§2 对数的运算
学 习 目 标 1.掌握对数的运算性质．(重点) 算素养． 2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进2．通过对数的运算性质及换底公式的推导的，行化简、求值．(难点) 培养逻辑推理素养． 核 心 素 养 1．通过对数的运算性质的应用，培养数
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaM＝nlogaM(n∈R). 2．换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝
logcb(a>0，且a≠1，b>0). logcamnMN思考：结合对数的换底公式探究logba与logab，loganb与logab之间有什么关系？ 1mm提示：logba＝，loganb＝logab.
logabn
1．已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于( ) 11
A． B． C．10 D．100 10010B [由已知得lg ＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，
babab1－1
∴＝10＝.] a10
2.
log29
＝( ) log23
139A． B．2 C． D． 222log29log23B [原式＝＝＝2.]
log23log233．lg 5＋lg 20的值是________． 1 [lg5＋lg20＝lg100＝lg 10＝1.] 4．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
2
xy2
(1)lg (xyz)；(2)lg ；
zxy3x(3)lg ； (4)lg 2.
yzz[解] (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
xy22
(2)lg ＝lg (xy)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
zxy313
(3)lg ＝lg (xy)－lg z＝lg x＋3lg y－lg z.
2z(4)lg
x12
＝lg x－lg (yz)＝lg x－2lg y－lg z． yz2
2
对数运算性质的应用 【例1】 求下列各式的值： (1)log2(4×2)； 5
(2)lg 100；
7
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
3(4)lg 5·lg 20＋(lg 2).
[解] (1)log2(4×2)＝log24＋log22＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19. 1112
(2)lg 100＝lg 1005＝lg 100＝×2＝.
555
5
7
5
7
5
2
7
5
72
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(3×2)＝lg 2＋
3lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)＝(lg 5＋lg 2)＝(lg 10)＝1. 法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)＝1－(lg 2)＋(lg 2)＝1.
对数式的化简与求值的思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
[跟进训练] 1．求下列各式的值
14＋log2322
(1)2；(2)log312－log32；(3)lg5＋2lg 2－lg2.
24＋log234
[解] (1)2＝2×2log23＝16×3＝48. 112(2)log312－log32＝log312－log32＝log3 221＝log33＝ .
2
(3)法一：lg5＋2lg 2－lg2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 2＋lg 5 ＝lg 10 ＝1.
法二：lg5＋2lg 2－lg2＝(1－lg 2)＋2lg 2－lg2＝1－2lg 2＋lg2＋2lg 2－lg2＝1.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
对数换底公式的应用
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[跟进训练]
lg 22．计算(log43＋log83)×.
lg 3[解] 原式＝
lg 3＋lg 3×lg 2＝lg 3×lg 2＋lg 3×lg 2＝1＋1＝5.
lg 4lg 8lg 32lg 2lg 33lg 2lg 3236
带有附加条件的对数式求值
【例3】 (1)已知log567＝a，18＝5，计算log568和log5698的值； (2)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg 45的值． 观察式子的利用运
[思路点拨] 利用条件――――→分解待求对数的真数―――→结果．
结构特征算性质[解] (1)∵log567＝a，
56
∴log568＝log56＝log5656－log567＝1－a.
7log5698＝log56(49×2)
b＝log56(7×2)＝log567＋log562 1
1
＝2log567＋log5683＝2log567＋log568
311＋5a＝2a＋(1－a)＝.
331190
(2)lg 45＝lg 45＝lg
2221
＝(lg 9＋lg 10－lg 2) 2
111
＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2 222＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6. 1．若18＝5，18＝9，如何求log1845(用a，b表示)? [解] 因为18＝5，所以log185＝b，18＝9，所以lg 所以log1845＝log1＋log1851＝a，＝a＋b. 2．若将本例(1)条件“log1＝a，18＝5”改为“log94＝a，9＝5”，则又如何求解呢？ [解] 因为9＝5，所以log95＝b. log945log9（5×9）log95＋log99b＋1所以log35＝＝＝＝. log936log9（4×9）log94＋log99a＋1
解对数综合应用问题的三种方法
(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
bbbbaba22
利用对数的运算性质解决问题的一般思路： 1．把复杂的真数化简；
2．正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、
差、积、商再化简；
3．逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( ) (2)loga(xy)＝logax·logay. (3)log2(－5)＝2log2(－5). (4)由换底公式可得logab＝
log（－2）b. log（－2）a2
( ) ( ) ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．.4
C [原式＝log510＋log50.25＝log5(10×0.25)＝log525＝2.] 3．若logab·log3a＝4，则b的值为________． lg blg alg b81 [logab·log3a＝·＝＝4，
lg alg 3lg 3所以lg b＝4lg 3＝lg 3， 所以b＝3＝81.] 4．计算下列各式的值：
1
(1)log535＋2log12－log5－log514；
502lg 3＋2lg 2－1
(2).
lg 1.2
1
35×503
[解] (1)原式＝log535＋log550－log514＋2log1 22＝log5＋log12＝log55－1＝
14222.
12
lg2
10lg1.2lg 3＋2lg 2－1lg 3＋lg 2－1lg 12－1
(2)＝＝＝＝＝1.
lg1.2lg 1.2lg 1.2lg1.2lg1.2
4
4
2
2
