1]=𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[𝑛𝑛]=(𝐶𝐶𝑧𝑧𝑧𝑧1(−2)𝑛𝑛+𝐶𝐶𝑧𝑧𝑧𝑧2(0.5)𝑛𝑛)𝑢𝑢[𝑛𝑛] 18𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[𝑛𝑛]=�−(−2)𝑛𝑛+(0.5)𝑛𝑛�𝑢𝑢[𝑛𝑛]

510

零状态响应：

自由响应： �−

1615

yzs[𝑛𝑛]=𝑦𝑦[𝑛𝑛]−𝑦𝑦𝑧𝑧𝑧𝑧[𝑛𝑛]=�

101812(−2)𝑛𝑛−(0.5)2+�𝑢𝑢[𝑛𝑛] 1553强迫响应：

(−2)𝑛𝑛−(0.5)𝑛𝑛�𝑢𝑢[𝑛𝑛]

2𝑢𝑢[𝑛𝑛] 3(3)y[n]+2y[n−1]+y[n−2]=3,y[−1]=y[−2]=0

解：因为系统特征方程：λ+2λ+1=0，特征根为： λ1=λ2=−1； 所以方程的齐次解为：yh[n]=(C0+C1n)(−1)n

将方程的一个特解yP[n]=D⋅3n代入原方程：D⋅32+2⋅D⋅3+D=32；解：D=2n9； 169n⋅3 16考虑零输入响应：由于y[−1]=y[−2]=0，激励为0时可得：

故，方程的全解：y[n]=(C0+C1n)(−1)n+yzi[0]=0，yzi[1]=0，故可得：yzi[n]=0；

考虑零状态响应：可计算出在输入激励下的初值为y[0]=1，y[1]=1 代入方程：yzs[n]=(C0+C1n)(−1)n+719n3后，可计算得到：C0=,C1=

41616(也可以将零状态y[−2]=y[−1]=0代入零状态方程,得到

yzs[−2]=(C0−2C1)+1=016yzs[−1]=−(C0−C1)+3=0 16得到C0=17,C1= 1 于是零状态响应与完全响应均为：yzs[n]=[(自由响应：(97n+)(−1)n+3n]u[n]；

1617n+)(−1)nu[n]； 19n强迫响应：yzs[n]=3u[n]。

1612.24有某一因果离散时间LTI系统，当输入为x1[n]=()nu[n]时，其输出的完全响应

211y1[n]=2nu[n]−()nu[n]；系统的起始状态不变，当输入为x2[n]=2()nu[n]时，系统的

221完全响应为y2[n]=3⋅2nu[n]−2()nu[n]。试求：

2系统的零输入响应；

1。 系统对输入为x3[n]=0.5()nu[n]的完全响应（系统的初始状态保持不变）

2解：(1)由于x2[n]=2x1[n]，便有y2zs[n]=2y1zs[n]

考虑到y1[n]=y1zs[n]+yzi[n]以及y2[n]=y2zs[n]+yzi[n] 不难得出yzi[n]=2y1[n]−y2[n]，即yzi[n]=−2u[n]。 (2)由于x3[n]=0.5x1[n]，故y3zs[n]=0.5y1zs[n]=0.5(y1[n]−yzi[n]) 因而

ny3[n]=y3zs[n]+yzi[n]=0.5y1[n]+0.5yzi[n]

11=0.5(2nu[n]−()nu[n]−2nu[n])=−()n+1u[n]22

第三周第二次作业 ＜信号与系统＞

3.1; 3.2（1）（3）（5）3.3 （2）； 3.1 已知某LTI系统对ejwt的特征值H(jω)如图所示，求系统对下列输入信号的响应：

(1) 直流信号x(t)=E； (2) x(t)=

解： H(jw)=1−H(jω) 1 k=−10∑aek10ikw0t,w0=π

-5π 题3.1图

5π ω k5πw,w≤5π

（1）因为：x(t)=E，ω0=0，由图得H(j0)＝1

故：响应为：y(t)=H(jω0)E=H(j0)E=E （2）当输入为xk(t)=akejkπt，由已知条件k≤4时，H(jw)不为零，而k≥5，H(jw)=0

故响应为：yk(t)=H(jkπ)ake当k>5时，激励xk(t)=ake此有y(t)=jkπt=(1−k5)akejkπt，k≤4

jkπt产生的响应为0（由于k>5时，H(jkπ)=0），因

k=−4∑yk(t)=4k=−4∑(1−4k5)akejkπt

3.2. 求下列信号的傅里叶级数：

(1)x(t)=cos2t+sin4t； (3)x(t)如图3-31(b)所示 (5) x(t)如图题3-2 (d)所示

解（1）方法一：根据欧拉公式直接写出指数如下的形式：

1j2t11111x(t)=(e+e−j2t)+(ej4t−e−j4t)=−e−j4t+e−j2t+ej2t+ej4t

222j2j2j2 显然：w0=2

a−2=−1111； a−1=；a0=0；a1=；a2= j2j222方法二：因为周期为T=π，ω0=2，傅立叶级数为：

x(t)=

1j2t1−j2t1j4t1−j4t+e+ee−e；

222j2j(3)x(t)如图3-31(b)所示 x(t) E/2 -4/T -T -E/2 题3.2图(b) 解： 如图（b）与(b’)，可设x1(t)=x(t)+ 4/T T t -T E x1(t) t

T -4/T -T 题3.24/T 图(b’) E 2则x1(t)为周期矩形脉冲，其周期为T，脉冲宽度为T2，脉冲幅度为E（其Fourier级数我们已经在教材P81页求周期方波时求过，只不过幅度不同。） 若x1(t)=k=−∞∞∑∞a1kejkω0t，则有k≠0时，a1k=ω0ET4TEkπESa(kω0)=Sa()，a10=

2π422设x(t)=k=−∞∑akejkω0t，则有ak=a1k=EkπESa()，而a0=a10−=0

222（5）解：方法一(直接计算，因为该题特别简单，被积函数是1或2，直接计算也很容易)： 如图x(t)的周期为4，设x(t)=k=−∞∑aek∞jkω0t，在一个周期内

2πt4dt2−jk2πt4dt1ak=T1=2∫T0x(t)e−jk2πtTdt11−jk=2e04∫+∫e1π−jkte2t=1−jk−jkπ2π21+4t=0π−jkte2t=2ππ−jk−jk12e2−2+e−jkπ−e2 =−j2kπt=1−jkπ2=e−2+(−1)k;−j2kπ当k=0时，a0=3 4 方法二：令x(t)=x1(t)+x2(t)，其中x1(t)=1 0≤t<21 0≤t<1，x2(t)=，

0 1≤t<40 2≤t<4x1(t)与x2(t)都是周期为4的周期信号，设x1(t)=k=−∞∞∞∑c∞1kejkω0t，x2(t)=k=−∞∑c∞2kejkω0t，

则有x(t)=k=−∞∑cekjkω0t=k=−∞∑(ckπ21k+c2k)ejkω0t

−jkπ1−e1−e当k≠0时，c1k=，c2k=，

j2kπj2kπ即有 ck=c1k+c2k=

3.3 (2)已知某一LTI系统的单位冲激响应h(t)，如图3-38所示，求该系统对冲激串δT(t)响应y(t)的傅里叶级数。

x(t)

h(t)

图(a)

h(t) y(t)

-T/2 图3-38 题3.3图

−j2−e−j3−e−jkπ，其中c0=.

j2kπ4kπ20 图(b)

t

T/2 FT解：因为h(t)←→H(jω)=TSa(ωT2)

1∞jkω0te 在激励δT(t)=的作用下，可得响应为： ∑Tk=−∞kω0Tjkω0t1∞1∞jkω0t()()e===HjkωeTSa y(t)∑∑02Tk=−∞Tk=−∞

k=−∞∑∞Sa(kπ)ejkω0t