专题6 平面向量及其应用,复数(解析版)

1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2021年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.第一部分一、单选题平面向量及其应用b2a1（2020届山东省青岛市高三上期末）向量a,b满足，，(ab)(2ab)，则向量a与1．

b的夹角为（）A．45°【答案】C【解析】设向量a与b的夹角为θ．∵(ab)(2ab)，∴(ab)(2ab)2a2b2ab212(2)212cos0，化为cos0，∵[0,]，∴900．故选C．2．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边B．60°C．90°D．120°



























AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AF·BC的值为（A．

）58B．18C．14D．118【答案】B【解析】1133

设BAa，BCb，∴DEAC(ba)，DFDE(ba)，22241135353531AFADDFa(ba)ab，∴AFBCabb2.244444848

3．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹2角为，向量b满足b4eb30，则ab的最小值是（3A．31【答案】A【解析】B．31

C．2）D．23rrr

设ax,y,e1,0,bm,n，rrπrrrrπ12xy2,y3x，则由a,e得aeaecos,x

332r2rr2由b4eb30得m2n24m30,m2n21,

rr23因此，ab的最小值为圆心2,0到直线y3x的距离=3减去半径1，为31.选A.24．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知f(x)

3|sinx|，A1,A2,A3为图象的顶点，O，B，C，D2为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1,Q2,,Q5．记niOA2OQi(i1,2,,5)，则

n1n5的值为（）A．1532B．45C．452D．1534【答案】C【解析】2解：由图中几何关系可知，OE



33,A2E,OA23,A2C1A2OC3022

A2CO60，A3D//A2C,∴OA2DA3，即OA2DA3．则niOA2OQiOA2(ODDQi)OA2ODOA2ODcos，6n1n533答案选C345522

（2020届山东省青岛市高三上期末）在ABC中,ABAC2AD,AE2DE0,若EBxAByAC,5．则()B．y2x

C．x2y

D．x2y

A．y2x【答案】D【解析】如图所示：∵ABAC2AD，∴点D为边BC的中点，

11

∵AE2DE0，∴AE2DE，∴DEAD(ABAC)，36311又DBCB(ABAC)，221121∴EBDBDE(ABAC)(ABAC)ABAC．2633又EBxAByAC，∴x

21

,y，即x2y．33故选：D．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）等腰直角三角形ABC中，ACB6．点P是斜边AB上一点，且BP2PA，那么CPCACPCB（A．4【答案】D【解析】B．2C．2D．4

，ACBC2，2）1121

由题意得：CPCAAPCAABCA(ACCB)CACB

3333221284CPCACPCBCACB4,3333故选：D.

（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）在ABC中,ABAC2AD,AE2DE0,若7．EBxAByAC,则(A．y2x【答案】D【解析】)C．x2y

D．x2y

B．y2x

如图所示：∵ABAC2AD，∴点D为边BC的中点，

411

∵AE2DE0，∴AE2DE，∴DEAD(ABAC)，3611又DBCB(ABAC)，221121∴EBDBDE(ABAC)(ABAC)ABAC．2633又EBxAByAC，∴x

21

,y，即x2y．33

，AD2DB，P为CD3)故选：D．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在ABC中，BAC8．1

上一点，且满足APmACAB，若ABC的面积为23，则AP的最小值为(2A．2【答案】D【解析】B．43C．3D．3APACCPACkCDACkADAC

2

ACkABAC

3

12k2k11

AB1kACmACAB，得到1km,，所以m，结合3232431ABC的面积为23，得到ACAB23,得到ACAB8，所以22

AP

211211216ACABACAB1AC2164816AC3，故选D．二、多选题

3,ncosx,cos2x，函数9．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量msinx，



f(x)2mn31，下列命题，说法正确的选项是（）5A．f



x2f(x)6

B．f



x的图像关于x对称46

，则f(x1)f(x2)2C．若0x1x2

D．若x1,x2,x3,，则f(x1)f(x2)f(x3)

32【答案】BD【解析】函数fx2sin2x







1，3

A：当x0时，f



xf1，2fx2f013，故A错；66

B：f



x2sin2x1，当x时，对应的函数值取得最小值为1，所以B正确；46

2

,fx2sin2x1x0,2x所以函数C：，在0,不单调，故C错；时，333322

D：因为x

2

,，所以2x,，fx31,3，33332

又2



313，即2fxminfxmaxx1,x2,x3,，fx1fx2fx3恒成立，故D对；32

故选：BD.三、填空题（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知向量a=（－4，，b=（6，，且ab，则m=__________.10．3）m）【答案】8.【解析】向量a（4,3），b（6,m），ab，



则a•b0，463m0，m8.611．（2020届山东省高考模拟）已知两个单位向量a，b的夹角为30，cma(1m)b,bc0，则





m______．【答案】423【解析】bcb[ma(1m)b]mab(1m)(b)2m|a||b|cos30(1m)|b|23m1m0，2所以m423，故答案为423．12．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图，在边长为2的菱形ABCD中BAD60，E为CD中点，则AEBD



、【答案】1【解析】将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．在菱形ABCD中，BAD60，所以三角形ABD是正三角形，从而AEBD(ADDE)BDADBDDEBD

故答案为1．

13．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知向量a(2,m)，且ab，则实数m的值是________．b(1,2)，【答案】1【解析】∵ab；7



∴ab22m0；∴m＝1．故答案为：1．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知向量a（1，1），b（﹣1，3），c（2，1），且（ab）14．∥c，则λ＝_____.【答案】【解析】













1

7

向量a（1，1），b（﹣1，3），c（2，1），所以ab（1+λ，1﹣3λ），又（ab）∥c，所以，2×（﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ故答案为：













a(1,x1)15．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知向量，b(x,2)，若满足ab，且方向相同，则x__________．【答案】1【解析】∵ab，∴x(x1)20，解得x1或x2，1

.71.7

x1时，a(1,2),b(1,2)满足题意，

x2时，a(1,1),b(2,2)，方向相反，不合题意，舍去．∴x1．故答案为：1．（2020·山东高三下学期开学）已知向量a(4,3),b(1,2)，a,b的夹角为，则sin__________.16．【答案】【解析】55





ab10255,sin1cos2依题意0,π，所以cos.55|a||b|558故答案为：55

为单位向量且夹角为，设，，,e1e23ae1e2be2



17．（2020·天水市第一中学高三月考（文））已知a在b

方向上的投影为______．【答案】3

2【解析】由题可知b1,故，a在b

方向上的投影为即答案为32.18．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知ABC的顶点A平面,点B,C在平面异侧,且AB2,AC3,若AB,AC与所成的角分别为3,6,则线段BC长度的取值范围为______.【答案】7,13【解析】如图所示：分别过B,C作底面的垂线，垂足分别为B1，C1．由已知可得，BB13，CC1

32，AB11

，AC1

32．∵BCBB

1B1C1C1C，BC2BBB2

BB211C1C1C

B2221C2BB1C1C3B1C13211C1C2743B1C14而9AB1AC1B1C1AB1AC1，∴当AB，AC所在平面与垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A点同侧时，BC长度最小，此231127时B1C1AB1AC11，BC最小为7；2242当AB，AC所在平面与垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A点异侧时，BC长度最大，此时235527B1C1AB1AC11，BC最大为13．2242∴线段BC长度的取值范围为7,13．故答案为：7,13．

19．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知向量a(1,x1)，b(x,2)，若满足ab，且方向相同，则x__________．【答案】1【解析】

∵ab，∴x(x1)20，解得x1或x2，

x1时，a(1,2),b(1,2)满足题意，x2时，a(1,1),b(2,2)，方向相反，不合题意，舍去．∴x1．故答案为：1．（2020·山东高三模拟）已知平面向量a与b的夹角为20．【答案】13【解析】





，a(3,1)，|b|=1，则|2ab|________.3

由a(3,1)可得|a|(3)2(1)22，则ab|a||b|cos1，322所以|2ab|(2ab)24a4abb13.10故答案为:13（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B21．为圆上的一个动点，若ABACAD，且点D在圆C上，则ABAC_____．r2

【答案】2【解析】∵ABACAD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵ACCDCBr，∴CAB60，r2∴ABACrrcos60，2r2

故答案为：.2四、解答题第二部分一、单选题（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）设z1．A．0【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：z

B．复数1i

2i，则|z|1iD．212C．1

1i1i2i1i

2i1i1i1i11i2ii，则z1，故选c.（2020·山东高三模拟）i是虚数单位，z2．A．1【答案】C【解析】由z

B．22i

则|z|（1iC．2）D．222i(1i)

1i,|z|2.21i）故选:C.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z满足(12i)z43i，则z的共轭复数是（3．A．2i【答案】B【解析】由12iz43i，得z故选：B（2020届山东省高考模拟）若iz1i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点4．位于()A．第一象限【答案】D【解析】分析：变形iz1i，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论.详解：由iz1i，得z

B．第二象限C．第三象限D．第四象限B．2i

C．12i

D．12i

43i

2i，所以z2i．12i1i1ii1i，z1i2ii复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，位于第四象限，故选D.5．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）设i是虚数单位，若复数a（）125i(aR)是纯虚数，则a的值为2iA．3【答案】D【解析】由题,aB．3C．1D．1

5i2i5iaa2i1a12i,2i2i2i因为纯虚数,所以a10,则a1,故选:D6．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知复数z在复平面上对应的点为1,1，则（A．z1是实数【答案】B【解析】因为复数z在复平面上对应的点为1,1，所以复数z1i因为z11i1i是纯虚数，所以A不正确，B正确；因为zi1ii12i不是实数，也不是纯虚数，所以C,D都不正确，故选：B（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）欧拉公式为eixcosxisinx,(i虚数单位)是由瑞士著名数7．学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，A．第一象限【答案】A【解析】根据题意eixcosxisinx，故e3故选：A.（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z满足|zi|2，z在复平面内对应的点为(x,y)，8．则（）B．(x1)2y24

i）B．z1是纯虚数C．zi是实数D．zi是纯虚数e表示的复数位于复平面中的（D．第四象限i3）B．第二象限C．第三象限cos

3isin

13，表示的复数在第一象限.i

322A．(x1)2y22

13C．x2(y1)24【答案】C【解析】∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴zxyi，|zi|2，∴x2y12，即x2(y1)24.故选：C.2D．x2(y1)22

（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，9．则A．(x+1)y1【答案】C【解析】2

2

B．(x1)y1

22C．x(y1)1

22

D．x(y+1)1

22

zxyi,zix(y1)i,zix2(y1)21,则x2(y1)21．故选C．10．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知复数z在复平面上对应的点为1,1，则(A．z1是实数C．zi是实数【答案】B【解析】由题意，z1i

则z1i，为纯虚数，故A错误，B正确；B．z1是纯虚数D．zi是纯虚数)zi12i，故C,D错误，故选：B11．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知复数（A．【答案】D【解析】14在复平面内对应的点分别为，则）B．C．D．∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴故选：D．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，若．

z1zz2，则z的共复数z（）A．11232iB．1232iC．

232iD．

1322i【答案】A【解析】由图可知：z112i,z21i，所以zz1z12i12i1i13ii1i1i2，21所以z

123

2i.故选：A.13．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）在复平面上，复数24i

1i对应的点位于（A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】24i(24i)(11ii)(1i)(1i)62i

23i，对应点为(3,1)在第一象限.故答案选A14．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z＝a+bi（a，b∈R），若z1i，则zA．

13

i155B．535iC．

3515iD．3i12i＝（55i

））15【答案】C【解析】∵zi，1i2ii1i2i

∴z

1i2i531i，55∴z

31i.55，其中x,y2i3xi3y5i(i为虚数单位）故选：C.（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）设15是实数，则A．5【答案】A【解析】由2i3xi3y5i，得6x32xi3y5i，xyi等于()C．22D．2B．13x63x3

∴，解得，∴xyi34i5．故选A．32xy5y4

（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数16．平面内对应的点位于（A．第一象限【答案】B【解析】）C．第三象限D．第四象限2a2i

（aR）是纯虚数，则复数2a2i在复1i

B．第二象限2a2i22i，对应点为(2,2)，在第二象限．故选：B．17．（2020届山东省2月模拟）若iz1i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限【答案】D【解析】16B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：变形iz1i，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论.详解：由iz1i，得z

1ii1iii21i，z1i复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，位于第四象限，故选D.18．（2020·山东高三下学期开学）已知复数z5i

2i5i，则|z|（）A．5B．52C．32D．25【答案】B【解析】z

5i5i(22i5ii)

55i17i，故|z|(1)27252.故选：B17