临西县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临西县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知||=3，||=1，与的夹角为A．2 B．

2． 如果集合 A,B，同时满足A，那么|﹣4|等于（ ）

C．

D．13

B1,2,3,4，AB=1,A1,B1,就称有序集对

A,B为“ 好集对”. 这里有序集对A,B是指当AB时，A,B和B,A是不同的集对， 那么

“好集对” 一共有（ ）个

A．个 B．个 C．个 D．个 3． 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则

B（ ）111]

A．

32 B．或 C．或 D．

434433，则f（2016）等于（ ）

5． 已知f（x）=

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

6． 已知函数f（x）=log2（x2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A．8

B．5

C．9

D．27

7． 若复数

bi的实部与虚部相等，则实数b等于（ ） 2i11 （D）  328． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ）

（A） 3 （ B ） 1 （C） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 9． 已知{an}是等比数列，a22，a51，则公比q（ ） 4第 1 页，共 14 页

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A．11 B．-2 C．2 D． 22有如下的问题：问积几何？”意底面宽AD＝3ABCD的距离为

10．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面1丈，问它的体积是（ ） A．4立方丈

B．5立方丈

C．6立方丈 D．8立方丈

11．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 12．在曲线y=x2上切线倾斜角为A．（0，0）

的点是（ ）

C．（，

）

B．（2，4） D．（，）

二、填空题

13．在

中，角

、

、

所对应的边分别为、、，若

，则

_________

14．在ABC中，有等式：①asinAbsinB；②asinBbsinA；③acosBbcosA；④

abc.其中恒成立的等式序号为_________. sinAsinBsinC15．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ． 是 ． 17．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为 ．

18．给出下列四个命题：

16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率

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①函数f（x）=1﹣2sin2的最小正周期为2π； ②“x2﹣4x﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；

③命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题； ④函数f（x）=x3﹣3x2+1在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．

三、解答题

19．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则 （1）求f（0）； （2）证明：f（x）为奇函数；

xxx

（3）若f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

20．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）． （1）求函数f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．

21．（本小题12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

a5b313.111]

（1）求{an}，{bn}的通项公式；

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（2）求数列{

an}的前项和Sn. bn22．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 （Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．

23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n

（Ⅱ）从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第，…，第2项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，

记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

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24．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，

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临西县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1，所以当A{1,2}时，B{1,2,4}；当

A{1,3}时，B{1,2,4}；当A{1,4}时，B{1,2,3}；当A{1,2,3}时，B{1,4}；当A{1,2,4}时，

B{1,3}；当A{1,3,4}时，B{1,2}；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.

考点：元素与集合的关系的判断.

【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]

3． 【答案】A

【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，

2

由x+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

2

即“|x﹣2|＜1”是“x+x﹣2＞0”的充分不必要条件，

故选：A．

4． 【答案】B

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【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 5． 【答案】D

，

【解析】解：∵f（x）=

∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．

6． 【答案】C

2

【解析】解：令log2（x+1）=0，得x=0， 22

令log2（x+1）=1，得x+1=2，x=±1， 22

令log2（x+1）=2，得x+1=4，x=

．

}，

}，

，

}．

则满足值域为{0，1，2}的定义域有： {0，﹣1，﹣{0，1，{0，﹣1，﹣故选：C．

【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．

7． 【答案】C

【解析】

b＋i(b＋i)(2－i)2b＋12－b1

＝＝＋i，因为实部与虚部相等，所以2b＋1＝2－b，即b＝.故选C.

5532＋i(2＋i)(2－i)8． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 9． 【答案】D

}，{0，﹣1，，

}，{0，1，﹣

，

}，{0，﹣1，1，﹣

}，{0，﹣1，1，

}，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1，﹣

则满足这样条件的函数的个数为9．

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【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 10．【答案】 【解析】解析：

a1113,q5,q. 4a282

选B.如图，设E、F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH、GH、FN、MN，则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E-AGHD与四棱锥F-MBCN与直三棱柱EGH-FMN.

由题意得GH＝MN＝AD＝3，GM＝EF＝2，

EP＝FQ＝1，AG＋MB＝AB－GM＝2，

111

所求的体积为V＝（S矩形AGHD＋S矩形MBCN）·EP＋S△EGH·EF＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选B.

33211．【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 12．【答案】D

2

【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a）

∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1， ∴a=，

2

的点是（，）．

在曲线y=x上切线倾斜角为故选D．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

二、填空题

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13．【答案】【解析】 因为所以 答案：

，所以

，所以

，

14．【答案】②④ 【解析】

试题分析：对于①中，由正弦定理可知asinAbsinB，推出AB或AB2形或直角三角形，所以不正确；对于②中，asinBbsinA，即sinAsinBsinBsinA恒成立，所以是正

确的；对于③中，acosBbcosA，可得sin(BA)0，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知

，所以三角形为等腰三角

abc是正确，故选选②④．1 sinAsinBsinC

考点：正弦定理；三角恒等变换． 15．【答案】 2 ．

【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2， ∴=

，

222222

∴S= [（﹣2﹣0）+（﹣1﹣0）+（0﹣0）+（1﹣0）+（2﹣0）]=2，

故答案为2；

【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数，是一道基础题；

16．【答案】

．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种， 事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），

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（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个， “在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件： （1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个， 故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

17．【答案】 ∃x0∈R，都有x03＜1 ．

3

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，都有x0＜1”．

3

3

故答案为：∃x0∈R，都有x0＜1．

=

【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

18．【答案】 ①③④ ．

【解析】解：①∵

的充分不必要条件，故②错误； ③易知命题p为真，因为确；

④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2=0，故④正确．

综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．

＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正，∴T=2π，故①正确；

②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，

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令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0）， 则f（0）=0，

（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）， 又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）， 即可证得f（x）为奇函数；

（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数， f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

xxx

即有k•3＜﹣3+9+2，得

，

，即

有最小值2

﹣1，

即可，

又有

xxx

所以要使f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0恒成立，只要使

故k的取值范围是（﹣∞，2

20．【答案】

x

x

∴f'（x）=e﹣a，

x

由f'（x）=e﹣a=0得x=lna，

﹣1）．

【解析】解：（1）∵f（x）=e﹣ax﹣1（a＞0），

由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增， 由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减， 即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，

lna

最小值为f（lna）=e﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．

（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立， 等价为f（x）min≥0，

由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1， 设g（a）=a﹣alna﹣1， 则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna， 由g'（a）=0得a=1，

由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增， 由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减， ∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0， 因此g（a）≥0的解为a=1， ∴a=1．

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21．【答案】（1）d2,q2；（2）Sn6【解析】

2n3. 2n1an2n1n1，………………6分 bn2352n32n1Sn112n2n1，①

222211352n32n1Sn123n1.②……………8分 222222n`22222n11222S123①-②得Sn112n2n1nn2222222222（2）分

所以Sn622n1，…………10n1n222n3.………………12分 2n1考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设{an}的公差为d，{bn}的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d和，进而可得{an}，{bn}的通项公式；（2）数列{an}的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和Sn. bn22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）解法一：

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依题意有，

答案一：∵答案二：∵

∴从稳定性角度选甲合适．

乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．

从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率

．

【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得：

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． 即an=2n﹣1； （Ⅱ）由已知得，

．

，解得

．

23n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn=（2﹣1）+（2﹣1）+…+（2﹣1）

=（22+23+…+2n+1）﹣n=．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．

24．【答案】

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【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为F（﹣2，0），从而有

（a＞0，b＞0），且可知左焦点为

，解得c=2，a=4，

．

2222

又a=b+c，所以b=12，故椭圆C的方程为

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，

由22

得3x+3tx+t﹣12=0，

≤t≤4

，

因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t﹣12）≥0，解得﹣4

2

2

另一方面，由直线OA与l的距离4=由于±2

∉[﹣4

，4

，从而t=±2，

]，所以符合题意的直线l不存在．

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

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