高二数学期末复习试题

一、选择题

1.已知a0且a1，则logab0是(a1)(b1)0的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2．设集合Axylgx,By（A）AB

（B）AB

1y()x，则集合A,B的关系是

2（C）BA

（D）AB

3．某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么n的值为 （A）50

（B）60 （C）70 （D）80

4.已知向量a(2,4)，b(1,m). 若a//b，则实数m的值为 (A)2 （B）

11（C）（D）2

2 2

5.设圆x2y22y30与y轴交于A(0,y1),B(0,y2)两点.则y1y2的值为 （A）3

（B）3

(C)2

（D）2

6．已知角的终边与单位圆交于点(255,)，则sin(2)的值为 55（A）4455 （B） (C) (D) 55557．若alog33.3,blog33.2,clog93.6，则

（A）abc （B）acb （C）bac （D）cab

8．一个化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、 盐18吨；生产一车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、盐15吨．已知生产一车皮甲 种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10 吨、盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 （A）50万元 （B）30万元 （C）25万元 （D）22万元

x2y29．已知双曲线C：221(a0，b0)与抛物线y28x有公共的焦点F，它们在第

ab一象限内的交点为M. 若双曲线C的离心率为2，则|MF|的长为

（A）3 （B）4 （C）5 （D）7

10．在直角坐标系中，如果不同两点A(a,b)，B(a,b)都在函数yh(x)的图象上，那么称[A,B]为函数h(x)的一组“友好点”([A,B]与[B,A]看作一组). 已知定义在[0,)上的函数f(x)满足f(x2)2f(x)，且当x[0,2]时，f(x)sinx.则函数 2f(x),0x8;的“友好点”的组数为 g(x)x,8x0.(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 二、填空题

11.已知某算法的程序框图如图所示，则输出的S的值是______. 12.命题“xR,exx”的否定是__ ____. 1M恒成立， 13. 若正实数x,y满足xy2，且xy则M的最大值为______. 14.如果将函数f(x)sin(2x位后得到的图象与原图象关于y轴对称，则的值为______.

)的图象向左平移（0）个单

2315．如图，在三棱锥SABC中，SC2,SA23,BSBA4， 则当此三棱锥的最大体积时，三棱锥的侧面积是＿＿＿.

三、解答题

16. （本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn24n2，nN*. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an；

SBCA(Ⅱ)设数列{bn}满足bnlog2an，求Tn式表示）.

11b1b2b2b31的表达式（用含n的代数bnbn117. （本小题满分12分）

在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a积SBABC. (Ⅰ)求cosB和b的值；

(Ⅱ)设函数f(x)2sinAcosxcosAsin2x25，3b2(c1)，且ABC的面

1,xR，求f(x)的单调递增区间. 2

18.（本小题满分12分）

报告中关于环境保护方面的内容：坚持节约资源和保护环境的基本国策，坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针，着力推进绿色发展、循环发展、低碳发展，形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式、生活方式，从源头上扭转生态环境恶化趋势，为人民创造良好生产生活环境，为全球生态安全作出贡献．某学校为了贯彻精神，校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情况，在这批树苗中随机抽取了50棵测量高度（单位：厘米），统计数据如下表所示： 组别 频数 [35,45) 3 [45,55) 4 [55,65) 13 [65,75) 15 [75,85) 10 [85,95] 5 （Ⅰ）将频率作为概率，则在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约是多少？

（Ⅱ）为进一步了解这批树苗的情况，再从[35,45)中移出2棵树苗，从[85,95]中移出1棵树苗进行试验研究，则在[35,45)中树苗A和[85,95]中的树苗D同时被移出的概率是多少？

19.（本小题满分12分）

如图，四边形BCDE是直角梯形，CD//BE,CDBC,CD1BE2,平面 2又已知ABC为等腰直角三角形，ABAC4，M是BC的中点. BCDE平面ABC，

（Ⅰ）求证：AMME；

（Ⅱ）求四面体ADME的体积.

20. （本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C：221(ab0)经过A(5,3),右焦点F2的坐标为(4,0).

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点B1(2,0)，B2(2,0)，过B1的直线l交椭圆于P、Q两点，且直线l与圆O：

x2y28相交于M、N两点，设|MN|的长度为t，若t∈[4,27]，求△B2PQ的面积S的

取值范围．

21. （文）（本小题满分14分）

已知函数f(x)lnx. x（Ⅰ）求f(x)的单调区间及极值；

（Ⅱ）设m0，求f(x)在[m,2m]上的最大值； （Ⅲ）证明：ln(n1)<12e11231*n,nN. n（理）已知函数f(x)xln(xa),aR.

（Ⅰ）若f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围；

（Ⅱ）当a2时，令g(a)表示f(x)在[1,0]上的最大值，求g(a)的表达式；

23n5n11（Ⅲ）求证：lnn1128n24n16231，nN*.

n

参考解答

一、选择题

1.B； 2.D； 3. C； 4.A； 5.B； 6.D； 7.A； 8.B； 9. C； 10.A. 二、填空题

11.2； 12.xR,ex； 13. 1； 14.三、解答题：

16.解：（I）当n1时，3S12426，即a1S12； 当n2时，anSnSn1x； 15.233. 121(24n24n1)24n1. 3当n1时也成立，∴an24n122n1. （II）由（I），an22n1，∴bnlog2an2n1. ∵

11111()（k1,2,bkbk1(2k1)(2k1)22k12k1,n），

∴Tn1111[(1)()2335(1111n. )](1)2n12n122n12n117.解：（1）∵SBA•BC，

11acsinBBABCcosB，即acsinBaccosB.

22即

51. sinBcosB.tanB2.cosB52222由余弦定理，有b2a2c22accosB，∴b(5)c25c5，即5b25c22c4(c1)2.∴4b2164(c1)2.

又

3b2(c1)，∴4b2163b2，∴b4.

（II）由正弦定理，有

ba451.,sinA.ba,A. sinBsinA25sinA625.

f(x)cos2x3113sin2xcos2xsin2xsin(2x). 222263 2k2x2k,kZkxk,kZ.26233

函数f(x)的单调递增区间为k,35k,kZ. 3

18.解：（Ⅰ）∵在65厘米以上的频数为15+10+5=30.

∴在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约为

P13033.故在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约是P. 1505 5

（Ⅱ）记[35,45)中的树苗为A,B,C，[85,95]中的树苗为D,E,F,G,H. 则事件“从[35,45)中移出2棵树苗，从[85,95]中移出1棵树苗”包含的基本事件是：

(A,B,D),(A,B,E),(A,B,F),(A,B,G),(A,B,H), (A,C,D),(A,C,E),(A,C,F),(A,C,G),(A,C,H),

(B,C,D),(B,C,E),(B,C,F),(B,C,G),(B,C,H),共15个.

其中满足在[35,45)中树苗A和[85,95]中的树苗D同时被移出的事件为：

(A,B,D),(A,C,D),共2个. 其概率P219.解：（I）∵ABAC，M是BC的中点， ∴AMBC.

2. 15

∵平面BCDE平面ABC，

而平面BCDE平面ABCBC，AM面ABC，

∴AM平面BCDE.又EM平面BCDE，∴AMME. （II）∵BE//CD，CDBC， 且四边形BCDE是直角梯形，

111BEBM42242.SDCMSBME22. 2221而梯形BCDE的面积S梯形BCDE(42)42122.

2∴SBME∴SDMESBCDESDCMSBEM62. 由（I）,知AM平面BCDE，即三棱锥ADME的高AM22.

1SDMEAM8. 320.解：(Ⅰ)由已知左焦F1(-4,0),c=4. ∵2a=|AF1|+|AF2|

∴VADME=(45)23(45)23(252)2(252)245, 22x2y21. ∴a=25,bac20164.故所求椭圆方程为

204222(Ⅱ)①当直线l的斜率不存在时，|MN|=4，SB2PQ165. 5|2k|k12②当直线l的斜率存在时，设直线l为：y=k(x+2),则圆心O到直线l的距离为d. 14k22∴t|MN|28d282∈[4,27],得k.

3k12x2y21222联立204，得(15k)y4ky16k0.

yk(x2)4k16k2,y1y2∴y1y2. 2215k15k4k4k2∴|y1y2|(y1y2)(y1y2)4y1y245. 22(15k)22∴SB2PQ14k4k2. 4|y1y2|85222(15k)2令u15k,u8513258()2，∴SB2PQ. 5u243165165]. ∴SB2PQ35,. 综上所述，△B2PQ的面积S的范围是[35,5521.（文）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)1lnx(x0). 2x由f(x)0得0e.∴f(x)的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∝).∴f(x)极大值=f(e)(Ⅱ)①当0<2m≤e即02mlnm. m②当m≥e时,由(Ⅰ)，知f(x)在[m,2m]单调递减.∴f(x)maxf(m)③当ma）. xaxa∵f(x)有两个不同的极值点,

∴令h(x)=2x22ax1.则h(x)有两个大于a的零点.

4a280∴h(a)0.∴a2. a0aa22aa22,上单调递增；在(Ⅱ)由(Ⅰ)，知当a≤-2时，f(x)在a,,22aa22aa22aa22aa22[,]上单调递减.又x1=<-1<0<=x2.

2222∴当x∈[-1,0]时，g(a)f(x)max1ln(1a)(a2). (Ⅲ)由(Ⅱ)，当a=-2时，f(x)在[-1,0]上有最大值f(-1)=1. 即当x∈[－1,0],a=-2时，x2+ln(x+2)≤1.令x2∴(n1n1,则x(1,0]. nnn12n1n121<1.∴ln<2. ) +ln

nnnnnnn1i1n1ni1n21n12∴2+ln<.∴+ln<2+ln<.

iiii(i2)nnni1i1i1i1i1inn213n25n3n25n1∴2+ln(n+1)<,即2+ln(n+1)<. 4n12n88n24n162i1ii1i23n5n11∴lnn118n224n16231.

n