2020年普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学参

20.03理科数学参及评分标准20202020.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

题号答案

1C

2A

3A

4D

5B

6C

7D

8C

9C

10B

11D

12C

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13.

1；2

π14．3

；

15.

2，1；

16.

－2和－1．

三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17--21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）

17．（本小题满分12分）

如图所示，在平行四边形ABCD中，AB4，BC22，ABC45，点

E是CD边的中点，将DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB26．（Ⅰ）求证；平面PAE平面ABCE；（Ⅱ）求点E到平面PAB的距离．

高三理科数学参第1页（共8页）

证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，AB4，BC22，ABC45，点E是CD边的中点，将DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB26．AE(22)2222222cos452AEABAB2PA2PB2

ABPAAEPAAAB平面PAEAB平面ABCE平面PAE平面ABCE．

--------------------------------------6分

（Ⅱ）AE2，DE2，PA22，

PA2AE2PE2，

AEPE．

AB平面PAE，AB//CE，CE平面PAE，

EA，EC，EP两两垂直，

以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，高三理科数学参第2页（共8页）建立空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)，

PE(0，0，－2)，PA(2，0，2)，PB(2，4，2)，

设平面PAB的法向量n(x，y，z)，nPA2x2z0

则，nPB2x4y2z0



取x1，得n(1，0，1)，

|PEn|22．--------------------12分点E到平面PAB的距离d

|n|2【选用其它解法的请参考给分】18．（本小题满分12分）

已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1＝1，b1＝2，3an+1=4an+2bn+6，

3bn+1=4bn+2an-6.

（Ⅰ）证明：｛an＋bn｝是等比数列，

（Ⅱ）求数列｛(2n＋1)（an＋bn）｝的前n项和Sn.（Ⅰ）证明：由题意有3an+1=4an+2bn+6

------①

3bn+1=4bn+2an-6-----------②

由①＋②得：3(an+1+bn+1)=6(an+bn)∴

an+1+bn+1

=2

an+bn且a1＋b1＝3

∴数列｛an＋bn｝是以3为首项，以2为公比的等比数列.----5分

高三理科数学参第3页（共8页）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an+bn=3×2

∴

n-1

Sn=

3×3×20+5×3×21+7×3×22+×××+(2n-1)×3×2n-2+(2n+1)×3×2n-1

-----------------③

2Sn=

3×3×21+5×3×22+7×3×23+×××+(2n-1)×3×2n-1+(2n+1)×3×2n--------------------④

由③－④得：

－Sn=9＋6[21+22+23+×××+2n-1]－(2n+1)×3×2∴

nSn=(6n-3)×2n+3.-----------------------------------12分

19．（本小题满分12分）

以“立德树人”为目标的课程改革正在积极有序推进，普通高中招生对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．2020年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校为了掌握初三年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到下面频率分布直方图,且规定计分规则如下表：

每分钟跳绳个数[155，165)[165，175)[175，185)[185，)

得分171819

（共8页）

20

高三理科数学参第4页

（Ⅰ）请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数（保留整数）；（Ⅱ）若从跳绳个数在[155，165)、[165，175)两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人，求两人得分之和不大于34分的概率．

解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：众数为180，

中位数m175平均数为：

0.50.060.120.32

175184，

0.0340.034

X1600.061700.121800.341900.302000.12100.08=185（个）．

----------------------------------------6分

（Ⅱ）跳绳个数在[155，165)内的人数为1000.066个，

跳绳个数在[165，175)内的人数为1000.1212个，

按分层抽样的方法抽取9人，则[155，165)内抽取3人，

[165，175)内抽取6人，

基本事件总数为nC936种，

2

两人得分之和不大于34分包含的基本事件个数mC33，

2

则两人得分之和不大于34分的概率P

1

．-----------------12分12

高三理科数学参第5页（共8页）

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)xln(xa)1(a<0).

(Ⅰ)若函数f(x)在定义域上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：f(x)∴函数f(x)的定义域为：（－a,＋∞）且

xf'(x)ln(xa)

'x.xax.xa设g(x)f(x)ln(xa)

'

则g(x)

1ax2a.xa(xa)2(xa)2

∵a<0,∴－2a>－a令g(x)=0，得x=－2a.'x(－a,－2a)－2a0ln(-a)＋2

(－2a,＋

＋∞)

g'(x)

g(x)

－单调递减

单调递增

∵函数f(x)在定义域上为增函数，∴

-2

g(x)min=g(-2a)=ln(-a)+2³0，解得a£-e-2

∴a的取值范围是：aÎ(-¥,-e].

-------------------------5分

(Ⅱ)证明∵a<0，x>－a,∴x>0,

∴f(x)=xln(x+a)+1只需证明：xlnx（1）若xÎ(0,1]时，∵ex+sinx-1>0，而xlnx<0，

∴xlnx（2）若xÎ(1,+¥)时,设h(x)=ex+sinx-xlnx-1

h'(x)=ex+cosx-lnx-1

又设m(x)=h'(x)，m(x)=e-∵x>1,∴

'x1

-sinxxm'(x)=ex-

1

-sinx>0,x(x)在(1,+¥)上单调递增，即：m''∴h(x)>m(1)=h(1)=e+cos1-1>0

∴h(x)=ex+sinx-xlnx-1在(1,+¥)上单调递增，∴h(x)>h(1)=e+sin1-1>0

x即xlnx+1-------------------12分

21．（本小题满分12分）

x2y2

已知椭圆C：221(ab0)过点(23,3)，且椭圆的短轴长为43．ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点．试问x轴上是

高三理科数学参第7页

（共8页）

135

否存在定点Q，使得QMQN恒成立？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说

16

明理由．

解：（Ⅰ）因为椭圆C过点(23,3)，所以

123

1．a2b2

又椭圆的短轴长为43，所以2b=43，所以b2=12，解得a216．

x2y2

所以椭圆C的方程为1．-------------------------------------------5分

1612135

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点Q(m,0)，使得QMQN，

16

①当直线l的斜率不存在时，则M(2,3)，N(2,3)，



QM(2m,3)，QN=(2-m,-3)，

1355112

由QMQN(2m)9，解得m或m；

14

②当直线l的斜率为0时，则M(4,0)，N(4,0)，



QM(4m,0)，QN(4m,0)，

13511112

由QMQNm16，解得m或m．

14

由①②可得m

1111

，即点Q的坐标为(,0)．44

11135

下面证明当m时，QMQN恒成立，当直线l的斜率不存在或斜率

416

高三理科数学参第8页

（共8页）

为0时，由①②知结论成立．

当直线斜率存在且不为0时，设其方程为yk(x2)(k0)，

M(x1,y1)，N(x2,y2)，

yk(x2)

由x2y2，得(34k2)x216k2x16(k23)0，

1

1612

直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，

16k216(k23)

且x1x2，x1x2．22

4k34k3

y1y2k(x12)k(x22)k2x1x22k2(x1x2)4k2，1111

所以QMQN(x1,y1)(x2,y2)

44

16(k23)1116k212113522

．(1k)(2k)4k22

4k344k31616

2

11135

综上所述，在x轴上存在定点Q(,0)，使得QMQN恒成立．-------12分

416

（一）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

1

xt2

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，

ya3t2aR）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极

坐标方程为4cos，射线曲线C相交于A,B两点.

高三理科数学参第9页

（共8页）



0与曲线C交于O,P两点，直线l与3

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）当

ABOP时，求a的值.

解：（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程为3xya0.

由4cos，得4cos，

从而xy4x，即曲线C的直角坐标方程为x4xy0.-----5分

2

2

2

2

2

4cos

（Ⅱ）解法一：由，得P2,.所以OP2，

033

将直线l的参数方程代入圆的方程x4xy0，得t23ata0由0，得234a234设A、B两点对应的参数为t1,t2，则ABt1t2

2

22



2

t1t224t1t2443aa22

解得，a0或a43.所以，所求a的值为0或43.----------10分解法二：将射线



0化为普通方程为3xy0x0，3

2

2

由（1）知，曲线C：x2y4的圆心C2,0，半径为2，由点到直线距离公式，得C到该射线的最短距离为：d

2233，312所以该射线与曲线C相交所得的弦长为OP2233，

2．

圆心C到直线l的距离为：23a3123a2=

高三理科数学参第10页（共8页）

解得，a0或a43所以，所求a的值为0或43.-------10分

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数fx2xax2（其中aR）．（Ⅰ）当a4时，求不等式fx6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式fx5a2x恒成立，求a的取值范围．

2

解：（Ⅰ）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，

即为|2x-4|+|x-2|≥6，

所以|x-2|≥2，即x-2≤-2或x-2≥2，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（Ⅱ）不等式f（x）≥5a2-|2-x|即为|2x+a|+|x-2|≥5a2-|2-x|，

即关于x的不等式|2x+a|+|4-2x|≥5a2恒成立．而|2x+a|+|4-2x|≥|a+4|，所以|a+4|≥5a2，解得

---------------------5分

a+4≥5a2或a+4≤-5a2，解得



4

a1或a．5

--------------------10分

所以a的取值范围是

4

,15

高三理科数学参第11页（共8页）