高二数学几何选讲试题答案及解析

1. 如图，在梯形

中，

，若

，

，

，则梯形

与梯形

的面积比是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D 【解析】延长

相交于，由相似三角形知识，则有

，设，，（），则梯

形的面积，梯形的面积，所以梯形与梯形的面积比是，故选择D. 【考点】平面几何中的相似三角形.

2. 如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P. （1）求证：;

，

（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】

解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解. 规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.

试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN 由条件，根据切割线定理，有 所以 （2）OM=2，在Rt△BOM中， 延长BO交⊙O于点D，连接DN 由条件易知△BOM∽△BND，于是即

，得BN=6

所以MN=BN-BM=6-4=2.

【考点】1.切割线定理；2.相似三角形.

3. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于

E.

(1)求证：△ABE≌△ACD；

(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）

.

【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这

里有弦切角可以利用).（2）欲求,因

,则可转化为求

相似.注意到

,考虑到，需将

,

联系起来就得考虑三角形

.

试题解析：(1)证明 因为XY是⊙O的切线，所以. 因为，所以，∴. 2分 因为，所以. 4分 因为，又因为， 所以. 5分 (2)解 因为，， 所以， 7分 所以因为所以

， 即

，

8分 ， .所以

. 10分

【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.

4. 如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点

，则的大小为_________．

【答案】

【解析】如图所示，连接OC，则又因为∠APC的角平分线为PQ，， 又

，在

中

【考点】圆的切线的性质及判定定理

5. 如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于

A． C．

B． D．

【答案】D

【解析】由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB， ∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.

6. 如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.

其中正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A

【解析】根据割线定理知①式正确，②③④不正确．

7. 如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则

A. B. C．2 D．4 【答案】B 【解析】要求即

＝

，注意到sin α＝，又△PAC∽△PBA，得

，sin β＝＝

， 的值等于

＝＝.

8. 如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝

30°，则圆O的面积是________．

【答案】4π

【解析】∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，

又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.

9. 若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为 A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm

【答案】A

【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则x＋y＝24 cm.

＝

＝

，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故

10. 如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.

【答案】8

【解析】EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2， ∴

＝，

又DF＝20，∴DE＝8.

11. 若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________． 【答案】20 cm,30 cm

【解析】设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.

12. 如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．

＝

【答案】9

【解析】解 ∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA.∴∴AC＝∴则

＝

＝

，AC＝

＝

＝.

.

.设CD＝x， ，解得x＝9.故DC＝9.

13. 如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、

OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为

A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6

【答案】C

【解析】∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB， PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB. ∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．

即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.

14. 如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．

【答案】3

【解析】∵CE为⊙O切线，D为切点， ∴ED2＝EA·EB.

又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，

又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB. 在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2. 由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2

得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.

15. 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、

DE、DF，那么∠EDF等于

A．40° B．55° C．65° D．70° 【答案】B

【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°， ∴∠EDF＝55°.

16. 如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角

________________________．

【答案】∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB

【解析】弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．

17. 如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝

25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．

【答案】55°

【解析】解 因为PA与⊙O相切于点A， 所以∠PAC＝∠ABP＝25°. 又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°. 又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°， 所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.

18. 如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于

A．4π B．8π C．12π D．16π 【答案】D

【解析】连接OA、OB，

∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形， 又AB＝4，

∴OA＝OB＝4， ∴S⊙O＝π·42＝16π.

19. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD和CD的长．

【答案】cm

cm

cm

【解析】解 ∴AB是⊙O的直径， ∵AC⊥BC. ∵CD⊥AB， ∴AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∵AC＝3 cm， BC＝4 cm， ∴AB＝5 cm. ∴AD＝cm， BD＝

cm.

∵CD2＝AD·BD＝×∴CD＝BD＝

cm.

＝

＝cm2.

cm，AD＝cm，

20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．

【答案】①③

【解析】因为四边形ABCD为矩形， 所以∠A＝∠D＝90°. 因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2. 又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.

21. 如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部

分．

(1)求直角三角形的三边长；

(2)求两直角边在斜边上的射影的长． 【答案】(1) 20 cm,12 cm,16 cm (2)

cm，

cm

【解析】解 (1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，

则BC＝8x，

过D作DE⊥AB，

由Rt△ADC≌Rt△ADE可知， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48， 又AE＝AC，

∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，

∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，

∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，

∴AF＝同理：BF＝

＝＝＝

(cm)； ＝

(cm)．

cm，

cm.

∴两直角边在斜边上的射影长分别为

22. 如图，设AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．

【答案】2

【解析】∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，

∴△AOB∽△A1OB1，

∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比． ∴△A1OB1的外接圆直径为2.

23. 如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为

A．2∶1 C．4∶1

B．3∶1 D．5∶1

【答案】C

【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶

EC

＝4∶1.

24. 如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为

________．

【答案】3∶10

【解析】由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.

根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．

25. 如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求

＋

的值．

【答案】

【解析】解 过点D作DG∥AB交EC于G，

则即

＝＝

＝，

＝，而

＝，

所以AE＝DG， 从而有AF＝DF， EF＝FG＝CG， 故

＋

＝

＋

＝＋1＝.

26. 如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果

AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.

【答案】

【解析】由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.

27. 已知梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm. 【答案】13

【解析】设梯形较大，较小的底分别为a，b， 则有

可得：a＝13.

28. 如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点．

求证：AP＝PQ＝QC.

【答案】见解析

【解析】证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点， ∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形． ∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ. ∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.

∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，

∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.

29. 如图，直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点， 过作

丄于.

(1)求证：是圆的切线； (2)若,求的面积

【答案】（1）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．，然后利用∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD来得到证明。 （2）54．

【解析】（Ⅰ）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA． 因为∠EAD＝∠OAD，所以∠ODA＝∠EAD． 因为∠EAD＋∠EDA＝90°，所以∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD．

所以DE是圆O的切线．

（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2＝EA·EB，

2

即6＝3(3＋AB)，所以AB＝9．

因为OD∥MN， 所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6 又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12 故△ABC的面积S＝AB·BC＝54．

【考点】三角形的面积以及圆的切线

点评：主要是考查了圆的切线定义以及切割线定理的运用，属于基础题。

30. 如图，在中，直径与弦垂直，垂足在半径上，若

，

，则

，垂足为 ，

【答案】1 【解析】，故

，

，则

，。由

。连接AC，则解得

。

【考点】几何证明

点评：关于几何证明的题目，一般都要利用到相似三角形的性质。

31. 已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为等，则底面四边形的最小角是（ ）． A．

，此棱锥的侧棱与底面所成的角相

B．

C．

D．无法确定的

【答案】B

【解析】∵四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，又四边形的对角和为，∴这三个角为，从而剩余的角为，∴底面四边形的最小角是，故选B 【考点】本题考查了四边形内角和的性质

点评：熟练掌握四边形内角和的性质是解决此类问题的关键，属基础题

32. 在中，,过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点. （1）求证：【答案】（1）利用【解析】（1）. (2)

～

,

【考点】本题考查了三角形的相似及圆的性质

点评：此类问题要求学生熟练掌握考纲要求的几个定理如射影定理、圆周角定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.

33. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆的半径，则

； （2）若

～

,

，求证明；(2) 9

,

～

,

圆心到的距离为

【答案】

【解析】解：设BC=x，∵AD=4，圆O的半径r=AB=4，∴(4)2=4(4+x)，解得BC=x=4．∴△OBC是边长为4的等边三角形，∴圆心O到AC的距离d==2故答案为：2

【考点】与圆有关的性质

点评：本题考查与圆有关的比例线段，是基础题．解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

34. 如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线

AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ；

【答案】4

【解析】连接OC,

【考点】平面几何

点评：充分利用直线与圆相切的性质

，只需先求出相关量的值

35. 若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值

范围是__________． 【答案】

【解析】解：因为作图可知

当直线

36. （本小题满分10分）如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次

与曲线

为参数，且

有两个不同的交点则实数的取值范围是

交于A、B、C、D、E。求证：

【答案】见解析。

【解析】本试题主要是考查了四点共圆性质的运用，以及割线定理的运用求证线段的长度的关系的运用。

证明：因为A,M,D,N四点共圆 所以 同理： 即

37. 一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一弦被分为,则另一弦的 长为( )

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解：设另一弦长xcm； 由于另一弦被分为3：8的两段，

故两段的长分别为3 11 xcm，8 11 xcm， 有相交弦定理可得：3 11 x•8 11 x=12•18 解得x=33 故答案为B

38. （几何证明选讲选做题） 如图，已知的两条直角边,的长分别为

，，以为直径的圆

与交于点，则

＝ .

【答案】

【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知

.

39. 如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H， HB=\"2\" ．

（1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若ＰＣ＝２，求ＰＤ的长. 【答案】(1)、DE=8；（2）、PD=2

【解析】本试题主要是考查了圆内的性质和切线长定理的运用，以及相交弦定理的综合运用，求解边长问题。

40. 已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 求

证：ΔEAC∽ΔCBF

【答案】证明见解析

【解析】本试题主要是考查了平面几何中相似三角形的证明的求解。利用已知中ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 ，结合相似三角形的判定定理得到结论。

证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB， ∴∠BCF=∠ACE， ∵∠ECF=1350 ∴△CBF∽△EAC 41. 证明：

四点共圆.

如图，D，E分别为

的边AB，AC上的点，且不与

的顶点重合.已知AE的长的m，AC

的长为n,AD，AB的长是关于x的方程的两个根.

【答案】略

【解析】本小题的关键是证明∽可知，到此问题得证

,从而得到,

42. 如图，空间四边形中，分别是

； ②求证：四边形是平行四边形。（12分） 【答案】解：①因为为中位线，所以 又平面, 平面,所以平面 ②因为又所以

为

为

中位线，所以中位线，所以,即四边形

是平行四边形

的中点。 ①求证：平面

【解析】略

43. 选修4—1：几何证明选讲。如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O， OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转到OD． （1）求线段PD的长;

（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理

由．

【答案】（1）∵PA切圆O于点A,且B为PO中点,∴AB=OB=OA． ∴

----------------5分

（2）∵PA是切线,PB=BO=OC ------------------------10分 【解析】略

44. （12分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点

（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC

（Ⅱ）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长

【答案】（1）又切圆于点， 而（同弧）

所以，BD平分∠ABC （2）由（1）知又

为公共角，所以

，又与

相似。

，

，因为AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3 【解析】略

45. 一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18A. B.C. D. 【答案】B

两段,另一弦被分为,则另一弦的长为( )

【解析】略

46. 如图,设

为

内的两点,且

,

＝

＋

,则

的面积与

的面积之比为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．

分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出

，同理求出

解：设

=

，

=

，两个式子比求出△ABP的面积与△ABQ的面积之比

则=+

由平行四边形法则知NP∥AB 所以同理故

== =

=

故答案为：B

47. 如图， AB是⊙O的直径， PB， PC分别切⊙O于 B， C，若 ∠ACE=380，则∠P=_______．

【答案】

【解析】略

48. （本题12分）

如图：△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。

①证明：AB·AC=AD·AE；

②若△ABC的面积S= AD·AE，求∠BAC的大小。

【答案】证明：∵ ∴ （2分） ∵ ∴ （4分） ∴ ∴(2) ∵

（6分）

(10分)

∴ 90° (12分) 【解析】略

49. 延长平行四边形ABCD的边BC到F，AF依次交DB、DC于E、G，AE比EG大2，GF=5，则EG=________________。 【答案】4 【解析】略

50. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）

A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB

C．BE=CD，AB=AC D．AD∶AC=AE∶AB 【答案】C 【解析】因为，根据三角形相似的判定定理可知：，

，两个三角形都相似，只有不满足相似的条件．

【考点】相似三角形的判定

，或